河北省衡水市武邑中学2015_2016学年高二数学上学期期中试题理含解析.doc

2015-2016学年河北省衡水市武邑中学高二（上）期中数学试卷（理科）一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求，将正确答案填涂在答题卡上1设集合M=，N=x|2x+11，则M（RN）=( )A（3，+）B（2，1C（1，3DA30°B45°C60°D90°10双曲线两焦点为F1，F2，点P在双曲线上，直线PF1，PF2倾斜角之差为，则PF1F2面积为( )A16B32C32D4211钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的( )A充分条件B必要条件C充分必要条件D既非充分又非必要条件12已知椭圆的左焦点为F1，右焦点为F2若椭圆上存在一点P，满足线段PF2相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF2的中点，则该椭圆的离心率为( )ABCD二填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在答题卡上相应位置13设=（x，4，3），=（3，2，y），且，则xy=_14已知正方体ABCDABCD的棱长为1，设，则=_15现在某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n（m7，n9）可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为_16已知在空间直角坐标系中，有棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1，点M是线段DC1上的动点，则点M到直线AD1距离的最小值为_三解答题：大本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；（2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析（）列出所有可能的抽取结果；（）求抽取的2所学校均为小学的概率18如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1，E、F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，求EF和CD所成的角19设命题p：函数是R上的减函数，命题q：函数g（x）=x24x+3在的值域为若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求a的取值范围20设F1，F2分别为椭圆C：+=1（ab0）的左、右两个焦点，点在椭圆上，且点A到F1，F2两点的距离之和等于4（1）求椭圆的方程（2）若K为椭圆C上的一点，且F1KF2=30°，求F1KF2的面积21如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱A1A底面ABCD，ABDC，ABAD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点（）证明B1C1CE；（）求二面角B1CEC1的正弦值（）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长22已知椭圆 C：=1（ab0），直线l与椭圆C有唯一公共点M，为坐标原点），当点M坐标为时，l的方程为x+2y4=0（I）求椭圆C方程；（）设直线l的斜率为K，M在椭圆C上移动时，作OHl于H（O为坐标原点），求HOM最大时k的值2015-2016学年河北省衡水市武邑中学高二（上）期中数学试卷（理科）一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求，将正确答案填涂在答题卡上1设集合M=，N=x|2x+11，则M（RN）=( )A（3，+）B（2，1C（1，3D【点评】本题考查了集合的交集、补集的运算，考查椭圆、指数函数的性质，是一道基础题2已知命题p：xR，sinx1，则( )A¬p：xR，sinx1B¬p：xR，sinx1C¬p：xR，sinx1D¬p：xR，sinx1【考点】命题的否定【分析】根据¬p是对p的否定，故有：xR，sinx1从而得到答案【解答】解：¬p是对p的否定¬p：xR，sinx1故选C【点评】本题主要考查全称命题与特称命题的转化问题3已知双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线为y=x，则它的离心率为( )ABCD【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求出双曲线的渐近线方程，可得b=a，再由离心率公式及a，b，c的关系，计算即可得到所求值【解答】解：双曲线=1的渐近线方程为y=x，由一条渐近线为y=x，可得=，即b=a，即有e=故选A【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题4已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为( )ABCD【考点】异面直线及其所成的角【分析】求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解本题采用几何法较为简单：连接A1B，则有A1BCD1，则A1BE就是异面直线BE与CD1所成角，由余弦定理可知cosA1BE的大小【解答】解：如图连接A1B，则有A1BCD1，A1BE就是异面直线BE与CD1所成角，设AB=1，则A1E=AE=1，BE=，A1B=由余弦定理可知：cosA1BE=故选C【点评】本题主要考查了异面直线所成的角，考查空间想象能力和思维能力5若（0，），且sin+cos=，则曲线=1是( )A焦点在x轴上的椭圆B焦点在y轴上的椭圆C焦点在x轴上的双曲线D焦点在y轴上的双曲线【考点】椭圆的标准方程【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】把sin+cos=两边平方可得，sincos0，可判断为钝角，sincos，从而判断方程所表示的曲线【解答】解：因为（0，），且sin+cos=，所以（，），且|sin|cos|，从而sincos，从而曲线=1是焦点在x轴上的椭圆故选：A【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，由三角函数式判断角的取值范围6与双曲线3x2y2=3的焦点相同且离心率互为倒数的椭圆方程为( )Ax2+=1BCD【考点】椭圆的简单性质【专题】方程思想；待定系数法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由双曲线的方程可得焦点坐标和离心率，由题意可得椭圆的焦点及离心率，设出椭圆方程，由离心率公式，可得a，进而得到b，可得椭圆方程【解答】解：双曲线3x2y2=3即为x2=1，可得焦点为（2，0），（2，0），离心率为e=2，即有椭圆的离心率为，设椭圆方程为+=1（ab0），a2b2=4，=，即有a=4，b=2，则椭圆方程为+=1故选：D【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用待定系数法，考查双曲线的方程和性质，主要是离心率公式的运用，属于基础题7从1，2，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是( )ABCD【考点】等可能事件的概率【专题】压轴题【分析】从9个数中随机抽取3个不同的数，共有C93种取法，3个数的和为偶数包括抽取3个数全为偶数，或抽取3数中2个奇数1个偶数，用组合数表示出算式，根据古典概型公式得到结果【解答】解：基本事件总数为C93，设抽取3个数，和为偶数为事件A，则A事件数包括两类：抽取3个数全为偶数，或抽取3数中2个奇数1个偶数，前者C43，后者C41C52A中基本事件数为C43+C41C52符合要求的概率为=【点评】本题不能列举出基本事件，可以用组合数表示，如何判断一个试验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数是解题的关键8设F1，F2为椭圆左、右焦点，过椭圆中心任作一条直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，的值等于( )A0B1C2D4【考点】椭圆的简单性质；平面向量数量积的运算【专题】计算题；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】可得a，b，c的值，可得P，Q恰好是椭圆的短轴的端点时满足题意，由此可得PF1，PF2的长度和夹角，由数量积的定义可得【解答】解：由于椭圆方程为，故a=2，b=，故c=1由题意当四边形PF1QF2的面积最大时，点P，Q恰好是椭圆的短轴的端点，此时PF1=PF2=a=2，由于焦距|F1F2|=2c=2，故PF1F2为等边三角形，故F1PF2=60°，故=2×2×cos60°=2故选C【点评】本题考查椭圆的简单性质，判断出椭圆的四边形PF1QF2的面积最大时的情形是解决问题的关键，属中档题9在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是( )A30°B45°C60°D90°【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【专题】空间位置关系与距离【分析】本题考查的知识点是线面夹角，由已知中侧棱垂直于底面，我们过D点做BC的垂线，垂足为E，则DE底面ABC，且E为BC中点，则E为A点在平面BB1C1C上投影，则ADE即为所求线面夹角，解三角形即可求解【解答】解：如图，取BC中点E，连接DE、AE、AD，依题意知三棱柱为正三棱柱，易得AE平面BB1C1C，故ADE为AD与平面BB1C1C所成的角设各棱长为1，则AE=，DE=，tanADE=，ADE=60°故选C【点评】求直线和平面所成的角时，应注意的问题是：（1）先判断直线和平面的位置关系（2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤：构造作出或找到斜线与射影所成的角；设定论证所作或找到的角为所求的角；计算常用解三角形的方法求角；结论点明斜线和平面所成的角的值10双曲线两焦点为F1，F2，点P在双曲线上，直线PF1，PF2倾斜角之差为，则PF1F2面积为( )A16B32C32D42【考点】双曲线的应用；直线的倾斜角【专题】计算题【分析】先由题意求出F1PF2，再由PF1F2面积=求出PF1F2面积【解答】解：直线PF1，PF2倾斜角之差为，F1PF2=，PF1F2面积=16×=16故选A【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要牢记公式PF1F2面积=11钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的( )A充分条件B必要条件C充分必要条件D既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】压轴题；规律型【分析】“好货不便宜”，其条件是：此货是好货，结论是此货不便宜，根据充要条件的定义进行判断即可，【解答】解：若pq为真命题，则命题p是命题q的充分条件；“好货不便宜”，其条件是：此货是好货，结论是此货不便宜，由条件结论故“好货”是“不便宜”的充分条件故选A【点评】本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题12已知椭圆的左焦点为F1，右焦点为F2若椭圆上存在一点P，满足线段PF2相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF2的中点，则该椭圆的离心率为( )ABCD【考点】椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设切点为M，连接OM、PF1，通过已知条件可得|PF1|=2b、PF1PF2，进而可得|PF2|=2，利用椭圆的定义便得到2b+2=2a，化简即可得到b=，根据离心率的计算公式即可求得离心率e【解答】解：如图，设以椭圆的短轴为直径的圆与线段PF2相切于M点，连接OM，PF2，M，O分别是PF2，F1F2的中点，MOPF1，且|PF1|=2|MO|=2b，OMPF2，PF1PF2，|F1F2|=2c，|PF2|=2，根据椭圆的定义，|PF1|+|PF2|=2a，2b+2=2a，ab=，两边平方得：a22ab+b2=c2b2，c2=a2b2，并代入并化简得：2a=3b，b=，a=1，c=，e=，即椭圆的离心率为，故选：D【点评】本题考查中位线的性质、圆心和切点的连线和切线的关系，以及椭圆的定义，c2=a2b2，椭圆离心率的计算公式，属于中档题二填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在答题卡上相应位置13设=（x，4，3），=（3，2，y），且，则xy=9【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直【专题】空间向量及应用【分析】利用向量共线定理即可得出【解答】解：，存在实数，使得，可得，解得xy=9故答案为9【点评】熟练掌握向量共线定理是解题的关键14已知正方体ABCDABCD的棱长为1，设，则=【考点】空间向量的夹角与距离求解公式；空间向量的数量积运算【专题】空间向量及应用【分析】取CC1中点E，连结AC，AE，结合正方体的结构特征，利用向量加法三角形法则得到=，再利用勾股定理能求出的值【解答】解：取CC1中点E，连结AC，AE，正方体ABCDABCD的棱长为1，设，则=，=|=故答案为：【点评】本题考查向量和的模的求法，是基础题，解题时要注意空间向量加法的三角形法则的合理运用15现在某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n（m7，n9）可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为【考点】古典概型及其概率计算公式【专题】概率与统计【分析】求出m取小于等于7的正整数，n取小于等于9的正整数，m取到奇数，n取到奇数的方法种数，直接由古典概型的概率计算公式求解【解答】解：m取小于等于7的正整数，n取小于等于9的正整数，共有7×9=63种取法m取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，则m，n都取到奇数的方法种数为4×5=20种所以m，n都取到奇数的概率为故答案为【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，解答的关键是做到对取法种数计算的补充不漏，是基础的计算题16已知在空间直角坐标系中，有棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1，点M是线段DC1上的动点，则点M到直线AD1距离的最小值为a【考点】点、线、面间的距离计算【专题】计算题；向量法；空间位置关系与距离【分析】以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出与两异面直线AD1和DC1均垂直的向量，再由在上的投影，即为点M到直线AD1距离的最小值【解答】解：如图以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），D（0，a，0），C1（a，a，a），D1（0，a，a），=（0，a，a），=（a，0，a），点M到直线AD1距离的最小值即为两异面直线AD1和DC1间的距离，设它们的公垂线段所在的向量为=（x，y，z），则，即有=0，即为ay+az=0，即有=0，即为ax+az=0，可取=（1，1，1），取=（0，a，0），则两异面直线AD1和DC1间的距离为：=a故答案为：a【点评】本题考查空间两异面直线的距离的求法，考查向量法求数量积和模，考查运算能力，属于中档题三解答题：大本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；（2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析（）列出所有可能的抽取结果；（）求抽取的2所学校均为小学的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法【专题】概率与统计【分析】（1）利用分层抽样的意义，先确定抽样比，在确定每层中抽取的学校数目；（2）（i）从抽取的6所学校中随机抽取2所学校，所有结果共有=15种，按规律列举即可；（ii）先列举抽取结果两所学校均为小学的基本事件数，再利用古典概型概率的计算公式即可得结果【解答】解：（I）抽样比为=，故应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目分别为21×=3，14×=2，7×=1（II）（i）在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为1、2、3，两所中学分别记为a、b，大学记为A则抽取2所学校的所有可能结果为1，2，1，3，1，a，1，b，1，A，2，3，2，a，2，b，2，A，3，a，3，b，3，A，a，b，a，A，b，A，共15种（ii）设B=抽取的2所学校均为小学，事件B的所有可能结果为1，2，1，3，2，3共3种，P（B）=【点评】本题主要考查了统计中分层抽样的意义，古典概型概率的计算方法，列举法计数的方法，属基础题18如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1，E、F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，求EF和CD所成的角【考点】异面直线及其所成的角【专题】计算题；数形结合；向量法；空间角【分析】以D为原点，分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出EF和CD所成的角【解答】解：以D为原点，分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D（0，0，0），C（0，1，0），E（），F（），=（0，），=（0，1，0），cos，=，=135°，异面直线EF和CD所成的角是45°【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用19设命题p：函数是R上的减函数，命题q：函数g（x）=x24x+3在的值域为若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求a的取值范围【考点】复合命题的真假【专题】计算题【分析】命题中，根据指数函数的性质，求出a的范围，对于命题q，根据二次函数的性质，求出a的范围，因为“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，得p、q中一真一假，然后再分类讨论；【解答】解：命题p：函数是R上的减函数，由得命题q：g（x）=（x2）21，在上的值域为得2a4p且q为假，p或q为真，得p、q中一真一假若p真q假，得若p假q真，得综上，a2或a4【点评】此题主要考查指数函数的性质以及二次函数的性质，以及分类讨论思想的应用，另外计算量比较大要仔细计算20设F1，F2分别为椭圆C：+=1（ab0）的左、右两个焦点，点在椭圆上，且点A到F1，F2两点的距离之和等于4（1）求椭圆的方程（2）若K为椭圆C上的一点，且F1KF2=30°，求F1KF2的面积【考点】椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（1）由点A到F1，F2两点的距离之和等于4可得2a=4，解得a又点在椭圆上，可得 ，解得b2，即可得出（2）=1记|KF1|=m，|KF2|=n，则m+n=4，由余弦定理可得：，可得mn利用 ，即可得出【解答】 解：（1）点A到F1，F2两点的距离之和等于42a=4，解得 a=2又点在椭圆上，解得b2=3，所以所求椭圆的方程为（2）=1记|KF1|=m，|KF2|=n，则m+n=4，由余弦定理可得：，又 ，【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、三角形面积计算公式、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱A1A底面ABCD，ABDC，ABAD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点（）证明B1C1CE；（）求二面角B1CEC1的正弦值（）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角【专题】空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何【分析】（）由题意可知，AD，AB，AA1两两互相垂直，以a为坐标原点建立空间直角坐标系，标出点的坐标后，求出和，由得到B1C1CE；（）求出平面B1CE和平面CEC1的一个法向量，先求出两法向量所成角的余弦值，利用同角三角函数基本关系求出其正弦值，则二面角B1CEC1的正弦值可求；（）利用共线向量基本定理把M的坐标用E和C1的坐标及待求系数表示，求出平面ADD1A1的一个法向量，利用向量求线面角的公式求出直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值，代入求出的值，则线段AM的长可求【解答】（）证明：以点A为原点建立空间直角坐标系，如图，依题意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B1（0，2，2），C1（1，2，1），E（0，1，0）则，而=0所以B1C1CE；（）解：，设平面B1CE的法向量为，则，即，取z=1，得x=3，y=2所以由（）知B1C1CE，又CC1B1C1，所以B1C1平面CEC1，故为平面CEC1的一个法向量，于是=从而=所以二面角B1CEC1的正弦值为（）解：，设 01，有取为平面ADD1A1的一个法向量，设为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则=于是解得所以所以线段AM的长为【点评】本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了线面角和二面角的求法，运用了空间向量法，运用此法的关键是建立正确的空间坐标系，再就是理解并掌握利用向量求线面角及面面角的正弦值和余弦值公式，是中档题22已知椭圆 C：=1（ab0），直线l与椭圆C有唯一公共点M，为坐标原点），当点M坐标为时，l的方程为x+2y4=0（I）求椭圆C方程；（）设直线l的斜率为K，M在椭圆C上移动时，作OHl于H（O为坐标原点），求HOM最大时k的值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）将M点坐标代入椭圆方程，同时联立直线l与椭圆方程，计算即得结论；（ II）通过设直线l并与椭圆方程联立，利用=0，进而可得|OM|2、|OH|2的表达式，化简即得结论【解答】解：（）由题意可得：+=1，（*）将x+2y4=0代入椭圆C，有：（3a2+4b2）x28a2x+16a24a2b2=0，令=0得：3a2+4b2=16，（*）联立（*）、（*），解得：a2=4，b2=1，椭圆C的方程为：+y2=1；（ II）设直线l：y=kx+m，M（x0，y0）将直线l的方程代入椭圆C得：（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0，令=0，得m2=4k2+1，且=，|OM|2=，又|OH|2=，（cosHOM）2=，（1+16k2）（4+4k2）=，等号当且仅当k2=时成立，HOM取最大时k=±【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题- 22 -