2018_2019学年高中数学第一章空间几何体章末检测试题新人教A版必修2.doc
第一章检测试题(时间:120分钟满分:150分)【选题明细表】 知识点、方法题号空间几何体的结构1,2直观图4空间几何体的侧面积与表面积3,7,8空间几何体的体积5,6,9,10,11,14,15综合应用12,13,17,18,19,20,21一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.下列说法正确的是(D)(A)有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱(B)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱(C)各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体(D)九棱柱有9条侧棱,9个侧面,侧面均为平行四边形解析:选项A,B都不正确,反例如图所示.选项C也不正确,上、下底面是全等的菱形,各侧面是全等的正方形的四棱柱不是正方体.根据棱柱的定义知选项D正确.2.如图所示是由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的轴对称平面图形,若将它绕轴l旋转180°后形成一个组合体,下面说法不正确的是(A)(A)该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体(B)该组合体仍然关于轴l对称(C)该组合体中的圆锥和球只有一个公共点(D)该组合体中的球和半球只有一个公共点解析:组合体中只有一个球体和一个半球.故选A.3.长方体的高为1,底面积为2,垂直于底的对角面的面积是,则长方体的侧面积等于(C)(A)2(B)4(C)6(D)3解析:设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则c=1,ab=2,·c=,所以a=2,b=1,故S侧=2(ac+bc)=6.4.如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是如图所示的直角梯形,其中OA=2,BAO=45°,BCOA.则原平面图形的面积为(A)(A)3 (B)6(C) (D)解析:因为OA=2,BOA=BAO=45°,所以OB=,又BCOA,所以CBO=45°,OCB=90°,所以BC=1,所以原图形为梯形,其上底为1,下底为2,高为2,所以S=3.5.底面是边长为1的正方形,侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为(A)(A) (B) (C) (D)解析:底面ABCD外接圆的半径是,即AO=,则PO=,所以四棱锥的外接球的半径为,所以四棱锥的外接球的体积为·3=.故选A.6.如图,正方体ABCDABCD的棱长为4,动点E,F在棱AB上,且EF=2,动点Q在棱DC上,则三棱锥AEFQ的体积(D)(A)与点E,F的位置有关(B)与点Q的位置有关(C)与点E,F,Q的位置都有关(D)与点E,F,Q的位置均无关,是定值解析:=×·EF·AA·AD=,所以三棱锥AEFQ的体积为定值,与点E,F,Q的位置均无关.故选D.7.已知圆台的上下底面半径分别为1和2,高为1,则该圆台的表面积为(B)(A)3 (B)(5+3)(C) (D)解析:设圆台上底面的半径为r,下底面的半径为r,高为h,母线长为l.则r=1,r=2,h=1.则l=.由圆台表面积公式得S圆台=(r2+r2+rl+rl)=(1+4+2)=(5+3).故选B.8.已知圆锥的底面半径为R,高为3R,在它的所有内接圆柱中,表面积的最大值是(B)(A)22R2 (B)R2(C)R2 (D)R2解析:如图所示为组合体的轴截面,记BO1的长度为x,由相似三角形的比例关系,得=,则PO1=3x,圆柱的高为3R-3x,所以圆柱的表面积为S=2x2+2x·(3R-3x)=-4x2+6Rx,则当x=R时,S取最大值,Smax=R2.故选B.9.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有(B)(A)14斛(B)22斛(C)36斛(D)66斛解析:设圆锥底面半径为r,因为米堆底部弧长为8尺,所以r=8,r=(尺),所以米堆的体积为V=×××()2×5(立方尺),又1斛米的体积约为1.62立方尺,所以该米堆有÷1.6222(斛),选B.10.若两球的体积之和是12,经过两球球心的截面圆周长之和为6,则两球的半径之差为(A)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:设两球的半径分别为R、r(R>r),则由题意得解得故R-r=1.11.如图所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB=AC=,BB1=BC=6,E,F为侧棱AA1上的两点,且EF=3,则多面体BB1C1CEF的体积为(A)(A)30 (B)18(C)15 (D)12解析:=-=SABC×6-SABC·A1F-SABC·AE=SABC·6-(A1F+AE)=5SABC.因为AC=AB=,BC=6,所以SABC=×6×=6.所以=5×6=30.故选A.12.如图,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,DAB=60°,E为AB的中点,将ADE和BEC分别沿ED,EC向上折起,使A,B重合于点P,则三棱锥PDCE的外接球的体积为(C)(A) (B)(C) (D)解析:因为ABCD为等腰梯形,AB=2DC,E为AB的中点,所以AD=DE=CE=BC,又DAB=60°,所以ADE,DCE,CEB均为边长为1的正三角形,故翻折后的三棱锥PDCE为正四面体,其高PO1=,设球的半径为R,所以R2=(-R)2+()2,得R=,所以V=.故选C.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若圆锥的表面积是15,侧面展开图的圆心角是60°,则圆锥的体积为 . 解析:设圆锥的底面半径是r,母线长是l,高为h,则有所以l=6r,r2=,l2=.h2=l2-r2=75,所以h=5.所以V=r2·h=××5=.答案:14.如图所示,扇形的中心角为90°,弦AB将扇形分成两个部分,这两部分各以AO为轴旋转一周,所得的旋转体体积V1和V2之比为. 解析:RtAOB绕OA旋转一周形成圆锥,其体积V1=R3,扇形绕OA旋转一周形成半球面,其围成的半球的体积V=R3,所以V2=V-V1=R3-R3=R3,所以V1V2=11.答案:1115.现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2,高为8的圆柱各一个,若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为 . 解析:原两个几何体的总体积V=××52×4+×22×8=.由题意知新圆锥的高为4,新圆柱的高为8,且它们的底面半径相同,可设两几何体的底面半径均为r(r>0),则××r2×4+×r2×8=,解得r2=7,从而r=.答案:16.在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,EF是棱AB上的一条线段,且EF=b(b<a).若Q是CD上的动点,则三棱锥QD1EF的体积为. 解析:=SQEF·DD1=×b×a×a=a2b.答案:a2b三、解答题(本大题共5小题,共70分)17.(本小题满分14分)如图,正方体ABCDABCD的棱长为a,连接AC,AD,AB,BD,BC,CD,得到一个三棱锥.求:(1)三棱锥ABCD的表面积与正方体表面积的比值;(2)三棱锥ABCD的体积.解:(1)因为ABCDABCD是正方体,所以AB=AC=AD=BC=BD=CD=a,所以三棱锥ABCD的表面积为4××a××a=2a2.而正方体的表面积为6a2,故三棱锥ABCD的表面积与正方体表面积的比值为=.(2)三棱锥AABD,CBCD,DADC,BABC是完全一样的.故=V正方体-4=a3-4××a2×a=.18.(本小题满分14分)已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形,侧面是全等的等腰梯形,且侧面面积等于上、下底面面积之和,求棱台的高和体积.解:如图所示,在三棱台ABCABC中,O,O分别为上、下底面的中心,D,D分别是BC,BC的中点,则DD是等腰梯形BCCB的高,所以S侧=3××(20+30)·DD=75DD.又AB=20 cm,AB=30 cm,则上、下底面面积之和为S上+S下=×(202+302)=325(cm2).由S侧=S上+S下,得75DD=325,所以,DD=(cm).又因为OD=×20=(cm),OD=×30=5(cm),所以棱台的高h=OO=4(cm),由棱台的体积公式,可得棱台的体积为V=(S上+S下+)=×(325+×20×30)=1 900(cm3).19.(本小题满分14分)养路处建造圆锥形无底仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用),已建的仓库的底面直径为12 m,高4 m,养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐,现有两种方案:一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变);二是高度增加4 m(底面直径不变).(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积;(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积;(3)哪个方案更经济些?解:(1)如果按方案一,仓库的底面直径变为16 m,则仓库的体积V1=Sh=××()2×4=(m3).如果按方案二,仓库的高变为8 m,则仓库的体积V2=Sh=××()2×8=96(m3).(2)如果按方案一,仓库的底面直径变为16 m,半径为8 m,棱锥的母线长为l=4(m),则仓库的表面积S1=×8×4=32(m2),如果按方案二,仓库的高变为8 m.棱锥的母线长为l=10(m),则仓库的表面积S2=×6×10=60(m2).(3)因为V2>V1,S2<S1,所以方案二比方案一更加经济.20.(本小题满分14分)如图,某种水箱用的“浮球”,是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知半球的直径是6 cm,圆柱筒高为2 cm.(1)这种“浮球”的体积是多少 cm3(结果精确到0.1)?(2)要在2 500个这样的“浮球”表面涂一层胶,如果每平方米需要涂胶100克,那么共需胶多少克?解:(1)因为半球的直径是6 cm,可得半径R=3 cm,所以两个半球的体积之和为V球=R3=·27=36(cm3).又圆柱筒的体积为V圆柱=R2·h=×9×2=18(cm3).所以这种“浮球”的体积是V=V球+V圆柱=36+18=54169.6(cm3).(2)根据题意,上下两个半球的表面积是S球表=4R2=4××9=36(cm2),又“浮球”的圆柱筒的侧面积为S圆柱侧=2Rh=2××3×2=12(cm2),所以1个“浮球”的表面积为S=(m2).因此,2 500个这样的“浮球”表面积的和为2 500S=2 500×=12(m2).因为每平方米需要涂胶100克,所以共需要胶的质量为100×12=1 200(克).21.(本小题满分14分)已知圆柱OO1的底面半径为2,高为4.(1)求从下底面圆周上一点出发环绕圆柱侧面一周到达上底面的最短路径长;(2)若平行于轴OO1的截面ABCD将底面圆周截去四分之一,求截面面积;(3)在(2)的条件下,设截面将圆柱分成的两部分中较小部分为,较大部分为,求VV(体积之比).解:(1)将侧面沿过该点的母线剪开铺平得到一个矩形,邻边长分别是4和4,则从下底面圆周上一点出发环绕侧面一周到达上底面的最短路径长即为此矩形的对角线长4.(2)连接OA,OB,因为截面ABCD将底面圆周截去,所以AOB=90°,因为OA=OB=2,所以AB=2,而截面ABCD是矩形且AD=4,所以S矩形ABCD=8.(3)依题知V圆柱=Sh=16,三棱柱AOBDO1C的体积是8,则V+8=V圆柱=4,所以V=4-8,而V=V圆柱-V=12+8,于是VV=.10
