高中数学第一章导数及其应用1.7定积分的简单应用定积分在物理中的应用素材新人教A版选修2_2.doc
定积分在物理中的应用摘要：伟大的科学家牛顿，有很多伟大的成就，建立了经典物理理论，比如：牛顿三大定律，万有引力定律等；另外，在数学上也有伟大的成就，创立了微积分。微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。 微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近"，好像一个事物始终在变化你很难研究，但通过微元分割成一小块一小块，那就可以认为是常量处理，最终加起来就行。 微积分学是微分学和积分学的总称。 它是一种数学思想，无限细分就是微分，无限求和就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。在高中物理中，微积分思想多次发挥了作用。定义：设函数f(x)在a,b上有界，在a，b中任意插入若干个分点 a=X0<X1<.<Xn-1<Xn=b 把区间a，b分成n个小区间 X0，X1，.Xn-1，Xn。 在每个小区间Xi-1，Xi上任取一点i(Xi-1iXi)，作函数值f(i)与小区间长度的乘积f(i)Xi，并作出和 如果不论对a,b怎样分法，也不论在小区间上的点i怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S总趋于确定的极限I， 这时我们称这个极限I为函数f(x)在区间a,b上的定积分， 记作： 即： 变力沿直线所作的功 设物体在连续变力F(x)作用下沿x轴从x=a移动到x=b,力的方向与运动方向平行,求变力所作的功.在a,b上任取子区间x,x+dx,在其上所作的功元素为因此变力F(x)在区间a,b上所作的功为例1在一个带+q电荷所产生的电场作用下，一个单位正电荷沿直线从距离点电荷a处移动到b处（a<b）,求电场力所做的功.解：当单位正电荷距离原点r时，由库仑定律电场力为 则功的元素为所求功为：说明：电场在r=a处的电势为例2. 在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体，由于气体的膨胀，把容器中的一个面积为S的活塞从点a处移动到点b处（如图），求移动过程中气体压力所作的功. 解：建立坐标系如图.由博伊尔马略特定律知压强p与体积V成反比，即故作用在活塞上的力为功元素为所求功为例3.一蓄满水的圆柱形水桶高为5m，底圆半径为3m，试问要把桶中的水全部吸出需做多少功？ 解：建立坐标系如图，在任一小区间x,x+dx上的一薄层水的重量为（KN）这薄层水吸出桶外所做的功(功元素)为故所求功为： （KJ）液体侧压力 设液体密度为 深为h处的压强：*当平板与水面平行时，平板一侧所受的压力为 *当平板不与水面平行时，所受侧压力就需用积分解决.例4.一水平横放的半径为R的圆桶，内盛半桶密度为的液体，求桶的一个端面所受的侧压力.解：建立坐标系如图.所论半圆的方程为 利用对称性，侧压力元素 端面所受侧压力为 说明：当桶内充满液体时，小窄条上的压强为,侧压力元素 ，故端面所受侧压力为 令 引力问题质量分别为，的质点，相距r，二者间的引力： 大小： 方向： 沿两质点的连线若考虑物体对质点的引力，则需用积分解决.例5.设有一长度为l，线密度为的均匀直棒，在其中垂线上距a单位处有一质量为m的质点M.式计算该棒对质点的引力. 解：建立坐标系如图.细棒上小段x，x+dx对质点的引力大小为故垂直分力元素为棒对质点的引力的垂直分力为棒对质点引力的水平分力故棒对质点的引力大小为说明1. 当细棒很长时，可视l为无穷大，此时引力大小为方向与细棒垂直且指向细棒. 2. 若考虑质点克服引力沿y轴从a处移动到b（a<b）处时克服引力作的功，则有3.当质点位于棒的左端点垂线上时，注意正负号 引力大小为转动惯量质量为m的质点关于轴l的转动惯量为与轴l的距离为，质量为（=1,2,n）的质点系关于轴l的转动惯量为若考虑物体的转动惯量，则需用积分解决.例6.设有一个半径为R,质量为M的均匀圆盘，（1） 求圆盘对通过中心与其垂直的轴的转动惯量.（2） 求圆盘对直径所在轴的转动惯量.解：（1）建立坐标系如图.设圆盘面积为.对应于x,x+dx的小圆环对轴l的转动惯量为 故圆盘对轴l的转动惯量为 对应于x,x+dx的小圆环质量(2)取旋转轴为y轴，建立坐标系如图.对应于x,x+dx的平行y轴的细条关于y轴的转动惯量元素为 故圆盘对y轴的转动惯量为 （令x=Rsint） 内容小结1. 用定积分求一个分布在某区间上的整体量Q的步骤：（1） 先用微分分析法求出它的微分表达式dQ一般微分的几何形状有：条、段、环、带、扇、片、壳等.（2） 然后用定积分来表示整体量Q，并计算他.2. 定积分的物理应用：变力做功，侧压力，引力，转动惯量等.思考与练习为清除井底污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口，已知井深30m，抓斗自重400N，缆绳每米重50N，抓斗抓起的污泥中2000N，提升速度为3m/s,在提升过程中污泥以20N/s的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升到井口，问克服重力需做多少焦耳（J）功？（99考研） 提示：作x轴如图.将抓起污泥的抓斗由x提升dx所作的功为井深30m，抓斗自重400N，缆绳每米重50N，抓斗抓起的污泥中2000N,提升速度为3m/s,污泥以20N/s的速度从抓斗缝隙中漏掉克服抓斗自重：克服缆绳中：抓斗升至x处所需时间：（s）提升抓斗中的污泥： .设星形线，上没一点处线密度的大小等于该点到原点距离的立方，再点O处有一单位质点，求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力.提示：如图. 同理故星形线在第一象限的弧段对该质点的引力大小为在高中物理中还有很多例子，比如我们学过的瞬时速度，瞬时加速度、感应电动势、引力势能等都用到了微积分思想，所有这些例子都有它的共性。作为大学知识在高中的应用，虽然微积分高中不要求，但他的思想无不贯穿整个高中物理。“微积分思想”丰富了我们处理问题的手段，拓展了我们的思维。我们在学习的时候，要学会这种研究问题的思想方法，只有这样，在紧张的学习中，我们才能做到事半功倍。 9
