2016届高三数学二轮复习第一编专题整合突破1.6.1利用导数研究函数的单调性极值与最值问题理.doc

【金版教程】2016届高三数学二轮复习 第一编 专题整合突破 1.6.1利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题 理12015·潍坊一模已知函数f(x)xaln x. (1)若f(x)无极值点，求a的取值范围；(2)设g(x)x(ln x)a，当a取(1)中的最大值时，求g(x)的最小值解(1)由题意f(x)1.由于f(x)无极值点，故x2ax10在(0，)恒成立，即ax，x(0，)恒成立，又x2(x1取等号)，故min2，a2.(2)当a2，g(x)x(ln x)2，g(x)12ln x·.设k(x)x22xln x1.k(x)2x2ln x22(x1ln x)，下面证明：ln xx1，设m(x)ln xx1，m(x)1，x(0,1)时，m(x)>0，m(x)单调递增，x(1，)时，m(x)<0，m(x)单调递减，m(x)m(1)0，即ln xx1，k(x)0，故k(x)在(0，)单调递增，又k(1)0，所以：x(0,1)时，k(x)<0，g(x)<0，g(x)单调递减，x(1，)时，k(x)>0，g(x)>0，g(x)单调递增，g(x)g(1)2，故g(x)的最小值为2.22015·太原一模已知函数f(x)(x2axa)exx2，aR.(1)若函数f(x)在(0，)上单调递增，求a的取值范围；(2)若函数f(x)在x0处取得极小值，求a的取值范围解(1)由题意得f(x)x(x2a)ex2xex(x2a)，xR，f(x)在(0，)上单调递增，f(x)0在(0，)上恒成立，x2a在(0，)上恒成立，又函数g(x)x2在(0，)上单调递增，ag(0)0，a的取值范围是(，0(2)由(1)得f(x)xex，xR，令f(x)0，则x0或x2a0，即x0或g(x)a，g(x)x2在(，)上单调递增，其值域为R，存在唯一x0R，使得g(x0)a，若x0>0，当x(，0)时，g(x)<a，f(x)>0；当x(0，x0)时，g(x)<a，f(x)<0，f(x)在x0处取得极大值，这与题设矛盾若x00，当x(，0)时，g(x)<a，f(x)>0；当x(0，)时，g(x)>a，f(x)>0，f(x)在x0处不取极值，这与题设矛盾若x0<0，当x(x0,0)时，g(x)>a，f(x)<0；当x(0，)时，g(x)>a，f(x)>0，f(x)在x0处取得极小值综上所述，x0<0，ag(x0)<g(0)0，a的取值范围是(，0)32015·江西八校联考设函数f(x).(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)当x0时，f(x)的最大值为a，求a的取值范围解(1)当a1时，f(x)，f(1)0，f(x)，f(1)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为xey10.(2)解法一：f(x).令f(x)0得x1(a1)，x22.当a1时，f(x)在0,2上递减，在2，)上递增，当x时，f(x)0，f(x)maxf(0)a；当>2即<a<1时，f(x)在0,2和上递减，f(x)在上递增，fa，解得0a1，<a<1；当2，即a时，f(x)在0，)上递减，f(x)maxf(0)a；当0<<2即0<a<时，f(x)在和2，)上递减，在上递增，f(2)a，解得a，a<；当a0时，0，f(x)在0,2上递增，f(x)f(0)a，不合题意综上所述：a的取值范围为.解法二：f(0)a，f(x)在x0时的最大值为a，等价于f(x)a对于x0恒成立，可化为a对于x0恒成立令g(x)，则g(x)，于是g(x)在0,2上递增，在(2，)上递减，g(x)maxg(2)，a的取值范围是a.42015·山西质量监测已知函数f(x)ln (x1)x，aR.(1)当a>0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若存在x>0，使f(x)x1<(aZ)成立，求a的最小值解(1)f(x)，x>1.当a时，f(x)0，f(x)在(1，)上单调递减当0<a<时，当1<x<时，f(x)<0，f(x)单调递减；当<x<时，f(x)>0，f(x)单调递增；当x>时，f(x)<0，f(x)单调递减综上，当a时，f(x)的单调递减区间为(1，)；当0<a<时，f(x)的单调递减区间为，f(x)的单调递增区间为.(2)原式等价于ax>(x1)ln (x1)2x1，即存在x>0，使a>成立设g(x)，x>0，则g(x)，x>0，设h(x)x1ln (x1)，x>0，则h(x)1>0，h(x)在(0，)上单调递增又h(2)<0，h(3)>0，根据零点存在性定理，可知h(x)在(0，)上有唯一零点，设该零点为x0，则x01ln (x01)，且x0(2,3)，g(x)minx02.又a>x02，aZ，a的最小值为5.5已知函数f(x)xaln x1. (1)当aR时，求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)0对于任意x1，)恒成立，求a的取值范围解(1)由f(x)xaln x1，得f(x)1，当a0时，f(x)>0，f(x)在(0，)上为增函数，当a<0时，当0<x<a时，f(x)<0，当x>a时，f(x)>0，所以f(x)在(0，a)上为减函数，f(x)在(a，)上为增函数(2)由题意知xaln x10在x1，)恒成立，设g(x)xaln x1，x1，)，则g(x)1，x1，)，设h(x)2x22ax1ln x，则h(x)4x2a，当a0时，4x为增函数，所以h(x)a>0，所以g(x)在1，)上单调递增，g(x)g(1)0，当a<0时，h(x)a0，所以g(x)在1，)上单调递增，g(x)g(1)0，当a<时，当x时，2a1<2x，由(1)知，当a1时，xln x10，ln xx1，ln x1，h(x)2x22axln x12x22ax2x22axx2x2(2a1)x<0，此时g(x)<0，所以g(x)在上单调递减，在上，g(x)<g(1)0，不符合题意综上所述a.62015·大连高三双基测试已知函数f(x)xeax(a>0)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在上的最大值；(3)若存在x1，x2(x1<x2)，使得f(x1)f(x2)0，证明：<ae.解(1)f(x)xeax(a>0)，则f(x)1aeax，令f(x)1aeax0，则xln .当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：xln f(x)0f(x)极大值故函数f(x)的增区间为；减区间为.(2)当ln ，即0<a时，f(x)在上单调递增，f(x)maxfe2，当<ln <，即<a<时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，f(x)maxfln ，当ln ，即a时，f(x)在上单调递减，f(x)maxfe.(3)证明：若函数f(x)有两个零点，则fln >0，即a<，而此时，fe>0，由此可得x1<<ln <x2，故x2x1>ln ，即x1x2<，又f(x1)x1eax10，f(x2)x2eax20，eax1ax2ea(x1x2)<eaeln (ae)ae.6