吉林省吉林一中2015_2016学年高二数学上学期期中试卷理含解析.doc

2015-2016学年吉林省吉林一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1不等式x22x30的解集为( )Ax|1x3BCRDx|3x12如果a，b，c满足cba且ac0，那么下列选项中不一定成立的是( )AabacBc（ba）0Ccb2ab2Dac（ac）03已知1，a1，a2，8成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，那么的值为( )A5B5CD4在ABC中，若acosA=bcosB，则ABC的形状是( )A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形5下列各函数中，最小值为2的是( )Ay=x+By=sinx+，x（0，）Cy=Dy=x+16在等比数列an中，若的值为( )A4B2C2D47各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若Sn=3，S3n=39，则S4n等于( )A80B90C120D1308已知等比数列an中，各项都是正数，且a1，2a2成等差数列，则=( )A1+B1C3+2D329已知等差数列an有奇数项，奇数项和为36，偶数项和为30，则项数n=( )A5B7C9D1110已知数列an为等差数列，若，且它们的前n项和Sn有最大值，则使得Sn0的n的最大值为( )A11B19C20D2111已知x，y满足不等式组若当且仅当时，z=ax+y（a0）取得最大值，则a的取值范围是( )A（0，）B（，+）C（0，）D（，+）12若不等式x2+ax+10对一切成立，则a的最小值为( )A0B2CD3二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13Sn是数列an的前n项和，若，则=_14若在ABC中，A=60°，b=1，SABC=，则ABC外接圆的半径R=_15已知变量x，y满足约束条件，则z=的取值范围是_16设Sn为等差数列an的前n项和，若Sn=，则Sm+n的取值范围是_三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17已知等差数列an满足a2=2，a5=8（1）求an的通项公式；（2）各项均为正数的等比数列bn中，b1=1，b2+b3=a4，求bn的前n项和Tn18已知ABC，角A，B，C的对边分别为a，b，c且a2c2=b（ab）且c=（1）求角C； （2）求ABC面积的最大值19已知函数f（x）=，若数列an（nN*）满足：a1=1，an+1=f（an）（1）证明数列为等差数列，并求数列an的通项公式；（2）设数列cn满足：cn=，求数列cn的前n项的和Sn20设数列an满足=n（1）求数列an的通项公式； （2）求数列|an|前n项和Tn21解关于x的不等式122已知数列an满足sn=且a1=3，令bn=（1）求数列bn的通项公式；（2）令cn=，数列cn的前n项和为Tn，若TnM对nN都成立，求M的最小值2015-2016学年吉林省吉林一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1不等式x22x30的解集为( )Ax|1x3BCRDx|3x1【考点】一元二次不等式的解法 【专题】计算题；方程思想；不等式的解法及应用【分析】利用二次不等式的解法，求解即可【解答】解：x22x3=0，可得方程的解为：x=1，x=3不等式x22x30的解集为：x|1x3故选：A【点评】本题考查二次不等式的解法，考查计算能力2如果a，b，c满足cba且ac0，那么下列选项中不一定成立的是( )AabacBc（ba）0Ccb2ab2Dac（ac）0【考点】不等关系与不等式 【专题】常规题型【分析】本题根据cba，可以得到ba与ac的符号，当a0时，则A成立，c0时，B成立，又根据ac0，得到D成立，当b=0时，C不一定成立【解答】解：对于A，cba且ac0，则a0，c0，必有abac，故A一定成立对于B，cbaba0，又由c0，则有c（ba）0，故B一定成立，对于C，当b=0时，cb2ab2不成立，当b0时，cb2ab2成立，故C不一定成立，对于D，cba且ac0ac0ac（ac）0，故D一定成立故选C【点评】本题考查了不等关系与不等式，属于基础题3已知1，a1，a2，8成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，那么的值为( )A5B5CD【考点】等比数列的性质；等差数列的性质 【专题】计算题【分析】由1，a1，a2，8成等差数列，利用等差数列的性质列出关于a1与a2的两个关系式，联立组成方程组，求出方程组的解得到a1与a2的值，再由1，b1，b2，b3，4成等比数列，利用等比数列的性质求出b12=4，再根据等比数列的性质得到b12=b20，可得出b2小于0，开方求出b2的值，把a1，a2及b2的值代入所求式子中，化简即可求出值【解答】解：1，a1，a2，8成等差数列，2a1=1+a2，2a2=a1+8，由得：a1=2a28，代入得：2（2a28）=1+a2，解得：a2=5，a1=2a28=108=2，又1，b1，b2，b3，4成等比数列，b12=b20，即b20，b22=（1）×（4）=4，开方得：b2=2，则=5故选A【点评】此题考查了等差数列的性质，以及等比数列的性质，熟练掌握性质是解本题的关键，同时在求b2值时，应先判断得出b2的值小于0，进而开方求出4在ABC中，若acosA=bcosB，则ABC的形状是( )A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形【考点】三角形的形状判断 【专题】计算题【分析】利用正弦定理化简已知的等式，再根据二倍角的正弦函数公式变形后，得到sin2A=sin2B，由A和B都为三角形的内角，可得A=B或A+B=90°，从而得到三角形ABC为等腰三角形或直角三角形【解答】解：由正弦定理asinA=bsinB化简已知的等式得：sinAcosA=sinBcosB，sin2A=sin2B，sin2A=sin2B，又A和B都为三角形的内角，2A=2B或2A+2B=，即A=B或A+B=，则ABC为等腰或直角三角形故选D【点评】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有正弦定理，二倍角的正弦函数公式，以及正弦函数的图象与性质，其中正弦定理很好得解决了三角形的边角关系，利用正弦定理化简已知的等式是本题的突破点5下列各函数中，最小值为2的是( )Ay=x+By=sinx+，x（0，）Cy=Dy=x+1【考点】基本不等式 【专题】综合题【分析】对于选项A中的x来说，因为x不等于0，所以x大于0小于0不确定，所以最小值不一定为2；对于选项B和C中的函数来说，sinx大于0，而也大于0，但是基本不等式不满足取等号的条件；所以只有选项D满足最小值为2【解答】解：对于A：不能保证x0，对于B：不能保证sinx=，对于C：不能保证=，对于D：y=x+131=2故选D【点评】此题考查学生掌握基本不等式求函数最小值所满足的条件，是一道综合题6在等比数列an中，若的值为( )A4B2C2D4【考点】等比数列的性质 【专题】计算题【分析】把所求的式子利用等比数列的性质化简，即可求出a6的值，然后把所求的式子也利用等比数列的性质化简后，将a6的值代入即可求出值【解答】解：由a2a3a6a9a10=（a2a10）（a3a9）a6=a65=32=25，得到a6=2，则=a6=2故选B【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的性质化简求值，是一道基础题学生化简已知条件时注意项的结合7各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若Sn=3，S3n=39，则S4n等于( )A80B90C120D130【考点】等比数列的性质 【专题】方程思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】由已知可得：公比q1，q0由于Sn=3，S3n=39，可得=3，=39，解得qn=3.=即可得出【解答】解：由已知可得：公比q1，q0Sn=3，S3n=39，=3，=39，化为q2n+qn12=0，解得qn=3=则S4n=120故选：C【点评】本题考查了等比数列的通项公式性质及其前n项和公式、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8已知等比数列an中，各项都是正数，且a1，2a2成等差数列，则=( )A1+B1C3+2D32【考点】等差数列的性质；等比数列的性质 【专题】计算题【分析】先根据等差中项的性质可知得2×（）=a1+2a2，进而利用通项公式表示出q2=1+2q，求得q，代入中即可求得答案【解答】解：依题意可得2×（）=a1+2a2，即，a3=a1+2a2，整理得q2=1+2q，求得q=1±，各项都是正数q0，q=1+=3+2故选C【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质考查了学生综合分析的能力和对基础知识的理解9已知等差数列an有奇数项，奇数项和为36，偶数项和为30，则项数n=( )A5B7C9D11【考点】等差数列的性质 【专题】方程思想；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】设等差数列an有奇数项2k1，（kN*）公差为2d由于奇数项和为36，偶数项和为30，可得36=a1+a3+a2k+1，30=a2+a4+a2k，分别相加相减即可得出【解答】解：设等差数列an有奇数项2k1，（kN*）公差为2d奇数项和为36，偶数项和为30，36=a1+a3+a2k+1，30=a2+a4+a2k，=（2k+1）ak+1，6=a2k+1kd=a1+kd=ak+1，11=2k+1=n，故选：D【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10已知数列an为等差数列，若，且它们的前n项和Sn有最大值，则使得Sn0的n的最大值为( )A11B19C20D21【考点】等差数列的性质 【专题】计算题；压轴题【分析】由可得，由它们的前n项和Sn有最大可得a100，a11+a100，a110从而有a1+a19=2a100a1+a20=a11+a100，从而可求满足条件的n的值【解答】解：由可得由它们的前n项和Sn有最大值，可得数列的d0a100，a11+a100，a110a1+a19=2a100，a1+a20=a11+a100使得Sn0的n的最大值n=19故选B【点评】本题主要考查了等差数列的性质在求解和的最值中应用，解题的关键是由已知及它们的前n项和Sn有最大a100，a11+a100，a110，灵活利用和公式及等差数列的性质得到a1+a19=2a100，a1+a20=a11+a100是解决本题的另外关键点11已知x，y满足不等式组若当且仅当时，z=ax+y（a0）取得最大值，则a的取值范围是( )A（0，）B（，+）C（0，）D（，+）【考点】简单线性规划 【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可【解答】解：由z=ax+y（a0）得y=ax+z（a0）直线y=ax+z（a0）是斜率为a0，y轴上的截距为z的直线，要使（3，0）是目标函数z=ax+y（a0）取最大值的唯一的最优解，则满足akAB=，解得a故选：D【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，要熟练掌握目标函数的几何意义12若不等式x2+ax+10对一切成立，则a的最小值为( )A0B2CD3【考点】一元二次不等式与二次函数 【专题】不等式的解法及应用【分析】令f（x）=x2+ax+1，要使得f（x）0在区间（0，）恒成立，只要f（x）在区间（0，）上的最小值大于等于0即可得到答案【解答】解：设f（x）=x2+ax+1，则对称轴为x=若，即a1时，则f（x）在0，上是减函数，应有f（）0a1若0，即a0时，则f（x）在0，上是增函数，应有f（0）=10恒成立，故a0若0，即1a0，则应有f（）=恒成立，故1a0综上，有a故选：C【点评】本题主要考查一元二次函数求最值的问题一元二次函数的最值是高考中必考内容，要注意一元二次函数的开口方向、对称轴、端点值二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13Sn是数列an的前n项和，若，则=【考点】数列的求和 【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】利用递推关系可得an，再利用等比数列的前n项和公式即可得出【解答】解：，当n=1时，a1=2；当n2时，an=SnSn1=（3n1）（3n11）=2×3n1当n=1时上式也成立，an=2×3n1=4×32n2=4×9n1数列是等比数列，首项为4，公比为9=；故答案为：【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14若在ABC中，A=60°，b=1，SABC=，则ABC外接圆的半径R=1【考点】三角形中的几何计算 【专题】方程思想；转化法；解三角形【分析】运用三角形的面积公式S=bcsinA，求得c=2，由余弦定理可得a，再由正弦定理，即可得到所求半径R=1【解答】解：由A=60°，b=1，SABC=，则bcsinA=1c=，解得c=2，由余弦定理可得a2=b2+c22bccosA，即a2=1+4212=3，解得a=，由正弦定理可得，=2R=2，解得R=1故答案为：1【点评】本题考查正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的运用，考查运算能力，属于基础题15已知变量x，y满足约束条件，则z=的取值范围是0，【考点】简单线性规划 【专题】不等式的解法及应用【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，然后分析 目标函数的几何意义，结合图象，用数形结合的思想，即可求解【解答】解：画出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，则z=表示可行域内的点P（x，y）与点（3，1）的连线的斜率加上1，观察图形可知，kOA=0，kOB，=，所以z0，；故答案为：0，【点评】平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案16设Sn为等差数列an的前n项和，若Sn=，则Sm+n的取值范围是（4，+）【考点】等差数列的性质 【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】首先设出等差数列的前n项和Sn=An2+Bn，由已知Sn=，列式求出A，B，代入Sm+n=，利用基本不等式得到Sn+m的范围，则答案可求【解答】解：an是等差数列，设Sn=An2+Bn，Sn=，An2+Bn=，Am2+Bm=，故B=0，A=Sm+n=4，Sm+n的取值范围是（4，+）故答案为：（4，+）【点评】本题考查了等差数列的前n项和，解答此题的关键是明确等差数列前n项和的形式，是基础题三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17已知等差数列an满足a2=2，a5=8（1）求an的通项公式；（2）各项均为正数的等比数列bn中，b1=1，b2+b3=a4，求bn的前n项和Tn【考点】等比数列的前n项和；等差数列的通项公式 【专题】综合题【分析】（1）求an的通项公式，可先由a2=2，a5=8求出公差，再由an=a5+（n5）d，求出通项公式；（2）设各项均为正数的等比数列bn的公比为q（q0），利用等比数列的通项公式可求首项b1及公比q，代入等比数列的前n项和公式可求Tn【解答】解：（1）设等差数列an的公差为da2=2，a5=8a1+d=2，a1+4d=8解得 a1=0，d=2数列an的通项公式an=a1+（n1）d=2n2（2）设各项均为正数的等比数列bn的公比为q（q0）由（1）知an=2n2b1=1，b2+b3=a4=6q1q=2或q=3（舍去）bn的前n项和Tn=2n1【点评】等差数列与等比数列的通项公式的求解及前n项和的求解是数列的最基础的考查，是高考中的基础试题，对考生的要求是熟练掌握公式，并能进行一些基本量之间的运算18已知ABC，角A，B，C的对边分别为a，b，c且a2c2=b（ab）且c=（1）求角C； （2）求ABC面积的最大值【考点】余弦定理的应用 【专题】方程思想；解三角形【分析】（1）把已知的等式变形后，得到一个关系式，然后利用余弦定理表示出cosC，把变形后的关系式代入即可求出cosC的值，根据C的范围，利用特殊角的三角函数值即可得到C的度数；（2）运用余弦定理可得c2=a2+b2ab，运用基本不等式可得ab6，再由三角形的面积公式即可得到最大值【解答】解：（1）因为a2c2=b（ab），即a2+b2c2=ab，则cosC=，又C（0°，180°），所以C=60°（2）由余弦定理可得，c2=6=a2+b22abcosC=a2+b2ab2abab=ab，即有ab6，当且仅当a=b，取得等号则ABC的面积为S=absinC=ab，当且仅当a=b=，取得最大值【点评】本题考查余弦定理和三角形的面积公式的运用，考查运用基本不等式求最值的方法，属于中档题19已知函数f（x）=，若数列an（nN*）满足：a1=1，an+1=f（an）（1）证明数列为等差数列，并求数列an的通项公式；（2）设数列cn满足：cn=，求数列cn的前n项的和Sn【考点】数列的求和 【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】（1）an+1=f（an）=，两边取倒数可得；=2，即可证明（2）cn=（2n1）3n，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出【解答】（1）证明：an+1=f（an）=，两边取倒数可得；=+2，即=2，数列为等差数列，首项为1，公差为2=1+2（n1）=2n1，an=（2）解：cn=（2n1）3n，数列cn的前n项的和Sn=3+3×32+5×33+（2n1）3n，3Sn=32+3×33+5×34+（2n3）3n+（2n1）3n+1，2Sn=3+2（32+33+3n）（2n1）3n+1=3（2n1）3n+1=2（1n）3n+16，Sn=（n1）3n+1+3【点评】本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的前n项和公式、递推关系的应用、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20设数列an满足=n（1）求数列an的通项公式； （2）求数列|an|前n项和Tn【考点】数列的求和 【专题】分类讨论；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】（1）利用递推关系可得an；（2）设数列an的前n项和为Sn，可得Sn=10nn2令an=112n0，解得n5当n5时，数列|an|前n项和Tn=Sn当n6时，数列|an|前n项和Tn=a1+a2+a5a6an=2S5Sn，即可得出【解答】解：（1）数列an满足=n，当n=1时，=1，解得a1=9当n2时，+=n1，相减可得：=1，an=112n当n=1时也成立（2）设数列an的前n项和为Sn，可得Sn=10nn2令an=112n0，解得n5当n5时，数列|an|前n项和Tn=Sn=10nn2当n6时，数列|an|前n项和Tn=a1+a2+a5a6an=2S5Sn=5010n+n2综上可得：Tn=【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系的应用、分类讨论方法、含绝对值数列求和问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21解关于x的不等式1【考点】其他不等式的解法 【专题】不等式的解法及应用【分析】不等式1可化为：1=0，分别讨论a1与0的关系，与2的关系，可得不同情况下不等式的解集【解答】解：不等式1可化为：1=0，若a1=0，即a=1，解得：x（，2）；若a10，即a1，解得：x（，2）；若1a10，即0a1，解得：x（，2）（，+），若a11，即a0，解得：x（，）（2，+）【点评】本题考查的是分式不等式的解法，分类讨论思想，难度中档22已知数列an满足sn=且a1=3，令bn=（1）求数列bn的通项公式；（2）令cn=，数列cn的前n项和为Tn，若TnM对nN都成立，求M的最小值【考点】数列的求和 【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】（1）数列an满足sn=，利用当n2时，an=snsn1化为nan+1（n+1）an+1=0，由于bn=，可得an=nbn，代入可得bn+1bn=即可得出（2）由（1）可得：bn=可得an=2n+1cn=，即可得出数列cn的前n项和为Tn，利用不等式的性质即可得出【解答】解：（1）数列an满足sn=，当n2时，an=snsn1=，化为nan+1（n+1）an+1=0，bn=，an=nbn，n（n+1）bn+1n（n+1）bn+1=0，bn+1bn=bn=（bnbn1）+（bn1bn2）+（b2b1）+b1=+3=（2）由（1）可得：bn=an=2n+1cn=，数列cn的前n项和为Tn=+=，若TnM对nN都成立，M的最小值为【点评】本题考查了递推关系的应用、“裂项求和”、“放缩法”、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17