安徽省宿松县凉亭中学2016届高三数学上学期第二次月考试卷理.doc

安徽省宿松县凉亭中学2016届上学期高三第二次月考数学试卷（理）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合,则( )A.B.C.D.2.等差数列中，则的前8项的和为( )A.32B.64C.108D.1283.已知，则a，b，c的大小关系是( )A. B. C. D.4.已知，则=( )A.B.5C.D.5.平面向量满足，且，则在方向上的投影为( )A.B.2C.D.6.在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，其中，若函数的极大值是，则的面积等于( )A.1B.C.2 D.7.已知，则=( )A.B.C.D.8.下列说法中正确的是( )A.若命题：，则：，.B.命题：“若，则或”的逆否命题是：“若且，则”.C.“”是“为偶函数”的充要条件.D.命题p：若，则是的充分不必要条件；命题q：若幂函数的图像过点，则.则是假命题.9.先将函数的图像上所有点向右平移个单位，再向上平移1个单位后得到函数的图像，则下列正确的是( )A.的周期是 B.是奇函数C.的图像关于点对称 D.在区间上单调递增10.已知中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则是( )A.等边三角形 B.锐角三角形C.等腰直角三角形 D.钝角三角形11.定义在R上的函数满足，其中是的导函数，为自然对数的底数，则下列正确的是( )A. B.C. D.12.已知定义在R上的函数是偶函数，当时，若关于的方程（），有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知函数是定义在R上的奇函数，其图像是一条连续不断的曲线，且，则_.14.在正方形ABCD中，M是BD的中点，且，函数的图象为曲线，若曲线存在与直线垂直的切线（为自然对数的底数），则实数a的取值范围是_.15.等比数列中，、是关于x方程的两个根，其中点在直线上，且，则的值是_.16.如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点.以A为圆心，AE为半径，作弧交AD于点F.若P为劣弧上的动点，则的最小值为_.三、解答题：本大题共6小题，满分70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.（本小题满分12分）已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）令，求证：.18.（本小题满分12分）如图，是圆的直径，是圆上异于A、B的一个动点，垂直于圆所在的平面，（1）求证：平面；（2）若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值19.（本小题满分12分）已知某校的数学专业开设了A、B、C、D四门选修课，甲、乙、丙3名学生必须且只需选修其中一门（1）求这3名学生选择的选修课互不相同的概率；（2）若甲和乙要选同一门课，求选修课A被这3名学生选修的人数X的分布列和数学期望20.（本小题满分12分）如图，设椭圆C：的离心率，椭圆C上一点M到左、右两个焦点、的距离之和是4（1）求椭圆C的方程；（2）直线与椭圆C交于P、Q两点，P点位于第一象限，A、B是椭圆上位于直线两侧的动点，若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值.21.（本小题满分12分）已知函数,=.（1）当，存在x0，e（e为自然对数的底数），使，求实数a的取值范围；（2）当时，设，在的图象上是否存在不同的两点A，B，使得?请说明理由.请考生从22、23题中任选一题作答；如果多做，则按所做的第一题计分。22.(本小题满分10分)选修41：几何证明选讲如图，的半径为 6，线段与相交于点、，与相交于点.（1） 求长；（2）当时，求证：.23.(本小题满分10分)选修45：坐标系与参数方程在极坐标系Ox中，直线C1的极坐标方程为，M是C1上任意一点，点P在射线OM上，且满足，记点P的轨迹为C2（1）求曲线C2的极坐标方程；（2）求曲线C2上的点到直线的距离的最大值24.(本小题满分10分)选修45：不等式选讲已知函数.（1）解不等式；（2）若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围. 参考答案一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合,则( )A.B.C.D.【答案】A【命题意图】本题旨在考查集合的运算、函数的定义域、解不等式，属容易题.【解析】,，选A.2.等差数列中，则的前8项的和为( )A.32B.64C.108D.128【答案】B【命题意图】本题主要考查等差数列的前n项和，性质，属容易题.【解析】,，选B.3.已知，则a，b，c的大小关系是( )A. B. C. D.【答案】A【命题意图】本题考查幂（或指数函数）和对数函数的单调性，属容易题.【解析】，由在R上单调递增，得>，又，故选A.4.已知，则=( )A.B.5C.D.【答案】D【命题意图】本题考查向量共线向量定理、模长计算和坐标运算，属容易题.【解析】，选D.5.平面向量满足，且，则在方向上的投影为( )A.B.2C.D.【答案】C【命题意图】本题旨在考查向量的数量积运算、投影的概念.【解析】，选C.6.在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，其中，若函数的极大值是，则的面积等于( )A.1B.C.2 D.【答案】B【命题立意】本题综合导数的极值的知识考查解三角形的有关知识.【解析】，易知，从而，选B.7.已知，则=( )A.B.C.D.【答案】C【命题立意】本题考查三角恒等变形、涉及公式的逆用、角的变换，体现简化计算的思想，属中等题.【解析】,原式，选C. 8.下列说法中正确的是( )A.若命题：，则：，.B.命题：“若，则或”的逆否命题是：“若且，则”.C.“”是“为偶函数”的充要条件.D.命题p：若，则是的充分不必要条件；命题q：若幂函数的图像过点，则.则是假命题.【答案】B【命题立意】本题考查命题、充要条件和逻辑等有关知识，综合题较强.【解析】A选项错误，：，；C选项错误，是的充分不必要条件；D选项错误，命题p、q均为真，则为真命题.9.先将函数的图像上所有点向右平移个单位，再向上平移1个单位后得到函数的图像，则下列正确的是( )A.的周期是 B.是奇函数C.的图像关于点对称 D.在区间上单调递增【答案】D【命题立意】本题考查三角函数的图像变换以及性质，属中等题.【解析】的周期显然是，A错；是偶函数，B错；，一个对称中心是，C错；D是正确的.10.已知中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则是( )A.等边三角形 B.锐角三角形C.等腰直角三角形 D.钝角三角形【答案】C【命题立意】本题重点考查正、余弦定理和基本不等式求最值，难度中等【解析】，故(当且仅当)，此时，故选C. 注：排除法也可以.11.定义在R上的函数满足，其中是的导函数，为自然对数的底数，则下列正确的是( )A. B.C. D.【答案】B【命题立意】本题考查导数的运算及构造函数思想，函数的单调性以及不等式思想，属中等偏难题.【解析】，是增函数，即A、B错误；C、D一对一错，对于C: ，两边同时加，得，故选C.12.已知定义在R上的函数是偶函数，当时，若关于的方程（），有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】C【命题立意】本题考查分段函数的图像，换元法，涉及数形结合、方程、转化思想，属难题.【解析】的图像如图所示，当时，的最大值是2,；当时，的最小值是0，是部分图像的渐近线.设，依题意，符合题意有两种情况：(1)，此时，则；(2)，此时，则；综上，选C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知函数是定义在R上的奇函数，其图像是一条连续不断的曲线，且，则_.【答案】0.【命题立意】本题考查对称性、周期性，属容易题.【解析】由已知，对称中心，则，.14.在正方形ABCD中，M是BD的中点，且，函数的图象为曲线，若曲线存在与直线垂直的切线（为自然对数的底数），则实数a的取值范围是_.【答案】【命题立意】本题旨在考查向量共线、导数的几何意义，导数及其应用，有一定综合性【解析】B、D、M三点共线得，由题可得，由于曲线C存在与直线垂直的切线，则有解，即有解，.15.等比数列中，、是关于x方程的两个根，其中点在直线上，且，则的值是_.【答案】3.【命题立意】本题考查定积分的计算，等比数列的性质，属易错题.【解析】，10，于是，从而，.16.如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点.以A为圆心，AE为半径，作弧交AD于点F.若P为劣弧上的动点，则的最小值为_.【答案】.【命题立意】本题考查平面向量数量积，最值，意在考查分析能力，转化能力，中等题.【解析】以点为坐标原点，建立如图的平面直角坐标系，则，设，（其中），当时，取得最小值.三、解答题：本大题共6小题，满分70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.（本小题满分12分）已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）令，求证：.【命题意图】考查数列的求和；求通项公式【解析】（1），两式相减得，又，.6分（2）12分18.（本小题满分12分）如图，是圆的直径，是圆上异于A、B的一个动点，垂直于圆所在的平面，（1）求证：平面；（2）若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值【命题意图】考查立体几何中线面关系的判定和性质；空间向量知识的运用及二面角的计算【解析】（1）DC面ABC，DCBC，又AB是的直径，ACBCACDC=C，面ACD，BC平面ACD又DC/EB，DC=EB，四边形BCDE是平行四边形，DE/BC DE平面ACD. 4分（2）如图，以C为原点建立空间直角坐标系，则， 6分设平面ADE的一个法向量，则，令得8分设平面ABE的一个法向量，令得，10分，所求余弦值为.12分19.（本小题满分12分）已知某校的数学专业开设了A、B、C、D四门选修课，甲、乙、丙3名学生必须且只需选修其中一门（1）求这3名学生选择的选修课互不相同的概率；（2）若甲和乙要选同一门课，求选修课A被这3名学生选修的人数X的分布列和数学期望【命题意图】考查古典概率，离散型随机变量的分布列和期望【解析】（1）3名学生选择的选修课所有不同选法有43=64种；（2分）各人互不相同的选法有种，互不相同的概率：5分（2） 选修课A被这3名学生选修的人数X：0，1，2，3，6分，所以X的分布列为X0123P10分数学期望EX=12分.(注:不列表格不扣分)20.（本小题满分12分）如图，设椭圆C：的离心率，椭圆C上一点M到左、右两个焦点、的距离之和是4（1）求椭圆C的方程；（2）直线与椭圆C交于P、Q两点，P点位于第一象限，A、B是椭圆上位于直线两侧的动点，若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值.【命题意图】考查椭圆的定义及基本量的计算，直线和椭圆的位置关系，设而不求和函数思想【解析】（1）依题意，椭圆C方程为：4分（2）易知,设,AB：6分与椭圆联立得，8分 的最大值是.12分21.（本小题满分12分）已知函数,=.（1）当，存在x0，e（e为自然对数的底数），使，求实数a的取值范围；（2）当时，设，在的图象上是否存在不同的两点A，B，使得?请说明理由.【命题意图】本题考查导数的几何意义、运算及应用，涉及分离变量、构造函数、换元法以及转化思想【解析】（1）可化为，令，则当时，；当时，；又，则.5分（2），； 故可化为，即7分又即，令，式可化为，9分令，在（1，+）上递增11分；无零点，故A、B两点不存在12分请考生从22、23题中任选一题作答；如果多做，则按所做的第一题计分。22.(本小题满分10分)选修41：几何证明选讲如图，的半径为 6，线段与相交于点、，与相交于点.（1） 求长；（2）当时，求证：.【解析】（1）OC=OD，OCD=ODC，OCA=ODBBOD=A，OBDAOC，OC=OD=6，AC=4，BD=95分（2）证明：OC=OE，CEODCOD=BOD=AAOD=180ºAODC=180ºCODOCD=ADOAD=AO10分23.(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程在极坐标系Ox中，直线C1的极坐标方程为，M是C1上任意一点，点P在射线OM上，且满足，记点P的轨迹为C2（1）求曲线C2的极坐标方程；（2）求曲线C2上的点到直线的距离的最大值【解析】（1）设P(，)，M(1，)，1sin2,14消1,得C2：2sin5分（2）将C2，C3的极坐标方程化为直角坐标方程，得C2：x2(y1)21，C3：xy2C2是以点(0，1)为圆心，以1为半径的圆，圆心到直线C3的距离d，故曲线C2上的点到直线C3距离的最大值为110分24.(本小题满分10分)选修45：不等式选讲已知函数.（1）解不等式；（2）若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围.【解析】(1)由得，得不等式的解为5分(2)因为任意，都有，使得成立，所以，又，所以，解得或，所以实数的取值范围为或10分12