2018_2019学年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系章末检测试题新人教A版必修2.doc

第二章检测试题(时间:120分钟满分:150分)【选题明细表】 知识点、方法题号点线面位置关系1,2线面垂直、平行的判定3,6,8,9,13,14,17空间角4,5,7,10,15综合问题11,12,16,18,19,20,21一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.下列说法不正确的是(D)(A)空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形(B)同一平面的两条垂线一定共面(C)过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一平面内(D)过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直解析:当直线与平面垂直时,过这条直线与已知平面垂直的平面有无数个,所以D错误,故选D.2.设a,b是两条直线,是两个平面,若a,a,=b,则内与b相交的直线与a的位置关系是(C)(A)平行(B)相交(C)异面(D)平行或异面解析:因为a,a,=b,所以ab.又因为a与无公共点,所以内与b相交的直线与a异面.故选C.3.已知m和n是两条不同的直线,和是两个不重合的平面,下面给出的条件中一定能推出m的是(C)(A)且m(B)且m(C)mn且n(D)mn且解析:由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理,可知C正确.4.将正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角,则直线BD和平面ABC所成的角的大小为(B)(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°解析:如图,当平面BAC平面DAC时,取AC的中点E,则DE平面ABC,故直线BD和平面ABC所成的角为DBE,tanDBE=1.所以DBE=45°.5.如图,长方体ABCDA1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,E,F,G分别是DD1,AB,CC1的中点,则异面直线A1E与GF所成角为(D)(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°解析:连接EG,B1G,B1F,则A1EB1G,故B1GF为异面直线A1E与GF所成的角.由AA1=AB=2,AD=1可得B1G=,GF=,B1F=,所以B1F2=B1G2+GF2,所以B1GF=90°,即异面直线A1E与GF所成的角为90°.故选D.6.下列命题正确的是(C)(A)若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行(B)若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行(C)若一条直线和两个相交平面都平行,则这条直线与这两个平面的交线平行(D)若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行解析:对于A,两条直线的位置关系不能确定,故错;对于B,两个平面不一定平行,故错;对于C,设平面=a,l,l,由线面平行的性质定理,在平面内存在直线bl,在平面内存在直线cl,所以由平行公理知bc,从而由线面平行的判定定理可证明b,进而由线面平行的性质定理证明得ba,从而la,故正确;对于D,这两个平面平行或相交,故错.7.从空间一点P向二面角l的两个面作垂线PE,PF,E,F为垂足,若EPF=60°,则二面角的平面角的大小为(C)(A)60° (B)120°(C)60°或120° (D)不确定解析:若点P在二面角内,则二面角的平面角为120°,若点P在二面角外,则二面角的平面角为60°.8.如图,在四面体DABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列正确的是(C)(A)平面ABC平面ABD(B)平面ABD平面BDC(C)平面ABC平面BDE,且平面ADC平面BDE(D)平面ABC平面ADC,且平面ADC平面BDE解析:因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BEAC,同理有DEAC,于是AC平面BDE.因为AC在平面ABC内,所以平面ABC平面BDE.又由于AC平面ACD,所以平面ACD平面BDE,故选C.9.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,沿AE,AF,EF把正方形折成一个四面体,使B,C,D三点重合,重合后的点记为P,P点在AEF内的射影为O,则下列说法正确的是(A)(A)O是AEF的垂心(B)O是AEF的内心(C)O是AEF的外心(D)O是AEF的重心解析:如图,由题意可知PA,PE,PF两两垂直,所以PA平面PEF,从而PAEF,而PO平面AEF,则POEF,因为POPA=P,所以EF平面PAO,所以EFAO,同理可知AEFO,AFEO,所以O为AEF的垂心.故选A.10.正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为12,底面对角线的长为2,则侧面与底面所成的二面角为(C)(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°解析:如图,在正四棱锥SABCD中,SO底面ABCD,E是BC边中点,则SEO即为侧面与底面所成的二面角的平面角.由题易得SO=3,OE=,tanSEO=,所以SEO=60°,故选C.11.有下列命题:若直线l平行于平面内的无数条直线,则直线l;若直线a在平面外,则a;若直线ab,b,则a;若直线ab,b,则a平行于平面内的无数条直线.其中真命题的个数是(A)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:命题l可以在平面内,不正确;命题直线a与平面可以是相交关系,不正确;命题a可以在平面内,不正确;命题正确.12.如图,已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形,PA平面ABC,PA=2AB,则下列结论正确的是(D)(A)PBAD(B)平面PAB平面PBC(C)直线BC平面PAE(D)直线PD与平面ABC所成的角为45°解析:A,B,C显然错误.因为PA平面ABC,所以ADP是直线PD与平面ABC所成的角.因为ABCDEF是正六边形,所以AD=2AB.因为tanADP=1,所以直线PD与平面ABC所成的角为45°.故选D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知平面,P且P,过点P的直线m与,分别交于A,C,过点P的直线n与,分别交于B,D,且PA=6,AC=9,PD=8,则BD的长为 . 解析:如图1,因为ACBD=P,所以经过直线AC与BD可确定平面PCD.因为,平面PCD=AB,平面PCD=CD,所以ABCD.所以=,即=,所以BD=.如图2,同理可证ABCD.所以=,即=,所以BD=24.综上所述,BD=或24.答案:或2414.如图,在四面体ABCD中,BC=CD,ADBD,E,F分别为AB,BD的中点,则BD与平面CEF的位置关系是. 解析:因为E,F分别为AB,BD的中点,所以EFAD.又ADBD,所以EFBD.又BC=CD,F为BD的中点,所以CFBD,又EFCF=F,所以BD平面CEF.答案:垂直15.ABC 是边长为6的等边三角形,P 为空间一点,PA=PB=PC,P到平面ABC距离为,则 PA与平面ABC 所成角的正弦值为. 解析:过P作底面ABC 的垂线,垂足为O,连接AO并延长交BC于E,因为P为边长为6的正三角形ABC所在平面外一点且PA=PB=PC,P到平面ABC距离为,所以O是三角形ABC 的中心,且PAO就是PA与平面ABC所成的角,因为AO=AE=2.且PA=,所以sinPAO=;即PA与平面ABC所成角的正弦值为.答案:16.如图,点P在正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线BC1上运动,则下列四个命题:三棱锥AD1PC的体积不变;A1P平面ACD1;DPBC1;平面PDB1平面ACD1.其中正确的命题的序号是. 解析:如图,对于,容易证明AD1BC1,从而BC1平面AD1C,故BC1上任意一点到平面AD1C的距离均相等,所以以P为顶点,平面AD1C为底面的三棱锥的体积不变,即三棱锥AD1PC的体积不变,正确;对于,连接A1B,A1C1,容易证明A1C1􀱀AC,由知,AD1BC1,所以平面BA1C1平面ACD1,从而由线面平行的定义可得,正确;对于由于DC平面BCC1B1,所以DCBC1,若DPBC1,则BC1平面DCP,BC1PC,则P为中点,与P为动点矛盾,错误;对于,连接DB1,由DB1AC且DB1AD1,可得DB1平面ACD1,从而由面面垂直的判定知正确.答案:三、解答题(本大题共5小题,共70分)17.(本小题满分14分)如图,在矩形ABCD中,AB=2AD,E为AB的中点,N为BC的中点,沿DE将ADE折起.(1)若平面ADE平面BCDE,求证:AB=AC;(2)若AB=AC,求证:平面ADE平面BCDE.证明:(1)取DE的中点M,连接AM,因为在翻折前,四边形ABCD为矩形,AB=2AD,E为AB的中点,所以翻折后AD=AE,则AMDE,又平面ADE平面BCDE,所以AM平面BCDE,所以AMBC,又N为BC的中点,所以MNBC,因为AMMN=M,所以BC平面AMN,所以BCAN,又N为BC的中点,所以AB=AC.(2)由(1)设M是DE中点,因为N为BC的中点,所以MNDC,又BCDC,所以MNBC,又AB=AC,所以BCAN,又MNAN=N,所以BC平面AMN,所以BCAM,由(1)知AMDE,又DE与BC不平行,所以AM平面BCDE,又AM平面ADE,所以平面ADE平面BCDE.18.(本小题满分14分)如图,在四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD为直角梯形,ABAD,ABCD,CD=AD=2AB=2AP.(1)求证:平面PCD平面PAD;(2)在侧棱PC上是否存在点E,使得BE平面PAD,若存在,确定点E位置;若不存在,说明理由.(1)证明:因为PA平面ABCD,所以PACD. 又因为ABAD,ABCD,所以CDAD. 由可得CD平面PAD.又CD平面PCD,所以平面PCD平面PAD.(2)解:当点E是PC的中点时,BE平面PAD.证明如下:设PD的中点为F,连接EF,AF,易得EF是PCD的中位线,所以EFCD,EF=CD.由题设可得ABCD,AB=CD,所以EFAB,EF=AB,所以四边形ABEF为平行四边形,所以BEAF.又BE平面PAD,AF平面PAD,所以BE平面PAD.19.(本小题满分14分)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,E,F,G 分别为 AB,BB1,B1C1 的中点.(1)求证:A1DFG;(2)求二面角 A1DEA 的正切值.(1)证明:如图,连接B1C,BC1,在正方体ABCDA1B1C1D1中,因为F,G分别为BB1,B1C1的中点,所以FGBC1,又因为A1DB1C,B1CBC1,所以A1DFG.(2)解:过A作AHED于H,连接A1H,因为在正方体ABCDA1B1C1D1中,A1A底面ABCD,所以A1AED,因为AHED,A1AAH=A,所以ED平面A1AH,所以EDA1H,所以AHA1是二面角ADEA1的平面角,因为正方体的棱长为2,E为AB的中点,所以AE=1,AD=2,所以在RtEAD中,AH=,所以在RtA1AH中,tanAHA1=.所以二面角A1DEA的正切值为.20.(本小题满分14分)如图所示,正四棱锥PABCD中,O为底面正方形的中心,侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为.(1)求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小;(2)若E是PB的中点,求异面直线PD与AE所成角的正切值;(3)问在棱AD上是否存在一点F,使EF侧面PBC,若存在,试确定点F的位置;若不存在,说明理由.解:(1)取AD中点M,连接MO,PM,依条件可知ADMO,ADPO,则PMO为所求二面角PADO的平面角.因为PO平面ABCD,所以PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角.所以tanPAO=.设AB=a,AO=a,所以PO=AO·tanPAO=a,tanPMO=.所以PMO=60°.(2)连接AE,OE,因为OEPD,所以OEA为异面直线PD与AE所成的角.因为AOBD,AOPO,所以AO平面PBD.又OE平面PBD,所以AOOE.因为OE=PD=a,所以tanAEO=.(3)延长MO交BC于N,取PN中点G,连EG,MG.因为BCMN,BCPN,所以BC平面PMN.所以平面PMN平面PBC.又PM=PN,PMN=60°,所以PMN为正三角形.所以MGPN.又平面PMN平面PBC=PN,所以MG平面PBC.取AM中点F,因为EGMF,所以MF=MA=EG,所以EFMG.所以EF平面PBC.点F为AD的四等分点.21.(本小题满分14分)如图,在多面体ABCDEF中,四边形CDEF是正方形,ABCD,CD=2AB,G为DE的中点.(1)求证:BG平面ADF;(2)若CD=2,ABBD,BD=BE,DBE=90°,求三棱锥ABDF的体积.(1)证明:设CE与DF的交点为H,则点H为CE的中点,连接HG,AH.在CDE中,G为DE的中点,H为CE的中点,所以HGCD,且CD=2HG.又因为ABCD,CD=2AB,所以ABHG,且AB=HG,所以四边形AHGB是平行四边形,所以BGAH.因为AH平面ADF,BG平面ADF,所以BG平面ADF.(2)解:因为ABBD,BDBE,AB,BE平面AFEB,ABBE=B,所以BD平面AFEB.在正方形CDEF中,CDDE,ABCD,所以ABDE.又因为ABBD,BD,BE平面BDE,BDBE=B,所以AB平面BDE,所以ABBE.在RtBDE中,DBE=90°,BD=BE,DE=CD=2,所以BD=BE=.因为CD=2AB,CD=2,所以AB=1,所以三棱锥ABDF的体积=SABF·DB=×AB·BE·DB=××1××=.11