2015_2016学年高中数学第二章随机变量及其分布单元综合检测新人教A版选修2_3.doc

【成才之路】2015-2016学年高中数学 第二章 随机变量及其分布单元综合检测 新人教A版选修2-3时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1(2013·霍邱二中一模)设随机变量等可能取值1、2、3、n，如果P(<4)0.3，那么n的值为()A3B4C9D10答案D解析P(<4)0.3，n10.2(2015·北京东城区高二期末)两个实习生每人加工一个零件加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为()A B C D答案A解析根据相互独立事件与互斥、对立事件的概率公式得P×(1)(1)×，故选A3(2013·景德镇市高二期末)已知某离散型随机变量X服从的分布列如图，则随机变量X的方差D(X)等于()X01Pm2mA B C D答案B解析由m2m1得，m，E(X)0×1×，D(X)(0)2×(1)2×，故选B4(2015·唐山一中高二期末)设随机变量X服从正态分布N(3,4)，则P(X<13a)P(X>a27)成立的一个必要不充分条件是()Aa1或2 Ba±1或2Ca2 Da答案B解析XN(3,4)，P(X<13a)P(X>a27)，(13a)(a27)2×3，a1或2.故选B点评a1或2是充要条件，a2是充分不必要条件，a是既不充分也不必要条件5(2015·武汉市重点中学高二期末)如果随机变量B(n，p)，且E()7，D()6，则p等于()A B C D答案A解析如果随机变量B(n，p)，则Enp，Dnp(1p)，又E()7，D()6，np7，np(1p)6，p.6盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是的事件为()A恰有1只是坏的 B4只全是好的C恰有2只是好的 D至多有2只是坏的答案C解析Xk表示取出的螺丝钉恰有k只为好的，则P(Xk)(k1、2、3、4)P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4)，选C7.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为()A B C D答案D解析小球落入B袋中的概率为P1(××)×2，小球落入A袋中的概率为P1P1.8已知随机变量服从正态分布N(3,4)，则E(21)与D(21)的值分别为()A13,4 B13,8 C7,8 D7,16答案D解析由已知E()3，D()4，得E(21)2E()17，D(21)4D()16.9有编号分别为1、2、3、4、5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的编号互不相同的概率为()A B C D答案D解析从10个球中任取4个，有C210种取法，取出的编号互不相同的取法有C·2480种，所求概率P.10设随机变量服从分布P(k)，(k1、2、3、4、5)，E(31)m，E(2)n，则mn()A B7 C D5答案D解析E()1×2×3×4×5×，E(31)3E()110，又E(2)12×22×32×42×52×15，mn5.11某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为c(a、b、c0,1)，已知他比赛一局得分的数学期望为1，则ab的最大值为()A B C D答案C解析由条件知，3ab1，ab(3a)·b·2，等号在3ab，即a，b时成立12.一个盒子里装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域为R的函数：f1(x)x，f2(x)x2，f3(x)x3，f4(x)sinx，f5(x)cosx，f6(x)2.现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后不放回，若取到一张记有偶函数的卡片，则停止抽取，否则继续进行，则抽取次数的数学期望为()A B C D答案A解析由于f2(x)，f5(x)，f6(x)为偶函数，f1(x)，f3(x)，f4(x)为奇函数，所以随机变量可取1,2,3,4.P(1)，P(2)，P(3)，P(4).所以的分布列为1234PE()1×2×3×4×.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13(2015·福州市高二期末)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n1,2,3,4)现从袋中任取一球，表示所取球的标号若a2，E()1，则D()的值为_.答案11解析根据题意得出随机变量的分布列：01234PE()0×1×2×3×4×，a2，E()1，1a×2，即a2，22，E()1，D()×(0)2×(1)2×(2)2×(3)2×(4)2，D()4D()4×11.故答案为11.14(2015·福州市八县高二期末)一盒子中装有4只产品，其中3只一等品，1只二等品，从中取产品两次，每次任取1只，做不放回抽样设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，则P(B|A)_.答案解析由条件知，P(A)，P(AB)，P(B|A).15将一颗骰子连掷100次，则点6出现次数X的均值E(X)_.答案解析这是100次独立重复试验，XB，E(X)100×.16.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1、A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是_(写出所有正确结论的序号)P(B)；P(B|A1)；事件B与事件A1相互独立；A1，A2，A3是两两互斥的事件；P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关答案解析从甲罐中取出一球放入乙罐，则A1、A2、A3中任意两个事件不可能同时发生，即A1、A2、A3两两互斥，故正确，易知P(A1)，P(A2)，P(A3)，又P(B|A1)，P(B|A2)，P(B|A3)，故对错；P(B)P(A1B)P(A2B)P(A3B)P(A1)·P(B|A1)P(A2)P(B|A2)P(A3)·P(B|A3)×××，故错误综上知，正确结论的序号为.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本题满分12分)(2014·甘肃省三诊)甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到A、B、C三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学(1)求甲、乙两人都被分到A社区的概率；(2)求甲、乙两人不在同一个社区的概率；(3)设随机变量为四名同学中到A社区的人数，求的分布列和E()的值解析(1)记甲、乙两人同时到A社区为事件M，那么P(M)，即甲、乙两人同时到A社区的概率是.(2)记甲、乙两人在同一社区为事件E，那么P(E)，所以，甲、乙两人不在同一社区的概率是P()1P(E).(3)随机变量可能取的值为1,2.事件“i(i1,2)”是指有i个同学到A社区，则p(2).所以p(1)1p(2)，的分布列是：12pE()1×2×.18(本题满分12分)(2015·重庆理，17)端午节吃粽子是我国的传统习俗设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同从中任意选取3个(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望分析考查了古典概型的概率以及分布列、数学期望，属于简单题型(1)由古典概型概率公式计算；(2)从含有2个豆沙粽的10个粽子中取3个，据此可得出X的可能取值及其概率，列出分布列求得期望解析(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，由古典概型的概率计算公式有P(A).(2)X的可能取值为0,1,2，且P(X0)，P(X1)，P(X2)综上知，X的分布列为：X012P故E(X)0×1×2×(个)19(本题满分12分)某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级，对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品(1)已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；工序概率产品第一工序第二工序甲0.80.85乙0.750.8(2)已知一件产品的利润如表二所示，用、分别表示一件甲、乙产品的利润，在(1)的条件下，求、的分布列及E()，E()；等级利润产品一等二等甲5(万元)2.5(万元)乙2.5(万元)1.5(万元)(3)已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示该工厂有工人40名，可用资金60万元设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量，在(2)的条件下，x、y为何值时，zxE()yE()最大？最大值是多少？项目 产品工人(名)资金(万元)甲85乙210解析(1)P甲0.8×0.850.68，P乙0.75×0.80.6.(2)随机变量、的分布列是52.5P0.680.322.51.5P0.60.4E()5×0.682.5×0.324.2，E()2.5×0.61.5×0.42.1.(3)由题设知即目标函数为zxE()yE()4.2x2.1y.作出可行域(如图)：作直线l：4.2x2.1y0，将l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上的点M，此时z4.2x2.1y取最大值解方程组得x4，y4，即x4，y4时，z取最大值，z的最大值为25.2.20(本题满分12分)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘，已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6、0.5、0.5，假设各盘比赛结果相互独立(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望E()解析(1)设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，则、分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件因为P(D)0.6，P(E)0.5，P(F)0.5，由对立事件的概率公式知P()0.4，P()0.5，P()0.5.红队至少两人获胜的事件有：DE，DF，EF，DEF.由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为PP(DE )P(D F)P(EF)P(DEF)0.6×0.5×0.50.6×0.5×0.50.4×0.5×0.50.6×0.5×0.50.55.(2)由题意知可能的取值为0、1、2、3.又由(1)知 F、E 、D 是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，因此P(0)P( )0.4×0.5×0.50.1，P(1)P( F)P(E)P(D )0.4×0.5×0.50.4×0.5×0.50.6×0.5×0.50.35.P(3)P(DEF)0.6×0.5×0.50.15.由对立事件的概率公式得P(2)1P(0)P(1)P(3)0.4.所以的分布列为：0123P0.10.350.40.15因此E()0×0.11×0.352×0.43×0.151.6.21(本题满分12分)某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：办理业务所需的时间(分)12345频率0.10.40.30.10.1从第一个顾客开始办理业务时计时(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望分析(1)由表中所给出的数值，第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务应分三种情况，逐一列出后求出其概率(2)从已知条件知，X的值为0人，1人，2人三种情况，特别当x1时要注意再进行分类讨论解析设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下：Y12345P0.10.40.30.10.1(1)A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则事件A对应三种情形：第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟所以P(A)P(Y1)P(Y3)P(Y3)P(Y1)P(Y2)P(Y2)0.1×0.30.3×0.10.4×0.40.22.(2)解法一：X所有可能的取值为0,1,2.X0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X0)P(Y>2)0.5；X1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P(X1)P(Y1)P(Y>1)P(Y2)0.1×0.90.40.49；X2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X2)P(Y1)P(Y1)0.1×0.10.01；所以X的分布列为X012P0.50.490.01E(X)0×0.51×0.492×0.010.51.22(本题满分14分)(2015·江西省质量监测)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：老板根据销售量给予店员奖励，具体奖励规定如下表销售量X个X<100100X<150150X<200X200奖励金额(元)050100150(1)求在未来连续3天里，店员共获得奖励150元的概率；(2)记未来连续2天，店员获得奖励X元，求随机变量X的分布列及数学期望E(X)解析(1)由频率分布直方图得店员一天获得50元、100元、150元的概率分别是0.3,0.2,0.1，不得奖励的概率是0.4，所以未来连续3天里，店员共获得奖励150元的概率P0.33A×0.3×0.2×0.4C×0.42×0.10.219；(2)X可能取值有0,50,100,150,200,250,300.P(X0)0.420.16，P(X50)2×0.4×0.30.24.P(X100)0.322×0.4×0.20.25，P(X150)2×0.4×0.12×0.3×0.20.20.P(X200)0.222×0.3×0.10.10，P(X250)2×0.2×0.10.04，P(X300)0.120.01，所以随机变量X的分布列是：X050100150200250300P(X)0.160.240.250.200.100.040.01E(X)0×0.1650×0.24100×0.25150×0.20200×0.10250×0.04300×0.01100(或E(X)2(0×0.450×0.3100×0.2150×0.1)100)12