广东省深圳市翠园中学2014-2015学年高二数学上学期期末考试试题 理 新人教A版.doc

翠园中学2014-2015高二上学期期末考试数学理试题 （考试时间：120分钟，满分：150）命题人: 朱建国 杨玉红一 选择题：本大题共8小题，在下列每小题给出的四个结论中有且只有一个正确，请把正确的结论填涂在答题卡上每小题5分，满分40分1 复数，则 （ ）A B C D2以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( ) A B C D 3. 已知命题P：，那么下列结论正确的是（ ） A BC D4. 若椭圆经过原点，且焦点为，则其离心率为（ ） A B C D5. 已知集合,，则“”是“”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件6.曲线在点处的切线方程是（ ） A B C D7已知点O为坐标原点，点、点，则下列各向量中是平面的一个法向量的是( ) （A） (B) (C) (D) 8已知、为双曲线的左、右焦点，点在上，则点到轴的距离为( ) (A) (B) (C) (D) 二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上9论语·学路篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足”上述推理用的是_。（在类比推理、归纳推理、演绎推理中选填一项）10.已知正方体中，点是侧面的中心，若，则等于_。11观察下列等式: 照此规律, 第n个等式可为_.12. 求值13设抛物线的焦点为，准线为,为抛物线上一点，为垂足。如果直线的斜率为，那么_。14做一个封闭的圆柱形锅炉，容积为，若两个底面使用的材料与侧面的材料相同，问锅炉的高与底面半径的比为_时，造价最低。三解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（本题满分12分）已知命题， 命题。若命题“” 是真命题，求实数的取值范围。16.（本题满分12分）已知函数在上满足，当时取得极值2。(1) 的解析式。(2) 求的单调区间和极大值。17（本题满分14分）如图，在长方体中，点为中点。CD1C1A1B1DABE（1）求直线与直线所成角的余弦值。（2）求二面角的大小。18.（本小题满分14分）首项为正数的数列满足 （I）证明：若为奇数，则对一切都是奇数； （II）若对一切都有，求的取值范围。19（本小题共14分）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于.()求动点的轨迹方程；()设直线和分别与直线交于点，问：是否存在点，使得与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。20（本题满分14分）已知函数 是函数的极值点，直线是函数的图象在点处的切线。 （I）求实数的值和直线的方程。 （II）若直线与函数的图象相切于点，求实数的取值范围。翠园中学高二数学（理）试卷参考答案一、选择题：BDBB ACDB二、填空题：9演绎推理101112138142：1 三、解答题：15解：设，则又，即在递增 由已知得，命题6分由命题，有即8分又命题是真命题且成立，即11分故 实数的取值范围是12分16解：（1）由 得：， , 2分 由题设为的极值，必有 解得 所求的解析式为6分(2) 由(1)知, ，从而 8分当时, ，则在上是增函数; 当时, ，则在上是减函数; 当时, ，则在上是增函数11分为极大值. 12分17解：（1）连接，由题意，-2分在长方体中，,为中点有又在等腰中，有-6分故 直线与所成角的余弦值为-7分(2) 连,由条件得,又CD1C1A1B1DABE在中，,又根据已知得 ，且平面,平面即为所求的角。-11分在中，又为锐角，故二面角的大小为-14分18解：（I）18解：（I）（1）已知是奇数，设（k为正整数）当时，（k为正整数）为奇数，结论得证。 -3分（2）假设（是奇数，其中为正整数）则由递推关系得是奇数。由（1）和（2）根据数学归纳法，对任何正整数，都是奇数。-7分 （II）（方法一）由知， 当且仅当或。 -9分另一方面，若则； 若，则-11分根据数学归纳法， 综合所述，对一切都有的充要条件是或。-14分（方法二）由得于是或。 因为所以所有的均大于0，因此与同号。根据数学归纳法，与同号。 因此，对一切都有的充要条件是或。19解：（I）因为点与点关于原点对称，所以点的坐标为.-1分设点的坐标为 由题意得-4分 化简得 . 故动点的轨迹方程为-7分（II）解法一：设点的坐标为，点，的坐标分别为,.则直线的方程为， 直线的方程为 令得，.于是的面积 -10分又直线的方程为，点到直线的距离.于是的面积 当时，得-12分又，所以=，解得。因为，所以故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为 -14分解法二：若存在点使得与的面积相等，设点的坐标为 则. 因为, 所以 所以 即 ，解得 因为，所以 故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为.20解：（I）-2分由已知， 得-4分 所以 时， 函数的图象在点处的切线的方程为：-7分（II）直线与函数的图象相切于点， ，所以切线的斜率为 所以切线的方程为 即的方程为： -9分 于是可得所以 其中 -11分 记其中 令，得 当时, 则在上是增函数; 当时, 则在上是减函数; 所以实数的取值范围的集合：-14分10