2018_2019版高中数学第一章解三角形1.1.3习题课__正弦定理和余弦定理的综合应用练习新人教A版必修5.doc
习题课正弦定理和余弦定理的综合应用课后篇巩固探究A组1.在ABC中,sin Asin Bsin C=323,则cos C的值为()A.B.-C.D.-解析sin Asin Bsin C=323,由正弦定理,得abc=323,设a=3k,b=2k,c=3k(k>0),则cos C=.答案A2.(2017·江西南昌二中测试)已知ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设向量m=(a+b,sin C),n=(a+c,sin B-sin A),若mn,则角B的大小为()A.30°B.60°C.120°D.150°解析mn,(a+b)(sin B-sin A)-sin C(a+c)=0.由正弦定理,得(a+b)(b-a)=c(a+c),即a2+c2-b2=-ac.由余弦定理,得cos B=-.又B为ABC的内角,B=150°.故选D.答案D3.在ABC中,B=60°,最长边与最短边之比为(+1)2,则最大角为()A.45°B.60°C.75°D.90°解析依题意,得ABC不是等边三角形.因为B=60°,所以角B不是最大角.设C为最大角,A为最小角,则A+C=120°,所以,解得tan A=1,所以A=45°,C=75°.答案C4.在ABC中,a2sin 2B+b2sin 2A=2ab,则ABC是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解析由a2sin 2B+b2sin 2A=2ab,得sin2Asin 2B+sin2 Bsin 2A=2sin Asin B,即sin2A·2sin Bcos B+sin2B·2sin Acos A=2sin Asin B,所以sin Acos B+cos Asin B=1,即sin(A+B)=1,所以A+B=90°,所以C=90°,故ABC是直角三角形.答案B5.在ABC中,a=2,c=1,则角C的取值范围是()A.B.C.D.解析在ABC中,a=2,c=1,由正弦定理,得,sin C=sin A.A(0,),0<sin A1,sin C.结合函数y=sin x的图象可得C.a>c,角C是锐角,C.故选D.答案D6.(2017·江苏南通中学)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若b+c=2a,且3sin A=5sin B,则角C=.解析由3sin A=5sin B结合正弦定理,得3a=5b.因为b+c=2a,所以b=a,c=a.由余弦定理,得cos C=-,故C=120°.答案120°7.(2017·山西运城中学月考)已知ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且A=60°,c=3b,则=. 解析由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=+c2-2×c×c×c2,所以.答案8.在ABC中,a,b,c分别为三内角A,B,C所对的边,若B=2A,则的取值范围是. 解析=cos A.因为A+B+C=,所以0<A<,故=cos A.答案9.导学号04994007在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC=3acos B-ccos B.(1)求cos B的值;(2)若=2,且b=2,求a和c的值.解(1)由正弦定理,得a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,其中R为ABC外接圆半径,则2Rsin Bcos C=6Rsin Acos B-2Rsin Ccos B,即sin Bcos C=3sin Acos B-sin Ccos B,可得sin Bcos C+sin Ccos B=3sin Acos B,即sin(B+C)=3sin Acos B,可得sin A=3sin Acos B.又sin A0,因此cos B=.(2)由=2,得accos B=2.由(1)知cos B=,故ac=6,由b2=a2+c2-2accos B,得a2+c2=12,所以(a-c)2=0,即a=c,所以a=c=.B组1.在ABC中,若角A,B,C的对边分别为a,b,c,且atan B=5,bsin A=4,则a等于()A.B.C.5D.解析由已知,得.由正弦定理,得,所以cos B=,从而sin B=,tan B=,代入atan B=5可得a=.答案D2.如图,在ABC中,B=45°,D是BC边上一点,AD=5,AC=7,DC=3,则AB的长为()A.B.5C.D.5解析在ADC中,由余弦定理,得cosADC=-,所以ADC=120°,则ADB=60°.在ABD中,由正弦定理,得AB=.答案C3.设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=(b+c)cos C,则ABC的形状是()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.锐角三角形解析由已知及正弦定理,得sin A=(sin B+sin C)cos C,即sin(B+C)=(sin B+sin C)cos C,所以sin Bcos C+cos Bsin C=sin Bcos C+sin Ccos C,所以cos Bsin C=sin Ccos C.因为sin C0,所以cos B=cos C,故必有B=C,从而ABC是等腰三角形.答案A4.在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cos 2C=1-,则角B等于()A.B.C.D.解析由cos 2C=1-结合正弦定理,得1-2sin2C=1-,于是sin2B=,从而sin B=.因为ABC是锐角三角形,所以B=.答案A5.(2017·云南昆明一中月考)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,C=60°,c=,则=. 解析由正弦定理,得,即a=2sin A,则=4.答案46.(2017·天津一中模拟)在ABC中,设a,b,c分别是角A,B,C所对边的边长,若sin A=2cos2 ,bcos C=3ccos B,则=. 解析由sin A=2cos2 ,得2sin cos =2cos2 ,即tan,所以A=.由bcos C=3ccos B,得b·=3c·,整理,得a2=2b2-2c2.又a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2+bc,所以2b2-2c2=b2+c2+bc,所以-3=0,解得(舍去),所以.答案7.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知sin B+sin C=msin A(mR),且a2-4bc=0.(1)当a=2,m=时,求b,c的值;(2)若角A为锐角,求m的取值范围.解由题意并结合正弦定理,得b+c=ma,a2-4bc=0.(1)当a=2,m=时,b+c=,bc=1. 解得(2)cos A=2m2-3(0,1),<m2<2.由b+c=ma,得m>0,故<m<.8.导学号04994008设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsin A.(1)求B的大小;(2)求cos A+sin C的取值范围.解(1)a=2bsin A,根据正弦定理,得sin A=2sin Bsin A,sin B=.又ABC为锐角三角形,B=.(2)B=,cos A+sin C=cos A+sin=cos A+sin=cos A+cos A+sin A=sin.由ABC为锐角三角形,得A+B>,<A<,<A+,<sin,sin,cos A+sin C的取值范围为.6
