2015_2016学年高中数学第二章随机变量及其分布单元测评A新人教A版选修2_3.doc

【优化设计】2015-2016学年高中数学 第二章 随机变量及其分布单元测评A 新人教A版选修2-3 (基础过关卷)(时间:90分钟,满分:100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.P(AB)=,P(A)=,则P(B|A)等于()A.B.C.D.解析:P(B|A)=×3=.答案:B2.某同学通过计算机测试的概率为,他连续测试3次,其中恰有1次通过的概率为()A.B.C.D.解析:连续测试3次,其中恰有1次通过的概率为.答案:A3.已知甲投球命中的概率是,乙投球命中的概率是.假设他们投球命中与否相互之间没有影响.如果甲、乙各投球1次,则恰有1人投球命中的概率为()A.B.C.D.解析:记“甲投球1次命中”为事件A,“乙投球1次命中”为事件B.根据互斥事件的概率公式和相互独立事件的概率公式,得所求的概率为P=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=.答案:D4.已知甲、乙、丙三人参加某项测试,他们能达到标准的概率分别是0.8,0.6,0.5,则三人中至少有一人达到标准的概率是()A.0.16B.0.24C.0.96D.0.04解析:三人都达不到标准的概率是(1-0.8)×(1-0.6)×(1-0.5)=0.04,故三人中至少有一人达到标准的概率为1-0.04=0.96.答案:C5.如图所示,A,B,C表示3种开关,若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7,则该系统的可靠性为()A.0.504 B.0.994C.0.496 D.0.06解析:1-P()=1-P()·P()·P()=1-0.1×0.2×0.3=1-0.006=0.994.答案:B6.已知随机变量XN(0,2).若P(X>2)=0.023,则P(-2X2)等于()A.0.477B.0.628C.0.954D.0.977解析:因为随机变量XN(0,2),所以正态曲线关于直线x=0对称.又P(X>2)=0.023,所以P(X<-2)=0.023,所以P(-2X2)=1-P(X>2)-P(X<-2)=1-2×0.023=0.954.答案:C7.若随机变量X1B(n,0.2),X2B(6,p),X3B(n,p),且E(X1)=2,D(X2)=,则D(X3)等于()A.2.5B.1.5C.0.5D.3.5解析:由已知得解得故D(X3)=10×0.5×(1-0.5)=2.5.答案:A8.已知10件产品中有3件是次品,任取2件,若X表示取到次品的件数,则E(X)等于()A.B.C.D.1解析:由题意知,随机变量X的分布列为X012PE(X)=0×+1×+2×.答案:A9.某地区高二女生的体重X(单位:kg)服从正态分布N(50,25),若该地区共有高二女生2 000人,则体重在5065 kg的女生约有()A.997人B.954人C.683人D.994人解析:由题意知=50,=5,P(50-3×5<X50+3×5)=0.997 4.P(50<X65)=×0.997 4=0.498 7,体重在5065 kg的女生大约有2 000×0.498 5997(人).答案:A10.已知甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次,其命中率分别为0.6,0.5,若目标被击中,则它是被甲击中的概率是()A.0.45 B.0.6C.0.65 D.0.75解析:令事件A,B分别表示甲、乙两人各射击一次击中目标,由题意可知P(A)=0.6,P(B)=0.5,令事件C表示目标被击中,则C=AB,则P(C)=1-P()P()=1-0.4×0.5=0.8,所以P(A|C)=0.75.答案:D二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中横线上)11.某人参加考试,共考6个科目,假设他通过各科考试的事件是相互独立的,并且概率都是p,若此人未能通过的科目数X的均值是2,则p=. 解析:因为通过各科考试的概率为p,所以不能通过考试的概率为1-p,易知XB(6,1-p),所以E(X)=6(1-p)=2,解得p=.答案:12.已知事件A,B,C相互独立,如果P(AB)=,P( C)=,P(AB)=,则P(B)=. 解析:依题意得解得P(A)=,P(B)=,P(B)=.答案:13.在一个均匀小正方体的6个面中,三个面上标注数字0,两个面上标注数字1,一个面上标注数字2.将这个小正方体抛掷2次,则向上的数之积的均值是. 解析:设X表示两次向上的数之积,则P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=4)=,P(X=0)=,E(X)=1×+2×+4×.答案:14.某种电路开关闭合后,会出现红灯或绿灯闪烁,已知开关第一次闭合后出现红灯闪烁的概率是,两次闭合后都出现红灯闪烁的概率为.则在第一次闭合后出现红灯闪烁的条件下,第二次出现红灯闪烁的概率是. 解析:第一次闭合后出现红灯闪烁记为事件A,第二次闭合后出现红灯闪烁记为事件B.则P(A)=,P(AB)=,所以P(B|A)=.答案:15.某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于. 解析:此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮,说明此选手第2个问题回答错误,第3、第4个问题均回答正确,第1个问题答对答错都可以.因为每个问题的回答结果相互独立,故所求的概率为1×0.2×0.82=0.128.答案:0.128三、解答题(本大题共4小题,共25分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(6分)某迷宫有三个通道,进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门.首次到达此门,系统会随机(即等可能)为你打开一个通道.若是1号通道,则需要1小时走出迷宫;若是2号、3号通道,则分别需要2小时、3小时返回智能门,再次到达智能门时,系统会随机打开一个你未到过的通道,直至走出迷宫为止.令X表示走出迷宫所需的时间.(1)求X的分布列;(2)求X的均值.解:(1)X的所有可能取值为1,3,4,6.P(X=1)=,P(X=3)=,P(X=4)=,P(X=6)=,所以X的分布列为X1346P(2)E(X)=1×+3×+4×+6×.17.(6分)(2015天津高考)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.解:(1)由已知,有P(A)=.所以,事件A发生的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X=k)=(k=1,2,3,4).所以,随机变量X的分布列为X1234P随机变量X的数学期望E(X)=1×+2×+3×+4×.18.(6分)某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为,中奖可以获得2分;方案乙的中奖率为,中奖可以获得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为X,求X3的概率;(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计得分的均值较大?解:方法一:(1)由已知得,小明中奖的概率为,小红中奖的概率为,且两人中奖与否互不影响.记“这两人的累计得分X3”的事件为A,则事件A的对立事件为“X=5”.因为P(X=5)=,所以P(A)=1-P(X=5)=1-,即这两人的累计得分X3的概率为.(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1,都选择方案乙抽奖中奖次数为X2,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的均值为E(2X1),选择方案乙抽奖累计得分的均值E(3X2).由已知可得,X1B,X2B,所以E(X1)=2×,E(X2)=2×,从而E(2X1)=2E(X1)=,E(3X2)=3E(X2)=.因为E(2X1)>E(3X2),所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的均值较大.方法二:(1)由已知得,小明中奖的概率为,小红中奖的概率为,且两人中奖与否互不影响.记“这两人的累计得分X3”的事件为A,则事件A包含“X=0”“X=2”“X=3”三个两两互斥的事件.因为P(X=0)=,P(X=2)=,P(X=3)=,所以P(A)=P(X=0)+P(X=2)+P(X=3)=,即这两人的累计得分X3的概率为.(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1,都选择方案乙所获得的累计得分为X2,则X1,X2的分布列如下:X1024PX2036P所以E(X1)=0×+2×+4×,E(X2)=0×+3×+6×.因为E(X1)>E(X2),所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的均值较大.19.(7分)一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列;(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?(3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.解:(1)X的可能取值为10,20,100,-200.根据题意,有P(X=10)=,P(X=20)=,P(X=100)=,P(X=-200)=.所以X的分布列为X1020100-200P(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i=1,2,3),则P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=.所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为1-P(A1A2A3)=1-=1-.因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是.(3)X的均值为E(X)=10×+20×+100×-200×=-.这表明,获得分数X的均值为负,因此,多次游戏之后分数减少的可能性更大.6