普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学及答案全解全析.doc

2010年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学全解全析数学试题参考公式：1锥体的体积公式:V锥体=Sh，其中S是锥体的底面积，h是高。3一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置上.21、设集合A=-1,1,3，B=a+2,a+4,AB=3，那么实数a=_.解析考查集合的运算推理。3B,a+2=3,a=1.2、设复数z满足z(2-3i)=6+4i其中i为虚数单位，那么z的模为_.解析考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2i),2-3i与3+2i的模相等，z的模为2。3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，假设从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_.3612解析考查古典概型知识。p4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，100根棉花纤维的长度棉花纤维的长度是棉花质量5,40中，其频率分布直100根中，有_根在棉花从中随机抽取了的重方图纤维要指标，所得数据都在区间如下图，那么其抽样的的长度小于20mm。解析考查频率分布直方图的知识。100×0.001+0.001+0.004×5=30x-x5、设函数f(x)=x(e+ae)(xR)是偶函数，那么实数a=_x-x解析考查函数的奇偶性的知识。g(x)=e+ae为奇函数，由g(0)=0，得a=1。x2y21上一点M，点M的横坐标是3，那么M到双曲线右焦点6、在平面直角坐标系xOy中，双曲线412的距离是_MF422，d为点M到右准线x1的距离，d=2，MF=4。解析考查双曲线的定义。ed7、右图是一个算法的流程图，那么输出S的值是_解析考查流程图理解。1222423133,输出S12222563。228、函数y=x(x>0)的图像在点(a,a)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a=16，那么1kka1+a3+a5=_解析考查函数的切线方程、数列的通项。ak在点(a,a2)处的切线方程为：yak22a(xa),y0时，解得当x，kkkk2ak所以ak1,aaa164121。1352229、在平面直角坐标系xOy中，已经知道圆xy4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，那么实数c的取值范围是_解析考查圆与直线的位置关系。圆半径为2，|c|13c，的取值范围是圆心0，0到直线12x-5y+c=0的距离小于1，1-13，13。10、定义在区间0,上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作PP1x轴于点P，12直线PP与y=sinx的图像交于点P2,那么线段PP的长为_。112PP的长即为sinx的值，12解析考查三角函数的图象、数形结合思想。线段223且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx=。线段PP的长为1232x1,x02,那么满足不等式f(1x)f(2x)的x的范围是_。11、已经知道函数f(x)1,x01x22x0解析考查分段函数的单调性。x(1,21)21xx28，4yx3y4xy29，那么的最大值是。12、设实数x,y满足3解析考查不等式的基本性质，等价转化思想。2x3y42x3y4x111x1xy22()2()16,81，,，2,27，的最大值是27。yxy283ybatanCtanC=_。13、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，6cosC，那么abtanAtanB解析考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。方法一考虑已经知道条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。13C1cosC1，tanC22tan2，2当A=B或a=b时满足题意，此时有：cosC，21cosC21tanCtanCtanAtanBtanAtanB2，=4。C2tanabc2222222ab,ab3c22ba22方法二6cosC，6abcosCab6abab2ab2sinCtanCtanCsinCcosBsinAsinBcosAsinCsin(AB)1由正弦定理，tanAtanBcosCsinAsinBcosCsinAsinBcosCsinAsinB1c2cosCabc2c213c2得：上式=4162(ab2)6214、将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记(梯形的周长2S,那么S的最小值是_。梯形的面积解析考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。(3x)23(1x)4(3x)21x23设剪成的小正三角形的边长为x，那么：S(0x1)12(x1)2方法一利用导数求函数最小值。4(3x)231x24(2x6)(1x)(3x)(2x)(1x2)222S(x)，S(x)3224(2x6)(1x)(3x)(2x)42(3x1)(x3)22(1x2)23(1x)31S(x)0,0x1,x1，31当x(0,时，S(x)0,递减；当x,1)时，S(x)0,递增；331323。3故当x时，S的最小值是3方法二利用函数的方法求最小值。1114t23t26t841令3xt,t(2,3),(,)，那么：S3286t31t2t13,xt813323。3故当时，S的最小值是二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15、本小题总分值14分在平面直角坐标系xOy中，点A(1,2)、B(2,3)、C(2,1)。(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数t满足(ABtOC)·OC=0，求t的值。解析本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。总分值14分。1方法一由题设知AB(3,5),AC(1,1)，那么ABAC(2,6),ABAC(4,4).|ABAC|210,|ABAC|42.所以42210。、故所求的两条对角线的长分别为方法二设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，那么:E为B、C的中点，E0，1又E0，1为A、D的中点，所以D1，4故所求的两条对角线的长分别为BC=42、AD=210；2由题设知：OC=(2,1)，ABtOC(32t,5t)。由(ABtOC)·OC=0，得：(32t,5t)(2,1)0，11从而5t11,所以t。52ABOC115或者：AB·OCtOCAB(3,5),t，2|OC|16、本小题总分值14分如图，在四棱锥P-ABCD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB0DC，BCD=90。(1)求证：PCBC；(2)求点A到平面PBC的距离。解析本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。总分值14分。1证明：因为PD平面ABCD，BC平面ABCD，所以PDBC。0由BCD=90，得CDBC，又PDDC=D，PD、DC平面PCD，所以BC平面PCD。因为PC平面PCD，故PCBC。2方法一分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，那么：易证DECB，DE平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。由1知：BC平面PCD，所以平面PBC平面PCD于PC，因为PD=DC，PF=FC，所以DFPC，所以DF平面PBC于F。易知DF=2，故点A到平面PBC的距离等于22。方法二体积法：连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。00因为ABDC，BCD=90，所以ABC=90。从而AB=2，BC=1，得ABC的面积S1。ABC1313由PD平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积VSABCPD。因为PD平面ABCD，DC平面ABCD，所以PDDC。2PDDC2又PD=DC=1，所以PC2。2由PCBC，BC=1，得PBC的面积SPBC。2113由VAPBCVPABC，SPBChVh2，得3故点A到平面PBC的距离等于2。17、本小题总分值14分某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m，如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角ABE=，ADE=。(1)该小组已经测得一组的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；(2)该小组分析假设干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离单位：m，使、d与之差较大，可以提高测量精确度。假设电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，-最大？解析此题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。HHHh1tanADABBD，同理：，。ADtantantanHHhhtan41.24，解得：H124。ADAB=DB，故得tantantantantan1.241.20因此，算出的电视塔的高度H是124m。HHhHhd2由题设知dAB，得tan,tan，dADDBHHhtantanhdhddtan()HHh2dH(Hh)H(Hh)d1tantan1dddH(Hh)dd2H(Hh)，当且仅当dH(Hh)125121555时，取等号故当d555时，tan()最大。因为0d555时，那么0，所以当2-最大。2故所求的d是555m。18、本小题总分值16分x2y25在平面直角坐标系xoy中，如图，已经知道椭圆1的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点Tt,m9(x,y)N(x,y)y10,y0。2的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m>0,11221设动点P满足PF2PB24,求点P的轨迹；12设x2,x21，求点T的坐标；33设t9,求证：直线MN必过x轴上的一定点其坐标与m无关。解析本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。总分值16分。1设点Px，y，那么：F2，0、B3，0、A-3，0。92222222由PFPB4，得(x2)y(x3)y4,化简得x。9故所求点P的轨迹为直线x。2151y10,y0得：M2，、N，2332092将x2,x21分别代入椭圆方程，以及3y0x3，即y13直线MTA方程为：x1，53230y0209x3，即y5x652直线NTB方程为：。1303x7联立方程组，解得：10，y310所以点T的坐标为(7,)。33点T的坐标为(9,m)m直线MTA方程为：直线NTB方程为：y0x3，即y(x3)，(x3)。m09312my0x3，即ym0936x29y2分别与椭圆1联立方程组，同时考虑到x13,x3，25223(80m)40m)、N(3(m20)20m)。解得：M(,222280m80m20m20m220m20m220m3(m20)x20m2y方法一当xx时，直线MN方程为：122240m3(80m)3(m20)280m20m280m220m2令y0，解得：x1。此时必过点D1，0；当xx1MN方程为：x1，与轴交点为x时，直线2D1，0。所以直线MN必过x轴上的一定点D1，0。2403m23m602方法二假设xx及m0，得m210，20m2，那么由1280m2此时直线MN的方程为x1，过点D1，0。40m80m210m假设xx1m210，直线MD的斜率kMD，40m2，那么22403m2180m220m20m223m6010m40m2直线ND的斜率kND，得kMDkND，所以直线MN过D点。120m2x因此，直线MN必过轴上的点1，0。19、本小题总分值16分设各项均为正数的数列an1求数列anS2aaa，数列3Snd的等差数列。是公差为的前n项和为，已经知道n21的通项公式用n,d表示；mn3k且mn的任意正整数m,n,k，不等式SScS都成立。求证：kc2设为实数，对满足mn9c的最大值为。2解析本小题主要考查等差数列的通项、总分值16分。求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力。1由题意知：d0，SnS1(n1)da1(n1)d3(SS)S，3(ad)a(a2d)2,222aaa33aS3221213111化简，得：a2add0,ad,ad22111122Sd(n1)dnd,Snd，nn当n2时，aSSn1nd(n1)d(2n1)d22222n1情形。，适合nn故所求a(2n1)d2n2方法一mn22SScSkmdndckd222222mnck，c222恒成立。mn2kmn22922222又mn3k且mn，2(mn)(mn)9k，k2929。2故c，即的最大值为ca1(n1)d，得d0Snd22，。n方法二由ad及Sn1于是，对满足题设的m,n,k，mn，有(mn)22992SS(mn)d222d22dk2S。kmn292所以c的最大值cmax。9233232另一方面，任取实数ak为偶数，令m1k1,nk1，那么m,n,k符合条件，且。设3SS(mn)d2d(k1)(k1)22222d(9k4)。22mn2222122于是，只要9k42ak2d2ak22k时，SSnmaS。k，即当2a9992所以满足条件的ccmax，从而。29。2c因此的最大值为20、本小题总分值16分设f(x)是定义在区间(1,)上的函数，其导函数为f'(x)。如果存在实数a和函数h(x)，其中h(x)2对任意的x(1,)都有h(x)>0，使得f'(x)h(x)(xax1)，那么称函数f(x)具有性质P(a)。b2(x1)，其中b为实数。x1lnx(1)设函数f(x)(i)求证：函数f(x)具有性质P(b)；(ii)求函数f(x)的单调区间。(2)已经知道函数g(x)具有性质P(2)。给定x,x(1,),xx,设m为实数，1212mx(1m)x，(1m)xmx，且1,1，1212假设|g()g()|<|g(x)g(x)|，求m的取值范围。12解析本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。总分值16分。1x(x1)2x(x1)2b212(xbx1)1(i)f'(x)1x(x1)2x1时，h(x)0恒成立，函数f(x)具有性质P(b)；b2b24(x)x2bx1(x)21(ii)方法一设，(x)与f'(x)的符号相同。b2当1当b0,2b2时，(x)0f'(x)0，故此时f(x)在区间(1,)上递增；，42时，对于x1，有f'(x)0，所以此时f(x)在区间(1,)上递增；b当b2时，(x)图像开口向上，对称轴x1，而(0)1，2对于x1，总有(x)0，f'(x)0，故此时f(x)在区间(1,)上递增；2方法二当b2时，对于x1，(x)x2bx1x22x1(x1)0所以f'(x)0，故此时f(x)在区间(1,)上递增；22bbb4bb4，当b2时，(x)图像开口向上，对称轴x1，方程(x)0的两根为：,22222bb41,bb42而(0,1)222bb422(1,bb4)2当x(1,bb4)时，(x)20f'(x)0，故此时f(x)在区间，上递减；同2bb4,)上递增。理得：f(x)在区间2综上所述，当b2时，f(x)在区间(1,)上递增；2b2f(x)在bb4,2b2时，f(x)在(1,b4上递减；)上递增。当)22(2)方法一由题意，得：g'(x)h(x)(x2x1)h(x)(x1)2又h(x)对任意的x(1,)都有h(x)>0，所以对任意的x(1,)都有g(x)0，g(x)在(1,)上递增。又x1x2,(2m1)(xx)。1212当m,m1时，x1(m1)x(1m)x2,1x2(1m)x(m1)x，12，且综合以上讨论，得：所求m的取值范围是0，1。2方法二由题设知，g(x)的导函数g'(x)h(x)(x2x1)，其中函数h(x)0对于任意的x(1,)2都成立。所以，当x1时，g'(x)h(x)(x1)0，从而g(x)在区间(1,)上单调递增。当m(0,1)时，有mx(1m)xmx(1m)xx，12111mx(1m)xmx(1m)xx，得(x,x)，同理可得(x,x)，所以由g(x)的单调121222212性知g()、g()(g(x),g(x)，12从而有|g()g()|<|当m0时，g(x)g(x)|，符合题设。12mx(1m)xmx(1m)xx，21222(1m)xmx(1m)xmxx11,及1g(x)，于是由的单调性知1211g()g(x)g(x)g()，所以|g()g()|g(x)g(x)|，与题设不符。1212当m1时，同理可得x,1x2，进而得|g()g()|g(x)g(x)|，与题设不符。12因此综合、得所求的m的取值范围是0，1。数学附加题21.选做题此题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答。假设多做，那么按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。A选修4-1：几何证明选讲本小题总分值10分DCBAOAB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，假设DA=DC，求证：AB=2BC。解析此题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力。方法一证明：连结OD，那么：ODDC，又OA=OD，DA=DC，所以DAO=ODA=DCO，DOC=DAO+ODA=2DCO，00所以DCO=30，DOC=60，所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。方法二证明：连结OD、BD。0因为AB是圆O的直径，所以ADB=90，AB=2OB。0因为DC是圆O的切线，所以CDO=90。又因为DA=DC，所以DAC=DCA，于是ADBCDO，从而AB=CO。即2OB=OB+BC，得OB=BC。故AB=2BC。B选修4-2：矩阵与变换本小题总分值10分k00110在平面直角坐标系xOy中，已经知道点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。设k为非零实数，矩阵M=，,N=01点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为求k的值。A、B、C，ABC的面积是ABC面积的2倍，111111解析此题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力。总分值10分。k00101100k10解：由题设得MN0k0221000100k022由，可知A0，0、B0，-2、Ck，-2。111计算得ABC面积的面积是1，ABC的面积是|k|，那么由题设知：|k|212。111所以k的值为2或-2。C选修4-4：坐标系与参数方程本小题总分值10分在极坐标系中，已经知道圆=2cos与直线3cos+4sin+a=0相切，求实数a的值。解析此题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力。总分值10分。22cos，圆=2cos的普通方程为：x2y2x,(x1)y1，222解：直线3cos+4sin+a=0的普通方程为：3x4ya0，|3140a|又圆与直线相切，所以1,解得：a2，或a8。2342D选修4-5：不等式选讲本小题总分值10分3设a、b是非负实数，求证：ab32ab(ab2)。解析此题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力。总分值10分。3方法一证明：ab32222ab(ab)aa(ab)bb(ba)5(ab)(a)(b)5(ab)(a)(a)(b)(a)(b)(a)(b)(b)42432232432234因为实数a、b0，(ab)0,(a)(a)(b)(a)(b)(a)(b)(b)03所以上式0。即有ab3ab(ab2)。2方法二证明：由a、b是非负实数，作差得3ab322225b)(a)(b)5ab(ab)aa(ab)bb(ba)(a555当ab时，ab，从而(a)(b)5(ab)(a)(b)0；，得，得5，从而(a)(b)555(ab)(a)(b)0；当ab时，所以ab3ab3ab(ab2)。2必做题第22题、第23题，每题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22、本小题总分值10分某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。生产1件甲产品，假设是一等品那么获得利润4万元，假设是二等品那么亏损1万元；生产1件乙产品，假设是一等品那么获得利润6万元，假设是二等品那么亏损1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求10万元的概率。2万元。设生产各种产品相互独立。1记X单位：万元为生产X的分布列；2求生产4件甲产品所获得的利润不少于解析此题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力。总分值解：1由题设知，X的可能取值为10，5，2，-3，且10分。PX=10=0.8×0.9=0.72，PX=2=0.8×0.1=0.08，由此得X的分布列为：PX=5=0.2×0.9=0.18，PX=-3=0.2×0.1=0.02。XP1052-30.720.180.080.022设生产的4件甲产品中一等品有n件，那么二等品有4n件。14由题设知4n(4n)10，解得n又nN，得n3，或n4。，53434所求概率为PC0.80.20.80.8192答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192。23、本小题总分值10分已经知道ABC的三边长都是有理数。1求证cosA是有理数；2求证：对任意正整数n，cosnA是有理数。解析此题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。总分值10分。bca222方法一1证明：设三边长分别为a,b,c，cosA，a,b,c是有理数，2bcb2c2a2是有理数，分母2bc为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，bca222必为有理数，cosA是有理数。2bc2当n1时，显然cosA是有理数；2当n2时，cos2A2cosA1，因为cosA是有理数，cos2A也是有理数；假设当nk(k2)时，结论成立，即coskA、cos(k1)A均是有理数。当nk1时，cos(k1)AcoskAcosAsinkAsinA，1cos(k1)AcoskAcosAcos(kAA)cos(kAA)，21212cos(k1)AcoskAcosAcos(k1)Acos(k1)A，解得：cos(k1)A2coskAcosAcos(k1)AcosA，coskA，cos(k1)A均是有理数，2coskAcosAcos(k1)A是有理数，cos(k1)A是有理数。即当nk1时，结论成立。综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数。方法二证明：1由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知AB2AC2BC2cosA是有理数。2ABAC2用数学归纳法证明cosnA和sinAsinnA都是有理数。2n1时，由1知cosA是有理数，从而有sinAsinA1cosA当也是有理数。假设当nk(k1)时，coskA和sinAsinkA都是有理数。当nk1时，由cos(k1)AcosAcoskAsinAsinkA，sinAsin(k1)AsinA(sinAcoskAcosAsinkA)(sinAsinA)coskA(sinAsinkA)cosA，及和归纳假设，知cos(k1)A和sinAsin(k1)A都是有理数。即当nk1时，结论成立。综合、可知，对任意正整数n，cosnA是有理数。