2021高考数学大一轮复习滚动测试卷四第一_九章理新人教A版.docx

滚动测试卷四(第一九章)(时间:120分钟满分:150分)滚动测试卷第13页 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2019广东潮州高三二模)已知集合A=-3,-2,-1,0,1,2,3,B=xR|x2-4x-50,则AB=()A.-3,-2,-1,0,1B.-1,0,1,2,3C.-3,-2D.-3,-2,-1,0,1,2,3答案:B解析:B=xR|x2-4x-50=xR|-1x5,AB=-1,0,1,2,3.2.设复数3-i2 021在复平面内对应的点为A,则过原点和点A的直线的倾斜角为()A.6B.-6C.23D.56答案:D解析:设直线的倾斜角为,0,),复数3-i2021=3-i在复平面内对应的点是A(3,-1),原点(0,0),直线过原点和点A,直线的斜率k=-1-03-0=-33,即tan=-33,=56.故选D.3.将函数f(x)=sin2x+6的图象向右平移6个单位,则所得的图象对应的函数解析式是()A.y=sin 2xB.y=cos 2xC.y=sin2x+23D.y=sin2x-6答案:D解析:f(x)=sin2x+6,将函数f(x)=sin2x+6的图象向右平移6个单位,所得的图象对应的函数解析式是y=sin2x-6.4.已知函数y=f(x)的定义域为x|x0,满足f(x)+f(-x)=0,当x>0时,f(x)=ln x-x+1,则函数y=f(x)的大致图象是()答案:A解析:因为函数y=f(x)的定义域为x|x0,满足f(x)+f(-x)=0,所以函数f(x)是奇函数,排除C项、D项.当x=e时,f(e)=1-e+1=2-e<0,排除B项,A项正确.5.在ABC中,D是边AB上一点.若AD=2DB,CD=13CA+CB,则=()A.23B.13C.-13D.-23答案:A解析:在ABC中,D是边AB上一点.AD=2DB,CD=13CA+CB,又CD=CA+AD=CA+23AB=CA+23(CB-CA)=13CA+23CB,=23.6.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:x+2y+5=0,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()A.x220-y25=1B.x25-y220=1C.3x225-3y2100=1D.3x2100-3y225=1答案:A解析:双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:x+2y+5=0,双曲线的一个焦点在直线l上,-ba=-12,c=-5,a2+b2=c2,解得a=25,b=5.双曲线方程为x220-y25=1.7.如图,在ABC中,点D在AC上,ABBD,BC=33,BD=5,sinABC=235,则CD的长为()A.14B.4C.25D.5答案:B解析:由题意可得,sinABC=235=sin2+CBD=cosCBD,再根据余弦定理可得,CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cosCBD=27+25-2×33×5×235=16,可得CD=4.8.(2019云南曲靖沾益四中高三三模)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面四边形ABCD为正方形,AA1平面ABCD,AB=1,AA1=2,点P是平面A1B1C1D1内的一个动点,则三棱锥P-ABC的正视图与俯视图的面积之比的最大值为()A.1B.2C.12D.14答案:B解析:因为在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AA1=2,所以三棱锥P-ABC的正视图是底边长为1,高为2的三角形,其面积为1;三棱锥P-ABC的俯视图面积的最小值是ABC的面积,其面积为12,所以三棱锥P-ABC的正视图与俯视图的面积之比的最大值为2.故选B.9.已知P为抛物线y2=4x上一个动点,Q为圆x2+(y-4)2=1上一个动点,则点P到点Q的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值是()A.5B.8C.17-1D.15-1答案:C解析:抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),圆x2+(y-4)2=1的圆心为E(0,4),半径为1.根据抛物线的定义可知,点P到准线的距离等于点P到焦点的距离,所以当P,Q,E,F四点共线时,点P到点Q的距离与点P到直线x=-1的距离之和最小,为|QF|=|EF|-r=42+1-1=17-1.10.如图,已知正四面体D-ABC(所有棱长均相等的三棱锥),P,Q,R分别为AB,BC,CA上的点,AP=PB,BQQC=CRRA=2.分别记二面角D-PR-Q,D-PQ-R,D-QR-P的平面角为,则()A.<<B.<<C.<<D.<<答案:B解析:设等边三角形ABC的中心为O,O到直线PR,PQ,QR的距离分别为d1,d2,d3,正四面体的高DO=h,则tan=hd1,tan=hd2,tan=hd3,因为d1>d3>d2,所以hd1<hd3<hd2,所以<<,故选B.11.设等差数列an的前n项和为Sn,若a2=-11,a5+a9=-2,则当Sn取最小值时,n等于()A.9B.8C.7D.6答案:C解析:设等差数列的首项为a1,公差为d,由a2=-11,a5+a9=-2,得a1+d=-11,a1+6d=-1,解得a1=-13,d=2.an=-15+2n.由an=-15+2n0,解得n152.当Sn取最小值时,n=7.12.已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为36的直线上,PF1F2为等腰三角形,F1F2P=120°,则C的离心率为()A.23B.12C.13D.14答案:D解析:A(-a,0),PF1F2为等腰三角形,|PF2|=|F1F2|=2c.过点P作PEx轴,F1F2P=120°,PF2E=60°.|F2E|=c,|PE|=3c,P(2c,3c).kPA=36,PA所在直线方程为y=36(x+a).3c=36(2c+a).e=ca=14.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.用x表示不大于实数x的最大整数,方程lg2x-lg x-2=0的实根个数是. 答案:3解析:令lgx=t,则得t2-2=t.作y=t2-2与y=t的图象,知t2-2=t有3个解,分别是t=-1,t=2,还有一解在1<t<2内.当1<t<2时,t=1,所以t=3.故得x=110,x=100,x=103,即共有3个实根.14.(2019河北衡水中学高三下学期大联考)设实数x,y满足约束条件x+y0,x-y-20,x0,则z=3x+2y的最大值为. 答案:1解析:不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示,平移直线y=-32x,可知当直线y=-32x+z2经过点P(1,-1)时,z=3x+2y取最大值1.15.正四棱锥P-ABCD的五个顶点在同一球面上,若该正四棱锥的底面边长为4,侧棱长为26,则这个球的表面积为. 答案:36解析:正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高PO1所在的直线上,记为O,设球半径为R,则PO=AO=R,PO1=4,OO1=R-4或OO1=4-R.在RtAO1O中,R2=8+(R-4)2,得R=3,所以球的表面积为S=4R2=36.16.已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为78,SA与圆锥底面所成角为45°.若SAB的面积为515,则该圆锥的侧面积为. 答案:402解析:设O为底面圆圆心,cosASB=78,sinASB=1-782=158.SASB=12×|AS|·|BS|·158=515.SA2=80.SA=45.SA与圆锥底面所成的角为45°,SOA=90°,SO=OA=22SA=210.S圆锥侧=rl=45×210×=402.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcos A+33a=c.(1)求cos B;(2)如图,D为ABC外一点,在平面四边形ABCD中,D=2B,且AD=1,CD=3,BC=6,求AB的长.解:(1)在ABC中,由正弦定理,得sinBcosA+33sinA=sinC.又C=-(A+B),所以sinBcosA+33sinA=sin(A+B),即sinBcosA+33sinA=sinAcosB+cosAsinB,所以sinAcosB=33sinA.又A(0,),所以sinA0,所以cosB=33.(2)D=2B,cosD=2cos2B-1=-13.在ACD中,AD=1,CD=3,由余弦定理,得AC2=AD2+CD2-2AD·CD·cosD=1+9-2×1×3×-13=12,则AC=23.在ABC中,BC=6,AC=23,cosB=33,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB,即12=AB2+6-2·AB×6×33,化简得AB2-22AB-6=0,解得AB=32(负值舍去).故AB的长为32.18.(12分)(2019广东汕头高三二模)如图,等边三角形PAC所在平面与梯形ABCD所在平面垂直,且有ADBC,AB=AD=DC=2,BC=4.(1)证明:平面PAB平面PAC;(2)求二面角B-PC-D的余弦值.(1)证明取BC中点M,连接AM,则四边形AMCD为菱形,即有AM=MC=12BC,ABAC.AB平面ABCD,平面ABCD平面PAC,平面ABCD平面PAC=AC,又AB平面PAB,平面PAB平面PAC.AB平面PAC.(2)解由(1)可得AC=23.取AC中点O,连接PO,则POAC,PO=3.PO平面PAC,平面PAC平面ABCD,平面PAC平面ABCD=AC,PO平面ABCD.以A为原点建立空间直角坐标系如图,则B(2,0,0),P(0,3,3),C(0,23,0),D(-1,3,0),BC=(-2,23,0),PC=(0,3,-3),CD=(-1,-3,0).设平面BPC的法向量为n1=(x1,y1,z1),则-2x1+23y1=0,3y1-3z1=0,取z1=1,得n1=(3,3,1).设平面PCD的法向量为n2=(x2,y2,z2),则-x2-3y2=0,3y2-3z2=0,取z2=1,得n2=(-3,3,1).cos<n1,n2>=n1·n2|n1|n2|=-9+3+113×13=-513.二面角B-PC-D的余弦值为513.19.(12分)已知动圆C与圆E:x2+(y-1)2=14外切,并与直线y=-12相切.(1)求动圆圆心C的轨迹;(2)若从点P(m,-4)作曲线的两条切线,切点分别为A,B,求证:直线AB恒过定点.(1)解由题意知,圆E的圆心为E(0,1),半径为12.设动圆圆心C(x,y),半径为r.因为圆C与直线y=-12相切,所以d=r,即y+12=r.因为圆C与圆E外切,所以|CE|=12+r,即x2+(y-1)2=12+r.联立,消去r,可得x2=4y.所以动圆圆心C的轨迹是以E(0,1)为焦点,y=-1为准线的抛物线.(2)证明由已知直线AB的斜率一定存在.不妨设直线AB的方程为y=kx+b.联立x2=4y,y=kx+b,整理,得x2-4kx-4b=0,其中=16(k2+b)>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-4b.由抛物线的方程可得,y=14x2,y'=12x.过点A(x1,y1)的抛物线的切线方程为y-y1=12x1(x-x1),又y1=14x12,代入切线方程整理得,y=12x1x-14x12.切线过P(m,-4),代入整理得,x12-2mx1-16=0,同理可得x22-2mx2-16=0.x1,x2为关于x的方程x2-2mx-16=0的两个根,x1+x2=2m,x1x2=-16.由可得,x1x2=-4b=-16,x1+x2=4k=2m.b=4,k=m2,直线AB的方程为y=m2x+4.直线AB恒过定点(0,4).20.(12分)已知xn是各项均为正数的等比数列,且x1+x2=3,x3-x2=2.(1)求数列xn的通项公式;(2)如图,在平面直角坐标系xOy中,依次连接点P1(x1,1),P2(x2,2),Pn+1(xn+1,n+1)得到折线P1P2Pn+1,求由该折线与直线y=0,x=x1,x=xn+1所围成的区域的面积Tn.解:(1)设数列xn的公比为q,由已知q>0.由题意得x1+x1q=3,x1q2-x1q=2.所以3q2-5q-2=0.因为q>0,所以q=2,x1=1,因此数列xn的通项公式为xn=2n-1.(2)过P1,P2,Pn+1向x轴作垂线,垂足分别为Q1,Q2,Qn+1.由(1)得xn+1-xn=2n-2n-1=2n-1,记梯形PnPn+1Qn+1Qn的面积为bn,由题意bn=(n+n+1)2×2n-1=(2n+1)×2n-2,所以Tn=b1+b2+bn=3×2-1+5×20+7×21+(2n-1)×2n-3+(2n+1)×2n-2.又2Tn=3×20+5×21+7×22+(2n-1)×2n-2+(2n+1)×2n-1,-得-Tn=3×2-1+(2+22+2n-1)-(2n+1)×2n-1=32+2(1-2n-1)1-2-(2n+1)×2n-1.所以Tn=(2n-1)×2n+12.21.(12分)(2019河北邯郸大名一中高三模拟)已知F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,过F的动直线交抛物线C于A,B两点.当直线与x轴垂直时,|AB|=4.(1)求抛物线C的方程;(2)设直线AB的斜率为1且与抛物线的准线l相交于点M,抛物线C上存在点P使得直线PA,PM,PB的斜率成等差数列,求点P的坐标.解:(1)因为Fp2,0,在抛物线方程y2=2px中,令x=p2,可得y=±p.于是当直线与x轴垂直时,|AB|=2p=4,解得p=2.所以抛物线的方程为y2=4x.(2)由题意得直线AB的方程为y=x-1.因为抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,所以M(-1,-2).联立y2=4x,y=x-1,消去x,得y2-4y-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4,y1y2=-4.若点P(x0,y0)满足条件,则2kPM=kPA+kPB,即2·y0+2x0+1=y0-y1x0-x1+y0-y2x0-x2.因为点P,A,B均在抛物线上,所以x0=y024,x1=y124,x2=y224.代入化简可得2(y0+2)y02+4=2y0+y1+y2y02+(y1+y2)y0+y1y2,将y1+y2=4,y1y2=-4代入,解得y0=±2.将y0=±2代入抛物线方程,可得x0=1.于是点P(1,±2)为满足题意的点.22.(12分)已知函数f(x)=x-1x-aln x,(1)若f(x)无极值点,求a的取值范围;(2)设g(x)=x+1x-(ln x)2,当a取(1)中的最大值时,求g(x)的最小值;(3)证明:i=1n12i(2i+1)>ln2n+12n+1(nN*).(1)解求导函数,可得f'(x)=x2-ax+1x2,函数f(x)无极值点,方程x2-ax+1=0在区间(0,+)内无根或有唯一根,方程a=x+1x在区间(0,+)内无根或有唯一根,又x+1x2(当且仅当x=1时取等号),x+1xmin=2,a2.故a的取值范围是(-,2.(2)解当a=2时,f(x)=x-1x-2lnx,g(x)=x+1x-(lnx)2,由(1)知,f(x)在区间(0,+)内是增函数,当x(0,1)时,f(x)=x-1x-2lnx<f(1)=0,即x-1x<2lnx<0;当x(1,+)时,f(x)=x-1x-2lnx>f(1)=0,即x-1x>2lnx>0;当x>0时,x-1x|2lnx|=|lnx2|,令x2=t>0,t-1t|lnt|,两边平方,得t+1t-2(lnt)2,当t>0时,t+1t-2(lnt)2成立,当且仅当t=1时取等号,当x=1时,函数g(x)取最小值2.(3)证明由上知,当x>1时,x+1x-(lnx)2>2,当x>1时,x-1x>lnx成立,令x=2n+12n,得2n+12n-2n2n+1>ln2n+12n,即12n(2n+1)>ln2n+12n,不等式:i=1n12i(2i+1)>ln21+121+ln2n+12n>ln21+221+1+ln2n+22n+1=ln2n·20+121+1··2n-1+12n+1=ln2n+12n+1.即i=1n12i(2i+1)>ln2n+12n+1(nN*).15