广东省东莞市2015届高三数学模拟考试试题 理（三）新人教A版.doc

东莞市2015届高三理科数学模拟试题(三)参考公式：·表示底面积，表示底面的高，柱体体积 ，锥体体积 一、选择题：共8小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求学1设全集，集合，则等于A. B. C. D.2复数（是虚数单位）的共轭复数为A. B. C. D.3若函数则的值为A. B. C. D.4已知等差数列中，前10项的和等于前5项的和.若则（ ）A. B. C. D.5某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的的值是A.2 B. C. D.36已知在平面直角坐标系上的区域由不等式组给定目标函数的最大值为（ ）A B C D7已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，给出下列4个命题：若 若若 若其中真命题的序号为（ ）A B C D 8.若曲线在顶点的角的内部,、分别是曲线上相异的任意两点，且，我们把满足条件的最小角叫做曲线相对点的“确界角”。已知为坐标原点，曲线的方程为 ，那么它相对点的“确界角”等于（ ）A. B. C. D.二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分其中1415题是选做题，考生只能选做一题，二题全答的，只计算前一题得分8已知，则的最小值为 ；9二项式的展开式中含的项的系数是_（用数字作答）DCBA10如图，已知中，是的中点，若向量，且的终点在的内部（不含边界），则的取值范围是 11过点作斜率为的直线与椭圆：相交于,，若是线段的中点，则椭圆的离心率为 12对任意实数、，若的运算原理如下图所示，是函数的零点，是二次函数在上的最大值，则 。14.(坐标系和参数方程选做题) 已知两曲线参数方程分别为 和，它们的交点坐标为_15.(几何证明选讲选做题) 如图所示，AB与CD是O的直径，ABCD，P是AB延长线上一点，连PC交O于点E，连DE交AB于点F，若AB=2BP=4，则PF= 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16（本题满分12分）已知函数（1）求函数的单调递增区间；（2）在中，内角所对边的长分别是，若，求的面积的值17（本小题满分12分）某校1位老师和6名学生暑假到甲、乙、丙三个城市旅行学习，每个城市随机安排2名学生，教师可任意选择一个城市“学生a与老师去同一城市”记为事件A，“学生a和b去同一城市”为事件B.(1)求事件的概率和；(2)记在一次安排中，事件发生的总次数为求随机变量的数学期望18（本小题满分14分）四棱锥中，底面，且，.(1) 在侧棱上是否存在一点，使平面？证明你的结论；(2) 求证：平面平面； AP B CDQ(3) 求平面与平面所成锐二面角的余弦值.19（本小题满分14分）已知数列中,数列中，其中 （1）求证:数列是等差数列（2）设是数列的前n项和,求（3）设是数列的前n 项和,求证:20（本小题满分14分）已知椭圆过点，两焦点为、，是坐标原点，不经过原点的直线与椭圆交于两不同点、（1）求椭圆C的方程； （2）当时，求面积的最大值；（3）若直线、的斜率依次成等比数列，求直线的斜率21（本小题满分14分）已知函数（1）当时，比较与1的大小；（2）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（3）求证：对于一切正整数，都有东莞市2015届高三理科数学模拟试题(三)参考答案选择题：每小题5分，共40分.序号12345678答案DCBAD A B B 二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.3 10. 20 11. 12. ;13. 14. 15. 3 三. 解答题：来源:16.解:（1），. .3分 由，解得. 函数的单调递增区间是. .6分（2）在中，解得. .7分又，. .8分 依据正弦定理，有. .10分 . .12分 17. .解：(1), 5分(2)的可能取值为0，1，2.7分与老师去同一城市) .9分同城，但a与老师不同)不同，a与老师同).10分不同，a与老师也不同) 11分所以.12分18. (1) 解：当为侧棱中点时，有平面.证明如下：如图，取的中点，连、.为中点，则为的中位线，且. 且，且，四边形为平行四边形，则. 平面，平面，平面. 4分 (2) 证：底面，.，平面.平面，.，为中点，.，平面. ，平面. 平面，平面平面. 9分 (3) 解法一：设平面平面. 平面，平面，.平面，平面，.故就是平面与平面所成锐二面角的平面角. 12分平面，. 设，则， ，故. 平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 14分解法二：如图建立直角坐标系，设，则,，则，.设平面的法向量为，则由，取. 11分 由平面，知平面，平面的法向量为. 12分设所求锐二面角的大小为，则. 所求锐二面角的的余弦值为. 14分19. 解:（1）, 而 , 是首项为,公差为1的等差数列 4分（2）由（1）可知, , 6分于是 = 7分故有 =6 9分（3）证明:由（1）可知 , 则则+ , 14分20.解（1）由题意得,可设椭圆方程为 则，解得所以椭圆的方程为4分(2)消去得: ，则， 6分设为点到直线的距离,则 ，当且仅当时，等号成立 所以面积的最大值为9分（3）消去得: ，则， 故 11分因为直线的斜率依次成等比数列，所以 ,由于故14分21解：（1）当时，其定义域为1分因为，所以在上是增函数3分故当时，；当时，；当时，4分（2）当时，其定义域为，令得，6分因为当或时，；当时，所以函数在上递增，在上递减，在上递增且的极大值为，极小值为7分又当时，；当时，因为函数仅有一个零点，所以函数的图象与直线仅有一个交点。所以或9分（3）方法一：根据（1）的结论知当时，即当时，即12分令，则有从而得， 13分故得即所以14分（3）方法二：用数学归纳法证明：当时，不等式左边，右边因为，所以，即时，不等式成立10分假设当时，不等式成立，即那么，当时，11分由（1）的结论知，当时，即所以12分即即当时，不等式也成立13分综合知，对于一切正整数，都有- 12 -