高中数学第四章函数应用第1节函数与方程第2课时基础知识素材北师大版必修1.doc

1.2 利用二分法求方程的近似解1根据具体函数的图像，借助计算器用二分法求相应方程的近似解2学习利用二分法求方程近似解的过程和方法1二分法的概念对于图像在区间a，b上连续不断且满足f(a)·f(b)0的函数yf(x)，每次取区间的_，将区间_，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法 二分就是平均分成两部分二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点【做一做】 已知函数f(x)x3x22x2，f(1)·f(2)0，用二分法逐次计算时，若x0是1,2的中点，则f(x0)_.2用二分法求方程的近似解的过程过程如图所示在图中：“初始区间”是一个两端函数值_号的区间；“M”的含义是：取新区间，一个端点是原区间的_，另一端是原区间两端点中的一个，新区间两端点的函数值反号；“N”的含义是：方程解满足要求的_ “P”的含义是：选取区间内的任意一个数作为方程的近似解在二分法求方程解的步骤中，初始区间的选定，往往需要通过分析函数的_和_初始区间可以选得不同，不影响最终计算结果函数连续值两端，相乘为负有零点，区间之内有一数，方程成立很显然要求方程近似解，先看零点的区间，每次区间分为二，分后两端近零点答案：1中点一分为二【做一做】 0.6252中点零反中点精度性质试验估计用二分法求方程的近似解需注意什么？剖析：用二分法求方程的近似解要注意的问题：(1)要看清题目要求的精度，它决定着二分法步骤的结束(2)初始区间的选定一般在两个整数间，不同的初始区间结果是相同的，但二分的次数却相差较大(3)用二分法求出的零点一般是零点的近似值，但并不是所有函数都可以用二分法求零点，必须满足在区间a，b上连续不断且f(a)·f(b)0这样条件的函数才能用二分法求得零点的近似值题型一 函数零点的性质【例1】 函数f(x)x32x23x6在区间2,4上的零点必定在( )A2,1内 B，4内C1，内 D，内分析：按二分法的顺序是计算f(1)，f()等进行，但数据计算较麻烦，2,4内的整数较多，选易计算的整数求解反思：用二分法求函数的近似零点，是取中点求函数值，看符号，确定新区间，再取中点求函数值等依次进行下去有时从计算速度上考虑，首先把整数代入计算会更快一些，如f(0)，f(±1)，.题型二 求方程的近似解【例2】 求方程lgx2x10的近似解(精度为0.1)分析：先确定f(x)lgx2x1的零点所在的大致区间，再用二分法求解反思：求方程近似解的步骤：(1)构造函数，利用图像或单调性确定方程解所在的大致区间，通常限制在区间(n，n1)，nZ；(2)利用二分法求出满足精度的方程解所在的区间M；(3)写出方程的近似解题型三 用二分法证明方程根的分布【例3】 已知函数f(x)3ax22bxc，abc0，f(0)0，f(1)0，证明a0，并利用二分法证明方程f(x)0在0,1内有两个实根分析：f(0)0，f(1)0，只需在0,1内找到一个点的函数值小于零即可反思：根据二分法，若f0不成立，可计算f是否为负，若还不成立，再计算f是否为负，总之，在区间0,1内找到一个分点，使对应函数值为负即可题型四 二分法的实际应用【例4】 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障这是一条10 km长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段地查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆，10 km长，大约有200多根电线杆呢想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？分析：先检查中间一根电线杆，则将故障的范围缩小一半，再用同样方法依次检查下去反思：这种检查线路故障的方法，就是二分法的应用二分法不仅可用于查找线路、水管、气管故障，还可用于实验设计、资料查询，也是求根的常用方法答案：【例1】 D解：f(0)60，f(1)40，f(2)0，故2为一零点在(1,3)内，只有D选项满足【例2】 解：令f(x)lgx2x1，函数f(x)的定义域为(0，)因为函数f(x)在(0，)上是增函数(证明略)，所以f(x)至多有一个零点又因为f(1)0.50，f(0.1)0.933 032 9920，所以方程在0.1,1内有唯一一个实数解使用二分法求解，如下表：次数左端点左端点函数值右端点右端点函数值第1次0.10.933 032 99210.5第2次0.10.933 032 9920.550.057 342 561第3次0.3250.286 415 0250.550.057 342 561第4次0.437 50.097 435 0160.550.057 342 561第5次0.493 750.016 669 6240.550.057 342 561由于区间0.493 75,0.55的区间长度为0.056 25，它小于0.1，因此，我们可以选取这一区间内的任意一个数作为方程lg x2x10的近似解例如，选取0.5作为方程lg x2x10的一个近似解【例3】 解：f(1)0，3a2bc0，即3(abc)b2c0.abc0，b2c0，则bcc，即ac.f(0)0，c0，则a0.在0,1内选取二等分点，则fabca(a)a0.f(0)0，f(1)0，f(x)在区间0，和，1内分别存在一个零点又二次方程f(x)0最多有两个实根，方程f(x)0在0,1内有两个实根【例4】 解：如图，他首先从中点C查用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD段中点去查每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，要把故障可能发生的范围缩小到50 m至100 m，即一两根电线杆附近，只要检查7次就够了1 下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )2 下列函数中，必须用二分法求其零点的是( )Ayx7 By5x1Cylog3x Dy3 用二分法求函数yf(x)在区间(2,4)上的零点，验证f(2)·f(4)0.给定精度0.01，取区间(2,4)的中点 x1，计算得f(2)·f(x1)0，则此时零点x0_.(填区间)4 用二分法研究函数f(x)x33x1的零点时，第一次经计算f(0)0，f(0.5)0，可得其中一个零点x0_，第二次应计算_，这时可判断x0_.5 求方程ln xx30在(2,3)内的近似解(精确到0.1)答案：1A2DD选项中无法解方程，则必须用二分法求零点3(2,3)f(2)·f(3)0，x0(2,3)4(0,0.5)f(0.25)(0.25,0.5)由二分法知x0(0,0.5)，取x10.25，这时f(0.25)0.2533×0.2510，故x0(0.25,0.5)5分析：借助于计算器，利用二分法求解解：令f(x)lnxx3，即求函数f(x)在(2,3)内的零点因为f(2)ln210，f(3)ln30，即(2,3)作为初始区间，用二分法列表如下：次数左端点左端点函数值右端点右端点函数值第1次20.306 8531.098 61第2次20.306 852.50.416 29第3次20.306 852.250.060 93第4次2.1250.121 232.250.060 93第5次2.187 50.029 742.250.060 93第6次2.187 50.029 742.218 750.015 69由于区间(2.187 5,2.218 75)内所有值精确到0.1，都是2.2，所以方程的近似解是2.2.5