吉林省吉林市第一中学2015_2016学年高二数学11月月考试题奥班.doc
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吉林省吉林市第一中学2015_2016学年高二数学11月月考试题奥班.doc
吉林一中14级高二上学期月考(11月份)数学(奥班)试卷一、选择题:(每个小题5分,共计60分)1.已知,并且,则方差()ABCD2.极坐标表示的曲线是( ) A.一条射线和一个圆 B.两条直线 C.一条直线和一个圆 D.一个圆3.的展开式中,的系数是() ABC297D2074. 抛掷甲、乙两颗骰子,若事件A:“甲骰子的点数大于4”;事件B:“甲、乙两骰子的点数之和等于7”,则的值等于()ABCD5.下列命题正确的是( )A方差是标准差的平方,方差是正数 B变量X服从正态分布,则它在以外几乎不发生C相关指数的值越小,拟合效果越好D残差和越小,拟合效果越好OABC6如图,ABCD是边长为1的正方形,O为AD中点,抛物线F的顶点为O且通过点C,则阴影部分的面积为 ( ) A B C D7. 某学校为了迎接市春季运动会,从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛,要求男、女生都有,则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为()A85 B86C91 D908.下列点在曲线 (为参数)上的有( )个 () () ()(3,2)A1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个9.抛物线的焦点为,直线与此抛物线相交于两点,则( )A. B. 1 C. 2 D. 410.过双曲线()的左焦点做圆的切线,切点为E,延长交抛物线于点,点是线段的中点,则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.11. 设,这两个正态分布密度曲线如图所示下列结论中正确的是( )A B C对任意正数, 第11题图D对任意正数,12. 设椭圆的上顶点为,点B、C在椭圆上,且左、右焦点分别在等腰三角形ABC两腰AB和AC上. 若椭圆的离心率e=,则原点O是ABC的( ) A . 外心 B .内心 C .重心 D .垂心二、填空题:(每小题5分,共计20分)13.如图,在极坐标系中,过点的直线与极轴的夹角,若将的极坐标方程写成的形式,则 .第14题图14如图,PA是圆的切线,A为切点,PBC是圆的割线,且,则 . 15. 在1,2,3,4,5,6,7的任一排列中,使相邻两数都互质的排列方式种数共有_16. 设椭圆C的两个焦点是,过点的直线与C交与点,若,且,则椭圆的短轴与长轴的比值为_ 三、解答题:(17题10分,其余每题12分,共计70分)17. 如图,在圆O中,相交于点的两弦的中点分别是,直线与直线相交于 点,证明:(1) (2)18. 在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴,与直角坐标系xOy取相同的长度单位,建立极坐标系设曲线C参数方程为(为参数),直线l的极坐标方程为cos2.(1)写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程;(2)求曲线C上的点到直线l的最大距离19. 在一个不透明的盒子中,放有标号分别为1,2,3的三个大小相同的小球,现从这个盒子中,有放回地先后取得两个小球,其标号分别为,记 (1)求随机变量的最大值,并求事件“取得最大值”的概率; (2)求随机变量的分布列和数学期望20. 已知椭圆的中心在原点,离心率,右焦点为求椭圆的方程;设椭圆的上顶点为,在椭圆上是否存在点,使得向量与共线?若存在,求直线的方程;若不存在,简要说明理由21. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响,对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i1,2,···,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.年销售量/t年宣传费(千元) (x1)2(w1)2(x1)(y)(w1)(y)46.656.36.8289.81.61469108.8表中, , ()根据散点图判断,yabx与yc哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)()根据()的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;()以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z0.2yx.根据()的结果回答当年宣传费x49时,年销售量及年利润的预报值是多少?附:对于一组数据(u1 v1),(u2 v2). (un vn),其回归线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为:22.已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1),平行于OM的直线交椭圆于A、B两点。 (1)求椭圆的方程; (2)已知,是否对任意的正实数,都有成立?请证明你的结论。吉林一中14级高二上学期月考(11月份)数学(奥班)答案一、选择题:题号123456789101112答案ACDCBCBAABDD二、填空题:13. 14 . 15. 864 16 . 三、解答题: 17. 因为MN是中点,所以,所以(1)成立(2)由(1)可知 OMEN四点共圆,由割线定理可知显然成立18. 解:(1)由cos2得(cos sin )4,l:xy40.由得C:y21.(2)在C:y21上任取一点P(cos ,sin ),则点P到直线l的距离为d3.当sin1,即时,dmax3.19. :(1)可能的取值为1、2、3,且当,或,时,因此,随机变量的最大值为3 有放回地抽两张卡片的所有情况有3×3=9种,随机变量的最大值为3,事件“取得最大值”的概率为 (2)的所有取值为0,1,2,3 时,只有,这一种情况,时,有,或,两种情况, 时,有,或,两种情况, 则随机变量的分布列为:0123因此,数学期望20. 解:设椭圆的方程为, 椭圆的离心率,右焦点为,3分, 故椭圆的方程为 假设椭圆上是存在点(),使得向量与共线, ,即,(1) 8分又点()在椭圆上, (2) 由、组成方程组解得,或, ,或, 13分当点的坐标为时,直线的方程为,当点的坐标为时,直线的方程为,故直线的方程为或 21.可以判断比较适合 (2)令,先建立y关于w的回归方程 由于 所以,所以(3)66.3222. 解:(1)设椭圆方程为则 ,椭圆方程 (2)若成立,则向量与轴垂直,由菱形的几何性质知,的平分线应与轴垂直为此只需考察直线MA,MB的倾斜角是否互补即可由已知,设直线l的方程为: 由 设直线MA、MB的斜率分别为k1,k2,只需证明k1+k2=0即可, 设可得,而 , (k1+k2=0,直线MA,MB的倾斜角互补故对任意的正实数,都有成立9