高中数学第4章圆与方程4.2直线圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用教材梳理素材新人教A版必修2.doc

4.2.3 直线与圆的方程的应用疱丁巧解牛知识·巧学一、解决与圆相关的实际问题 运用圆的相关知识可以解决实际生活中的有关问题，解决此类问题的基本步骤：(1)阅读理解，认真审题;(2)引进数学符号或圆的方程，建立数学模型;(3)利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型)予以解答，求得结果;(4)转译成具体问题作出解答.方法点拨 应用直线与圆的方程解决实际问题时，要注意建立数学模型，把实际问题转化为数学问题来解决，一般情况下需要建立适当的直角坐标系，应用方程的思想来处理.二、坐标法 用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题化为代数问题;然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何意义，得出几何问题的结论.这就是用坐标方法解决平面几何问题的“三部曲”： 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.要点提示 应用几何法，即坐标法解决平面几何问题时，先建系，把相应的几何元素用坐标或方程来表示，将几何问题转化为代数问题，通过代数运算解决，最终得到几何问题的结论，要注意这一方法的三个步骤.问题·探究问题1 怎样判断直线与圆的位置关系较好？在直线与圆相离的情况下，如何求圆上的点到直线距离的最大值或最小值？探究:在判断直线与圆的位置关系时，虽代数法可用，但不如用几何法简单、直观，即研究圆心到直线距离与半径大小关系.在直线与圆相离的情况下，圆心距，根据图形分析可知：圆上点到直线距离的最小值是d-r，最大值是d+r.问题2 有人说，研究两圆位置关系就是将两圆方程联立，整理成关于x的方程，来判断其方程解的个数，若方程有一解，则两圆相切，这种说法正确吗？试举例说明.探究:这种说法不正确.如圆C1:x2+y2=4，圆C2:(x-2)2+y2=4.将两圆方程联立，消去y，整理成关于x的方程为x=1，此方程只有一解x=1，但由图分析：两圆相交，有两个公共点，所以说，在判断两圆位置关系时，最好不要用方程求解，而是利用圆心距与两圆关系来判断.典题·热题例1 已知直线y=kx+1与圆x2+y2+kx-y-4=0的两个交点A、B关于直线y=x对称，求交点A、B的坐标及AB长.思路解析：由题意，可以先利用题中的对称关系，求出k值，然后再求交点坐标，代入两点间距离公式求出弦长AB.解：因为直线y=kx+1与圆x2+y2+kx-y-4=0的两个交点A、B关于直线y=x对称，即点(x1,y1)与点(y1,x1)均在直线和圆上，所以k=-1符合圆的条件. 解方程组得曲线的两个交点A(2，-1)，B(-1,2). 所以|AB|=.辨析比较 本题若不求k值，由方程组联合求解交点A、B，在A、B的坐标表示中含有k，再反过来由对称关系确定k值，也可以求出，但计算较繁,不如上法简捷.例2 如图4-2-3，一座圆拱桥，当水面距拱顶2米时，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？ 图4-2-3 图4-2-4思路解析：本题考查应用坐标法研究平面图形有关的实际问题，因此，要建立适当坐标系，利用圆的方程来解决.解：以拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y轴建立直角坐标系，设所在圆的圆心为C，水面所在弦的端点为A、B， 则A(6，-2).设圆的方程为x2+(y+r)2=r2， 将A(6，-2)代入方程得r=10，圆的方程为x2+(y+10)2=100，当水面下降1米后， 可设点A(x0，-3)(x0>0). 如图4-2-4，将A(x0，-3)代入圆方程，求得x0=.水面下降1米，水面宽为2x0=14.28(米).方法归纳 此为一道数学的实际应用问题，一般思路是根据题设条件建立适当的直角坐标系，尽可能地减少未知数的个数.把实际问题转化为数学问题，通过待定系数法设圆的方程进行求解.例3 已知直线l：y=k()与圆O：x2+y2=4相交于A、B两点，O为坐标原点，ABO的面积为S.(1)试将S表示成k的函数S(k)，并求其定义域；(2)求S的最大值，并求取得最大值时k的值.思路解析：(1)求ABO的面积可用S=×底×高，底为AB，高为圆心到直线距离；(2)可利用ABO的几何性质解决.解：(1)由y=k()得kx-y+=0，圆心到l距离d=，|AB|=，SABO=|AB|·d=，又d2，即且k0， 得k(-1,0)(0,1)，S(k)=,k(-1,0)(0,1).(2)S=|OA|·|OB|·sinAOB=2sinAOB, 所以当AOB=90°时,Smax=2. 此时圆心到直线的距离d=，解之,可得k=±.误区警示 本题要注意在做第(2)问时，如果直接应用第(1)问的结果，求此函数的最大值，则运算会非常复杂.3