江苏版2018年高考数学一轮复习专题7.4基本不等式及其应用讲.doc

专题7.4 基本不等式及其应用【考纲解读】内 容要 求备注ABC集合一元二次不等式对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用A、B、C表示）.了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.线性规划基本不等式【直击考点】题组一 常识题1函数yx(x0)的最小值为_【解析】x0，yx4，当且仅当x，即x2时取等号，故函数yx(x0)的最小值为4.2一段长为40 m的篱笆围成一个矩形菜园，则菜园的最大面积是_【解析】设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则2(xy)40，即xy20， 矩形的面积Sxy100，当且仅当xy10时，等号成立，此时菜园的面积最大，最大的面积是100 m2.3将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，选用最合理(够用且浪费最少)的铁丝的长为_m.【解析】设两直角边长分别为a m，b m，直角三角形的框架的周长为l，则ab2，即ab4， lab242，当且仅当ab2时取等号，故选用最合理(够用且浪费最少)的铁丝的长为(42)m.4建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，若池底的造价为每平方米120元，池壁的造价为每平方米80元，则这个水池的最低造价为_元【解析】设水池的总造价为y元，池底长为x m，则宽为 m，由题意可得y4×1202×80480320480320×2480320×21760，当且仅当x，即x2时，ymin1760.故当池底长为2 m时，这个水池的造价最低，最低造价为1760元题组二常错题5若x1，则x的最小值为_【解析】xx11413，当且仅当x1，即x1时等号成立6已知0<x<1，则ylg x的最大值是_【解析】0<x<1，lg x<0，则lg x>0.ylg x24，当且仅当lg x，即x时，等号成立，ymax4.7. 函数ysin x，x的最小值为 _.【解析】当sin x时，sin x±2，显然等号取不到，事实上，设tsin x，则t(0，1，yt在(0，1上为减函数，故当t1时，y取最小值5.题组三常考题8 设a0，b0.若关于x，y的方程组无解，则ab的取值范围是_【解析】将方程组中的第一个方程化为y1ax，代入第二个方程整理得(1ab)x1b，由方程组无解得1ab0且1b0，所以ab1且b1.由基本不等式得ab>22，故ab的取值范围是(2，)9若直线1(a>0，b>0)过点(1，1)，则ab的最小值等于_【解析】依题意有1，所以ab(ab)·1122 4，当且仅当ab2时等号成立10已知a>0，b>0，ab8，则当a的值为_时，log2a·log2(2b)取得最大值【知识清单】考点1利用基本不等式证明不等式如果，那么（当且仅当时取等号“=”）如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.考点2 利用基本不等式求最值常见结论：1、 如果，那么（当且仅当时取等号“=”）推论：（）2、 如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.推论：（，）；3、考点3 基本不等式的实际应用利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解【考点深度剖析】江苏新高考对不等式知识的考查要求较高，整个高中共有8个C能级知识点，本章就占了两个，高考中以填空题和解答题的形式进行考查，涉及到数形结合、分类讨论和等价转化的思想，着重考查学生基本概念及基本运算能力.经常与其它章节知识结合考查，如与函数、方程、数列、平面解析几何知识结合考查.基本不等式及其应用在高考中是一个必考的知识点，在处理最值时是一种非常行之有效的工具，在使用时一定多观察所给代数式的形式，和基本不等式成立的条件.【重点难点突破】考点1利用基本不等式证明不等式【1-1】不已知、都是正数，求证：【答案】a0，b0，c0，. 【1-2】已知a0，b0，c0，求证：.【1-3】已知a>0，b>0，ab1，求证：.【解析】，.同理，.，当且仅当，即时取“”，当且仅当时等号成立【思想方法】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等【温馨提醒】1. 在运用时，注意条件、均为正数，结合不等式的性质，进行变形.2. 三个式子必须都为非负且能同时取得等号时，三个式子才能相乘，最后答案才能取得等号.3. 在利用基本不等式证明的过程中，常常要把数、式合理的拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式考点2 利用基本不等式求最值【2-1】若log2x1og2y1，则x2y的最小值是_【答案】4【解析】因为log2xlog2y1，即log2xy1，所以xy2且x0，y0，于是x2y24，当且仅当x2y，即x2，y1时取等号，所以x2y的最小值为4.【2-2】设，函数的最小值为 【答案】 9【2-3】已知，则的最小值是 【答案】【解析】由，得，即，亦即,且，从而，当且仅当，又，即，时，取得最小值，注意乘“1”法技巧的使用.【2-4】若a>0，b>0，且ab2，则ab的最小值为 【答案】2【解析】由2ab2得0<ab1，令tab，t(0,1，则yt在(0,1上为减函数，故当t1时，ymin2，故选A. 【2-5】设x>0，y>0，且x4y40，则lgxlgy的最大值是 【答案】2【思想方法】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解注意：形如yx(a>0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解【温馨提醒】在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. 一正：函数的解析式中，各项均为正数； 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.若使用基本不等式时，等号取不到，可以通过“对勾函数”，利用单调性求最值.考点3 基本不等式的实际应用【3-1】要制作一个容器为4，高为的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_（单位：元）.【答案】88【解析】假设底面长方形的长宽分别为, . 则该容器的最低总造价是.当且仅当的时区到最小值.【3-2】如图，在三棱锥P­ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA3，PB2，PC1.设M是底面ABC内一点，定义f(M)(m，n，p)，其中m，n，p分别是三棱锥M­PAB，三棱锥M­PBC，三棱锥M­PCA的体积若f(M)，且8恒成立，则正实数a的最小值为_【答案】1【3-3】如图，有一块等腰直角三角形的空地，要在这块空地上开辟一个内接矩形的绿地，已知,，绿地面积最大值为 【答案】【解析】设，由条件可知和为等直角三角形，所以，即4，所以，所以绿地面积最大值为4【3-4】某汽车运输公司，购买了一批豪华大巴投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润（万元）与营运年数满足，则每辆客车营运多少年使其营运年平均利润最大？【答案】5年【解析】年平均利润为,当x=5时，f(x)取得最大值，最大值为2万元【思想方法】用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.【温馨提醒】对于应用题要通过阅读、理解所给定的材料寻找量与量之间的内在联系建立起数学模型，然后利用不等式的知识解决题目所提出的问题【易错试题常警惕】忽视最值取得的条件致误典例(1)已知x>0，y>0，且1，则xy的最小值是_(2)函数y12x(x<0)的最小值为_易错分析(1)多次使用基本不等式，忽略等号成立的条件如：12，2，xy24，得(xy)min4.(2)没有注意到x<0这个条件误用基本不等式得2x2.【答案】(1)32(2)12【解析】(1)x>0，y>0，温馨提醒(1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致失误与防范1使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可2连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致9