北京市西城区2014-2015学年高二数学上学期期末考试试题 理.doc

北京市西城区2014 2015学年度第一学期期末试卷高二数学（理科）试卷满分：150分 考试时间：120分钟题号一二三本卷总分171819202122分数一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 双曲线的实轴长为（ ）A. B. C. D. 2. 抛物线的准线方程为（ ）A. B. C. D. 3. 已知表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）A. 若则B. 若，则C. 若，则D. 若，则4. 命题“，如果，则”的否命题为（ ）A. ，如果，则B. ，如果，则C. ，如果，则D. ，如果，则5. 已知椭圆长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 6. 已知直线和直线平行，则实数的值为（ ）A. B. C. 和D.7. “”是“圆与圆相切”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10cm24cm8. 如图所示，汽车前灯反光镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反光镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处. 已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反光镜的顶点（即截得抛物线的顶点）距离为（ ）A.10cmB. 7.2cmC. 3.6cmD. 2.4cmABCDEF9. 右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是（ ）A. 与成角 B. 与成角 C. 与成角 D. 与成角A1BPDACB1C1D1QMN10. 如图，在边长为的正方体中，分别为棱,的中点，分别为面和上的点. 一质点从点射向点，遇正方体的面反射（反射服从光的反射原理），反射到点，再经平面反射，恰好反射至点. 则三条线段的长度之和为（ ）A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上.11. 命题“”的否定是_.12. 空间向量，且. 正（主）视图侧（左）视图俯视图则_.13. 右图是一个四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为_.14. 已知为双曲线的一个焦点，则点到双曲线的一条渐近线的距离为_.15. 由直线上一点向圆引切线，则切线长的最小值为 .16 .已知点和点，直线，的斜率乘积为常数（），设点的轨迹为.给出以下几个命题：存在非零常数，使上所有点到两点距离之和为定值；存在非零常数，使上所有点到两点距离之和为定值；不存在非零常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值；不存在非零常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值.其中正确的命题是_.（填出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分13分）如图，四边形为矩形，AD平面， 为上的点.AEBCDF（）求证：平面；（）求证： 18.（本小题满分13分）已知三个点，圆为的外接圆.（）求圆的方程；（）设直线与圆交于两点，且，求的值.19.（本小题满分14分）在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，为中点.PABCDQ（）求证：；（）求直线与平面所成角的正弦值. 20.（本小题满分14分）已知椭圆，直线过点与椭圆交于两点，为坐标原点.（）设为的中点，当直线的斜率为时，求线段的长；（）当面积等于时，求直线的斜率.21.（本小题满分13分）ABCDEFG在如图所示的几何体中，四边形是矩形，,四边形是等腰梯形，且平面平面，.（）过与平行的平面与交于点. 求证：为的中点；（）求二面角的余弦值.22.（本小题满分13分）如图，曲线是由抛物线弧:()与椭圆弧:()所围成的封闭曲线，且与有相同的焦点.xyO（）求椭圆弧的方程；（）设过点的直线与曲线交于两点，,，且()，试用表示；并求的取值范围.北京市西城区2014 2015学年度第一学期期末试卷高二数学（理科）参考答案及评分标准 2015.1一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 1.A 2.D 3.C 4. D 5. A 6. B 7.A 8. C 9.C 10. A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 注:16题，仅选出或得3分；错选得0分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.17. （本小题满分13分）AEBCDF（）证明：因为四边形为矩形，所以. 2分又因为平面，平面，4分所以平面. 5分（）证明：因为平面，所以平面，则 . 7分又因为，所以. 9分所以平面. 11分又平面,所以. 13分18. （本小题满分13分）（）设圆的方程为 , 1分因为点，在圆上，则 4分解得，. 6分所以外接圆的方程为. 7分（）由（）圆的圆心为，半径为.又，所以圆的圆心到直线的距离为.9分所以 ， 11分解得. . 13分19. （本小题满分14分）（）证明：因为平面，所以，又，如图，建立以为原点，为轴，为轴，为轴的空间直角坐标系. 2分PABCDQxyz由已知，.所以，, 4分又为中点，所以.所以，所以， 6分所以. 7分（注：若第一问不用空间向量，则第一问4分）（）解：设平面的法向量为，则,.又，所以， 9分令，得，所以. 11分因此， 13分所以直线与平面所成角的正弦值为. 14分20.（本小题满分14分）解：（）当直线的斜率为时，直线的方程为. 1分由 得， 2分设，.则， 3分所以点的坐标， 4分所以. 5分（）设直线，由 得， 6分所以 7分 ，. 8分 . 10分原点到直线的距离. 11分所以面积为 .因为面积等于，所以， 12分解得， 13分带入判别式检验，符合题意，所以. 14分21. （本小题满分13分）（）证明：连接交于点，为矩形，则为中点，连接. 1分因为平面，平面平面， 2分所以. 3分所以为的中点. 4分（）解：在平面上作，垂足为，由于平面为等腰梯形，所以，因为且平面平面，所以平面， 5分在平面中，作，交于，所以，如图，以为原点建立空间直角坐标系. 6分则，. 设（）.因为，所以，即，所以，解得. 7分设平面的法向量为，ABCDEFGOxyzHM而，由 得令，解得，.所以. 9分由于,所以，又，所以平面，所以为平面的法向量， 11分. 12分由图知，二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为. 13分22. （本小题满分13分）解：（）抛物线弧:的焦点为，且时，所以为椭圆上一点，又椭圆的焦点为， 2分所以. 3分所以， 4分所以椭圆的方程为（）. 5分（）曲线由两部分曲线和组成，所以按在抛物线弧或椭圆弧上加以分类，由曲线的对称性,不妨设在轴上方(或轴上).当时，此时,；当时，在椭圆弧上，由题设知，将点坐标代入得，整理得，解得或(舍去). 6分当时，在抛物线弧上，由抛物线定义可得，所以， 7分综上，当时，；当时，.相应地，当时，在抛物线弧上， 所以， 8分当时，在椭圆弧上，根据图形的对称性，. 9分所以，当时在抛物线弧上,在椭圆弧上， ； 10分当时在椭圆弧上,在抛物线弧上， ； 11分当时、在椭圆弧上， ； 12分综上，的取值范围是. 13分- 10 -