2016年中考数学一轮复习第二十五讲与圆有关的位置关系专题.doc

第25讲 与圆有关的位置关系考纲要求命题趋势1探索并了解点和圆、直线和圆以及圆和圆的位置关系2知道三角形的内心和外心3了解切线的概念，并掌握切线的判定和性质，会过圆上一点画圆的切线.直线与圆位置关系的判定是中考考查的热点，通常出现在选择题中中考考查的重点是切线的性质和判定，题型多样，常与三角形、四边形、相似、函数等知识结合在一起综合考查圆与圆位置关系的判定一般借助两圆公共点的个数或利用两圆半径与圆心距的关系来判定，通常出现在选择题、填空题中.知识梳理一、点与圆的位置关系1点和圆的位置关系点在圆_，点在圆_，点在圆_2点和圆的位置关系的判断如果圆的半径是r，点到圆心的距离为d，那么点在圆外_；点在圆上_；点在圆内_.3过三点的圆(1)经过三点的圆：经过在同一直线上的三点不能作圆；经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆(2)三角形的外心：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的_；这个三角形叫做这个圆的内接三角形二、直线与圆的位置关系1直线和圆的位置关系_、_、_.2概念(1)直线和圆有两个交点，这时我们就说这条直线和圆_，这条直线叫做圆的_；(2)直线和圆有唯一公共点，这时我们说这条直线和圆_，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点；(3)直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆_3直线和圆的位置关系的判断如果圆的半径是r，直线l到圆心的距离为d，那么直线l和O相交_；直线l和O相切_；直线l和O相离_.三、切线的判定和性质1切线的判定方法(1)经过半径的_并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；(2)到圆心的距离_半径的直线是圆的切线2切线的性质圆的切线垂直于经过_的半径3切线长定理过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角四、三角形(多边形)的内切圆1与三角形(多边形)内切圆有关的一些概念(1)和三角形各边都_的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的_，这个三角形叫做圆的_三角形；(2)和多边形各边都_的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形2三角形的内心的性质三角形的内心是三角形三条_的交点，它到三边的距离相等，且在三角形内部五、圆与圆的位置关系1概念两圆外离：两个圆_公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的_；两圆外切：两个圆有_的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的_；两圆相交：两个圆有_公共点；两圆内切：两个圆有_的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的_；两圆内含：两个圆_公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的_2圆与圆位置关系的判断设两圆半径分别为R和r，圆心距为O1O2d.两圆外离d_；两圆外切d_；两圆相交_d_(Rr)；两圆内切d_(Rr)；两圆内含_d_(Rr)六、两圆位置关系的相关性质1两圆相切、相交的有关性质(1)相切两圆的连心线必经过_(2)相交两圆的连心线垂直平分_2两圆位置关系中常作的辅助线(1)两圆相交，可作公共弦(2)两圆相切，可作公切线自主测试1在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，A的半径为2.下列说法中不正确的是()A当a5时，点B在A内B当1a5时，点B在A内C当a1时，点B在A外D当a5时，点B在A外2已知O的面积为9 cm2，若点O到直线l的距离为 cm，则直线l与O的位置关系是()A相交 B相切C相离 D无法确定3如图，CD切O于点B，CO的延长线交O于点A.若C36°，则ABD的度数是()A72° B63°C54° D36°4如图，国际奥委会会旗上的图案由五个圆环组成，在这个图案中反映出的两圆位置关系有()A内切、相交 B外离、相交C外切、外离 D外离、内切5如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为_6如图，AB是O的直径，A30°，延长OB到D使BDOB.(1)OBC是否是等边三角形？说明理由(2)求证：DC是O的切线考点一、点与圆的位置关系【例1】矩形ABCD中，AB8，BC3，点P在边AB上，且BP3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是()A点B，C均在圆P外B点B在圆P外、点C在圆P内C点B在圆P内、点C在圆P外D点B，C均在圆P内解析：画出矩形后求解出DP的长度即圆的半径，然后求出BP，CP的长度与DP的长度作比较就可以发现答案在RtADP中，DP7，在RtBCP中，BP6，PC9.PCDP，BPDP，点B在圆P内，点C在圆P外答案：C方法总结 解答这类题目的关键是运用数形结合的思想，将点与圆的图形位置关系转化为确定点到圆心的距离与半径之间的数量关系触类旁通1 若O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离为4 cm，那么点A与O的位置关系是()A点A在圆外 B点A在圆上C点A在圆内 D不能确定考点二、切线的性质与判定【例2】如图所示，AC为O的直径且PAAC，BC是O的一条弦，直线PB交直线AC于点D，.(1)求证：直线PB是O的切线；(2)求cosBCA的值分析：(1)连接OB，OP，由，且DD，根据三角形相似的判定定理得到BDCPDO，可得到BCOP，易证得BOPAOP，则PBOPAO90°；(2)设PBa，则BD2a，根据切线长定理得到PAPBa，根据勾股定理得到AD2a，又BCOP，得到DC2CO，得到DCCA×2aa，则OAa，利用勾股定理求出OP，然后根据余弦函数的定义即可求出cosBCAcosPOA的值解：(1)证明：连接OB，OP，且DD，BDCPDO，DBCDPO，BCOP，BCOPOA，CBOBOP.OBOC，OCBCBO，BOPPOA.又OBOA，OPOP，BOPAOP，PBOPAO.又PAAC，PAO90°，PBO90°，直线PB是O的切线(2)由(1)知BCOPOA，设PBa，则BD2a，又PAPBa，AD2a.又BCOP，DC2CO，DCCAAD×2aa，OAa，OPa，cosBCAcosPOA.方法总结 1切线的常用判定方法有两种：一是用圆心到直线的距离等于圆的半径来说明直线是圆的切线；二是用经过半径的外端且垂直于这条半径来说明直线是圆的切线当被说明的直线与圆的公共点没有给出时，用方法一；当圆与直线的公共点已经给出时，常用方法二说明2利用切线的性质时，常连接切点和圆心，构造直角触类旁通2 如图，AD是O的弦，AB经过圆心O，交O于点C，DABB30°.(1)直线BD是否与O相切？为什么？(2)连接CD，若CD5，求AB的长考点三、三角形的内切圆【例3】如图，在RtABC中，C90°，AC6，BC8.则ABC的内切圆半径r_.解析：在RtABC中，AB10.SACBAC·BC×6×824，r2.答案：2方法总结 三角形的内切圆半径r，其中S是三角形面积，a，b，c是三角形三边长触类旁通3 如图所示，O是ABC的内切圆，切点分别是D，E，F，已知A100°，C30°，则DFE的度数是()A55° B60° C65° D70°考点四、圆与圆的位置关系【例4】在ABC中，C90°，AC3 cm，BC4 cm，若A，B的半径分别为1 cm,4 cm，则A，B的位置关系是()A外切 B内切C相交 D外离解析：如图所示，由勾股定理可得AB5(cm)，A，B的半径分别为1 cm,4 cm，圆心距dRr，A，B的位置关系是外切答案：A方法总结 圆和圆的位置关系按公共点的个数可分为相离、相切和相交；两圆无公共点则相离，有一个公共点则相切；有两个公共点则相交其中相离包括内含和外离，相切包括外切和内切，解答时，只要通过两圆的半径和或差与圆心距比较即可触类旁通4 若两圆相切，圆心距是7，其中一个圆的半径为10，则另一个圆的半径为_1(2012江苏无锡)已知O的半径为2，直线l上有一点P满足PO2，则直线l与O的位置关系是()A相切 B相离C相离或相切 D相切或相交2(2012湖北恩施)如图，两个同心圆的半径分别为4 cm和5 cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为()A3 cm B4 cmC6 cm D8 cm3(2012四川乐山)O1的半径为3厘米，O2的半径为2厘米，圆心距O1O25厘米，这两圆的位置关系是()A内含 B内切 C相交 D外切4(2012山东菏泽)如图，PA，PB是O的切线，A，B为切点，AC是O的直径，若P46°，则BAC_.(第4题图)5(2012甘肃兰州)如图，两个同心圆，大圆半径为5 cm，小圆半径为3 cm，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦AB的取值范围是_6(2012山东济宁)如图，AB是O的直径，AC是弦，ODAC于点D，过A作O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC，BC.(1)猜想：线段OD与BC有何数量和位置关系，并证明你的结论；(2)求证：PC是O的切线1如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是()(第1题图)A点(0,3) B点(2,3)C点(5,1) D点(6,1)2如图，AB为O的直径，PD切O于点C，交AB的延长线于D，且COCD，则PCA()A30° B45° C60° D67.5°(第2题图)3如图，O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PB切O于点B，则PB的最小值是()A BC3 D24两圆的半径分别为3和7，圆心距为7，则两圆的位置关系是()A内切 B相交 C外切 D外离5两圆的圆心坐标分别是(，0)和(0,1)，它们的半径分别是3和5，则这两个圆的位置关系是()A相离 B相交C外切 D内切6如图，ACB60°，半径为1 cm的O切BC于点C，若将O在CB上向右滚动，则当滚动到O与CA相切时，圆心O移动的水平距离是_cm.(第6题图)7如图，直线AB与半径为2的O相切于点C，D是O上一点，且EDC30°，弦EFAB，则EF的长度为_(第7题图)8如图所示，AB是O的直径，以OA为直径的O1与O的弦AC相交于D，DEOC，垂足为E.(1)求证：ADDC；(2)求证：DE是O1的切线；(3)如果OEEC，请判断四边形O1OED是什么四边形，并证明你的结论参考答案导学必备知识自主测试1A2C3B4B526解：(1)OBC是等边三角形理由：A30°，OAOC，AOCA.BOC2A60°.OBOC，OBC是等边三角形(2)证明：OBC是等边三角形，且OBBD，OBBDBC，OCD为直角三角形，OCD90°.又点C在圆O上，DC是O的切线探究考点方法触类旁通1C触类旁通2分析：(1)连接OD，证明ODB90°即可；(2)利用30°所对的直角边等于斜边的一半求得AC，再证BCCD5.解：(1)直线BD与O相切理由如下：如图，连接OD，ODADABB30°，ODB180°ODADABB180°30°30°30°90°，即ODBD.直线BD与O相切(2)由(1)知，ODADAB30°，DOBODADAB60°.又OCOD，DOC是等边三角形OAODCD5.又B30°，ODB90°，OB2OD10.ABOAOB51015.触类旁通3CA100°，C30°，B180°AC50°.ODAB，OEBC，DOE180°B130°.DFEDOE65°.触类旁通43或17由题意知两圆相内切，则两圆半径、圆心距的关系为dRr，即|10r|7，所以r3或17.品鉴经典考题1D因为O的半径为2，PO2，则直线l与O至少有一个交点，则直线l与O的位置关系是相切或相交2C设切点为E，连接OA，OE.在RtOAE中，AE3(cm)，所以AB6 cm.3D423°PA，PB是O的切线，PAPB.又P46°，PABPBA67°.又PA是O的切线，AO为半径，OAAP，OAP90°，BACOAPPAB90°67°23°.故答案为23°.58cmAB10 cm如图，当AB与小圆相切时有一个公共点D.连接OA，OD，可得ODAB，D为AB的中点，即ADBD.在RtADO中，OD3 cm，OA5 cm，AD4 cm，AB2AD8(cm)当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，此时AB10 cm.AB的取值范围是8 cmAB10 cm.故答案为8 cmAB10 cm.6解：(1)ODBC，ODBC.证明：ODAC，ADDC.AB是O的直径，OAOB，BCAC，OD是ABC的中位线，ODBC，ODBC.(2)证明：连接OC.设OP与O交于点E，连接AE，CE.ODAC，OD经过圆心O，即AOECOE.在OAP和OCP中，OAOC，OPOP，OAPOCP，OCPOAP.PA是O的切线，OAP90°，OCP90°，即OCPC.PC是O的切线研习预测试题1C2D3B4B5D因为由圆心的坐标可知，两圆心分别在x轴和y轴上，与坐标原点构成直角三角形，所以圆心距为2.而两圆的半径之差等于2，即dr1r2(r1r2)所以两圆内切672如图，连接OE，OC，OC与EF交于G点AB是O的切线，OCAB.EFAB，OCEF.EGEF.O2D60°，EGOE·sin 60°.EF2.8解：(1)证明：如图，连接OD，AO是O1的直径，ADO90°.AC为O的弦，ODAC，ADDC.(2)证明：D为AC中点，O1为AO中点，O1DOC.又DEOC，DEO1D.DE与O1相切(3)O1OED为正方形证明：OEEC，且D为AC中点，DEO1O.又O1DOE，四边形O1OED为平行四边形又DEO90°，O1OO1D，12