2015_2016学年高中数学2.3数学归纳法练习新人教A版选修2_2.doc

【成才之路】2015-2016学年高中数学 2.3数学归纳法练习 新人教A版选修2-2一、选择题1(2015·海南市文昌中学高二期中)用数学归纳法证明>1(nN)，在验证n1时，左边的代数式为()A. B.C.D1答案A解析在>1(nN)中，当n1时，3n14，故n1时，等式左边的项为：，故选A.2(2015·郑州市登封高二期中)用数学归纳法证明1aa2an1(nN*，a1)，在验证n1时，左边所得的项为()A1B1aa2C1aD1aa2a3答案B解析因为当n1时，an1a2，所以此时式子左边1aa2.故应选B.3(2015·承德市存瑞中学高二期中)用数学归纳法证明123252(2n1)2n(4n21)过程中，由nk递推到nk1时，不等式左边增加的项为()A(2k)2B(2k3)2C(2k2)2D(2k1)2答案D解析用数学归纳法证明123252(2n1)2n(4n21)的过程中，第二步，假设nk时等式成立，即123252(2k1)2k(4k21)，那么，当nk1时，123252(2k1)2(2k1)2k(4k21)(2k1)2，等式左边增加的项是(2k1)2，故选D.4对于不等式n1(nN)，某学生的证明过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立(2)假设nk(kN)时，不等式成立，即<k1，则nk1时，<(k1)1，当nk1时，不等式成立，上述证法()A过程全都正确Bn1验证不正确C归纳假设不正确D从nk到nk1的推理不正确答案D解析n1的验证及归纳假设都正确，但从nk到nk1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求故应选D.5用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xnyn能被xy整除”，在第二步的证明时，正确的证法是()A假设nk(kN*)时命题成立，证明nk1时命题也成立B假设nk(k是正奇数)时命题成立，证明nk1时命题也成立C假设nk(k是正奇数)时命题成立，证明nk2时命题也成立D假设n2k1(kN)时命题成立，证明nk1时命题也成立答案C解析n为正奇数，当nk时，k下面第一个正奇数应为k2，而非k1.故应选C.6凸n边形有f(n)条对角线，则凸n1边形对角线的条数f(n1)为()Af(n)n1Bf(n)nCf(n)n1Df(n)n2答案C解析增加一个顶点，就增加n13条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n1)f(n)1n13f(n)n1.故应选C.7(20142015·湖北重点中学高二期中联考)用数学归纳法证明(n1)(n2)(nn)2n·1·3(2n1)(nN*)时，从“nk到nk1”左边需增乘的代数式为()A2k1B2(2k1)C.D答案B解析nk时，等式为(k1)(k2)(kk)2k·1·3··(2k1)，nk1时，等式左边为(k11)(k12)(k1k1)(k2)(k3)(2k)·(2k1)·(2k2)，右边为2k1·1·3··(2k1)(2k1)左边需增乘2(2k1)，故选B.二、填空题8(2015·长春外国语学校高二期中)观察下列等式，照此规律，第n个等式为_11234934567254567891049答案n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2解析将原等式变形如下：1112234932345672552456789104972由图知，第n个等式的左边有2n1项，第一个数是n，是2n1个连续整数的和，则最后一个数为n(2n1)13n2，右边是左边项数2n1的平方，故有n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2.9用数学归纳法证明：1，第一步应验证的等式是_答案1解析当n1时，等式的左边为1，右边，左边右边三、解答题10数列an满足Sn2nan(nN*)(1)计算a1、a2、a3，并猜想an的通项公式；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想证明(1)当n1时，a1S12a1，a11；当n2时，a1a2S22×2a2，a2；当n3时，a1a2a3S32×3a3，a3.由此猜想an(nN*)(2)证明：当n1时，a11结论成立，假设nk(k1，且kN*)时结论成立，即ak，当nk1时，ak1Sk1Sk2(k1)ak12kak2akak1，2ak12akak1，当nk1时结论成立，于是对于一切的自然数nN*，an成立一、选择题11(2015·吉林市实验中学高二期中)当n1,2,3,4,5,6时，比较2n和n2的大小并猜想()An1时，2n>n2Bn3时，2n>n2Cn4时，2n>n2Dn5时，2n>n2答案D解析当n1时，21>12，即2n>n2；当n2时，2222，即2nn2；当n3时，23<32，即2n<n2；当n4时，2442，即2nn2；当n5时，25>52，即2n>n2；当n6时，26>62，即2n>n2；猜想当n5时，2n>n2；下面我们用数学归纳法证明猜测成立，(1)当n5时，由以上可知猜想成立，(2)设nk(k5)时，命题成立，即2k>k2，当nk1时，2k12·2k>2k2k2k2>k2(2k1)(k1)2，即nk1时，命题成立，由(1)和(2)可得n5时，2n>n2；故当n2或4时，2nn2；n3时，2n<n2；n1及n取大于4的正整数时，都有2n>n2.故选D.点评此题考查的知识点是整数问题的综合应用，解答此题的关键是从特例入手猜测探究，然后用数学归纳法证明猜测成立12设凸k边形的内角和为f(k)，则凸k1边形的内角和f(k1)f(k)_.()A2BC.D答案B解析将k1边形A1A2AkAk1的顶点A1与Ak相连，则原多边形被分割为k边形A1A2Ak与三角形A1AkAk1，其内角和f(k1)是k边形的内角和f(k)与A1AkAk1的内角和的和，故选B.13(20142015·揭阳一中高二期中)用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3(nN*)能被9整除”，要利用归纳假设证nk1时的情况，只需展开()A(k3)3B(k2)3C(k1)3D(k1)3(k2)3答案A解析因为从nk到nk1的过渡，增加了(k1)3，减少了k3，故利用归纳假设，只需将(k3)3展开，证明余下的项9k227k27能被9整除14(2014·合肥一六八中高二期中)观察下列各式：已知ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则归纳猜测a7b7()A26B27C28D29答案D解析观察发现，134,347,4711,71118,111829，a7b729.二、填空题15用数学归纳法证明“2n1n2n2(nN*)”时，第一步的验证为_答案当n1时，左边4，右边4，左右，不等式成立解析当n1时，左右，不等式成立，nN*，第一步的验证为n1的情形16对任意nN*,34n2a2n1都能被14整除，则最小的自然数a_.答案5解析当n1时，36a3能被14整除的数为a3或5，当a3时且n3时，31035不能被14整除，故a5.三、解答题17在平面内有n条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点求证：这n条直线将它们所在的平面分成个区域证明(1)n2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立(2)假设当nk(k2)时，k条直线将平面分成块不同的区域，命题成立当nk1时，设其中的一条直线为l，其余k条直线将平面分成块区域，直线l与其余k条直线相交，得到k个不同的交点，这k个点将l分成k1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域k1块从而k1条直线将平面分成k1块区域所以nk1时命题也成立由(1)(2)可知，原命题成立18(1)用数学归纳法证明：12223242(1)n1n2(1)n1·(nN*)(2)求证：12223242(2n1)2(2n)2n(2n1)(nN*)解析(1)当n1时，左边121，右边(1)0×1，左边右边，等式成立假设nk(kN*)时，等式成立，即12223242(1)k1k2(1)k1·.则当nk1时，12223242(1)k1k2(1)k(k1)2(1)k1·(1)k(k1)2(1)k(k1)·(1)k·.当nk1时，等式也成立，根据、可知，对于任何nN*等式成立(2)n1时，左边12223，右边3，等式成立假设nk时，等式成立，即12223242(2k1)2(2k)2k(2k1)2.当nk1时，12223242(2k1)2(2k)2(2k1)2(2k2)2k(2k1)(2k1)2(2k2)2k(2k1)(4k3)(2k25k3)(k1)2(k1)1，所以nk1时，等式也成立由得，等式对任何nN*都成立7