2013年中考数学专题复习题及解析 11-20讲6 .doc

2013 年中考数学专题复习年中考数学专题复习第十九讲第十九讲解直角三角形解直角三角形【基础知识回顾】锐角三角函数定义：ww w.在 REABC 中，C=900,A、B、C 的对边分别为 a、b、c，则A 的正弦可表示为：sinA=，A 的余弦可表示为 CBA=A 的正切：tanA=，它们弦称为A 的锐角三角函数【名师提醒：1、sinA、cosA、tanA 表示的是一个整体，是两条线段的比，没有，这些比值只与有关，与直角三角形的无关2、取值范围sinAcosA】二、特殊角的三角函数值：sincostan300450600【名师提醒：1、三个特殊角的三角函数值都是根据定义应用直角三角形性质算出来的，要在理解的基础上结合表格进行记忆2、当时，正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而3、几个特殊关系：sinA+cos2A=,tanA=sin A若A+B=900，则 sinA=cosA.tanB=】三、解直角三角形：1、定义：由直角三角形中除直角外的个已知元素，求出另外个未知元素的过程叫解直角三角形2、解直角三角形的依据：RTABC 中，C900三边分别为 a、b、c三边关系：两锐角关系边角之间的关系：sinAcosAtanAsinBcosBtanB【名师提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是当没有直角三角形时应注意构造直角三角形，再利用相应的边角关系解决】3、解直角三角形应用中的有关概念仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角坡度坡角：如图：斜坡 AB 的垂直度 H 和水平宽度 L 的比叫做坡度，用 i 表示，即 i=坡面与水平面得夹角为用字母表示，则 i=hl=方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于 900的水平角如图：OA 表示OB 表示OC 表示（也可称西南方向）利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤：把实际问题抓化为数字问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）根据条件特点选取合适的锐角三角函数去解直角三角形解数学问题答案，从而得到实际问题的答案【名师提醒：在解直角三角形实际应用中，先构造符合题意的三角形，解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决】【重点考点例析】考点一：锐角三角函数的概念例 1（2012内江）如图所示，ABC 的顶点是正方形网格的格点，则 sinA 的值为（）A12B55C1010D2 55思路分析：利用网格构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义解答解：如图：连接 CD 交 AB 于 O，根据网格的特点，CDAB，在 RtAOC 中，CO=2211=2；AC=2213=10；则 sinA=OCAC=25510故选 B点评：本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，作出辅助线 CD 并利用网格构造直角三角形是解题的关键对应训练1（2012贵港）在平面直角坐标系中，已知点 A（2，1）和点 B（3，0），则 sinAOB的值等于（）A55B52C32D121A考点：锐角三角函数的定义；坐标与图形性质；勾股定理专题：计算题分析：过 A 作 ACx 轴于 C，利用 A 点坐标为（2，1）可得到 OC=2，AC=1，利用勾股定理可计算出 OA，然后根据正弦的定义即可得到 sinAOB 的值解答：解：如图过 A 作 ACx 轴于 C，A 点坐标为（2，1），OC=2，AC=1，OA=22OCAC=5，sinAOB=1555ACOA故选 A点评：本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于这个角的对边与斜边的比值也考查了点的坐标与勾股定理考点二：特殊角的三角函数值例 2（2012孝感）计算：cos245+tan30sin60=思路分析：将 cos45=22，tan30=33，sin60=32代入即可得出答案解：cos245+tan30sin60=12+3332=12+12=1故答案为：1点评：此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，熟练记忆一些特殊角的三角函数值是解答本题的关键对应训练（2012南昌）计算：sin30+cos30tan60思路分析：分别把各特殊角的三角函数代入，再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可解：原式=13322=1322=2点评：本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键考点三：化斜三角形为直角三角形例 3（2012安徽）如图，在ABC 中，A=30，B=45，AC=23，求 AB 的长6思路分析：过 C 作 CDAB 于 D，求出BCD=B，推出 BD=CD，根据含 30 度角的直角三角形求出 CD，根据勾股定理求出 AD，相加即可求出答案解：过 C 作 CDAB 于 D，ADC=BDC=90，B=45，BCD=B=45，CD=BD，A=30，AC=23，CD=3，BD=CD=3，由勾股定理得：AD=22ACCD=3，AB=AD+BD=3+3，答：AB 的长是 3+3点评：本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定，含 30 度角的直角三角形性质等知识点的应用，关键是构造直角三角形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目对应训练3（2012重庆）如图，在 RtABC 中，BAC=90，点 D 在 BC 边上，且ABD 是等边三角形若 AB=2，求ABC 的周长（结果保留根号）3考点：解直角三角形；三角形内角和定理；等边三角形的性质；勾股定理专题：计算题分析：根据等边三角形性质求出B=60，求出C=30，求出 BC=4，根据勾股定理求出AC，相加即可求出答案解答：解：ABD 是等边三角形，B=60，BAC=90，C=180-90-60=30，BC=2AB=4，在 RtABC 中，由勾股定理得：AC=2222422 3BCAB，ABC 的周长是 AC+BC+AB=23+4+2=6+23答：ABC 的周长是 6+23点评：本题考查了勾股定理，含 30 度角的直角三角形，等边三角形性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力，此题综合性比较强，是一道比较好的题目考点四：解直角三角形的应用例 4（2012张家界）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中B=D=90，AB=BC=15 千米，CD=3 2千米，请据此解答如下问题：（1）求该岛的周长和面积；（结果保留整数，参考数据21.414，31.73，62.45）（2）求ACD 的余弦值考点：解直角三角形的应用分析：（1）连接 AC，根据 AB=BC=15 千米，B=90得到BAC=ACB=45AC=152千米，再根据D=90利用勾股定理求得 AD 的长后即可求周长和面积；（2）直接利用余弦的定义求解即可解：（1）连接 ACAB=BC=15 千米，B=90BAC=ACB=45AC=152千米又D=90AD=22-ACCD=22(15 2)(3 2)12 3（千米）周长=AB+BC+CD+DA=30+32+123=30+4.242+20.78455（千米）面积=SABC+18 6 157（平方千米）（2）cosACD=CD3 21=AC515 2点评：本题考查了解直角三角形的应用，与时事相结合提高了同学们解题的兴趣，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解对应训练6（2012益阳）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速如图，观测点设在 A 处，离益阳大道的距离（AC）为 30 米 这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从 B 处行驶到 C 处所用的时间为 8 秒，BAC=75（1）求 B、C 两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道 60 千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到 1 米，参考数据：sin750.9659，cos750.2588，tan753.732，31.732，60 千米/小时16.7 米/秒）考点：解直角三角形的应用专题：计算题分析：（1）由于 A 到 BC 的距离为 30 米，可见C=90，根据 75角的三角函数值求出 BC的距离；（2）根据速度=路程时间即可得到汽车的速度，与 60 千米/小时进行比较即可解答：解：（1）法一：在 RtABC 中，ACB=90，BAC=75，AC=30，BC=ACtanBAC=30tan75303.732112（米）法二：在 BC 上取一点 D，连接 AD，使DAB=B，则 AD=BD，BAC=75，DAB=B=15，CDA=30，在 RtACD 中，ACD=90，AC=30，CDA=30，AD=60，CD=303，BC=60+303112（米）（2）此车速度=1128=14（米/秒）16.7（米/秒）=60（千米/小时）此车没有超过限制速度点评：本题考查了解直角三角形的应用，理解正切函数的意义是解题的关键【聚焦山东中考】1（2012济南）如图，在 84 的矩形网格中，每格小正方形的边长都是 1，若ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则 tanACB 的值为（）A13B12C22D31A考点：锐角三角函数的定义专题：网格型分析：结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解解答：解：由图形知：tanACB=2163，故选 A点评：本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，关键是掌握锐角三角函数的定义2（2012滨州）把ABC 三边的长度都扩大为原来的 3 倍，则锐角 A 的正弦函数值（）A不变B缩小为原来的13C扩大为原来的 3 倍D不能确定2A分析：由于ABC 三边的长度都扩大为原来的 3 倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角 A 的大小没改变，根据正弦的定义得到锐角 A 的正弦函数值也不变解答：解：因为ABC 三边的长度都扩大为原来的 3 倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角 A 的大小没改变，所以锐角 A 的正弦函数值也不变故选 A点评：本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值也考查了相似三角形的判定与性质3（2012烟台）计算：tan45+2cos45=32考点：特殊角的三角函数值分析：首先把特殊角的三角函数值代入，然后进行二次根式的计算即可求解解答：解：原式=1+222=1+1=2故答案是：2点评：本题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是关键4（2012济宁）在ABC 中，若A、B 满足|cosA-12|+（sinB-22）2=0，则C=475考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理分析：首先根据绝对值与偶次幂具有非负性可知 cosA-12=0，sinB-22=0，然后根据特殊角的三角函数值得到A、B 的度数，再根据三角形内角和为 180算出C 的度数即可解答：解：|cosA-12|+（sinB-22）2=0，cosA-12=0，sinB-22=0，cosA=12，sinB=22，A=60，B=45，则C=180-A-B=180-60-45=75，故答案为：75点评：此题主要考查了非负数的性质，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，关键是要熟练掌握特殊角的三角函数值5（2012潍坊）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道 l 上确定点 D，使 CD 与 l 垂直，测得 CD 的长等于 21 米，在 l 上点 D的同侧取点 A、B，使CAD=30，CBD=60（1）求 AB 的长（精确到 0.1 米，参考数据：3=1.73，2=1.41）；（2）已知本路段对校车限速为 40 千米/小时，若测得某辆校车从 A 到 B 用时 2 秒，这辆校车是否超速？说明理由5考点：解直角三角形的应用分析：（1）分别在 RtADC 与 RtBDC 中，利用正切函数，即可求得 AD 与 BD 的长，继而求得 AB 的长；（2）由从 A 到 B 用时 2 秒，即可求得这辆校车的速度，比较与 40 千米/小时的大小，即可确定这辆校车是否超速解答：解：（1）由題意得，在 RtADC 中，AD=CD21 =21 3 tan3033=36.33，在 RtBDC 中，BD=CD21 =7 3 tan303=12.11，则 AB=AD-BD=36.33-12.11=24.2224.2（米）。（2）汽车从 A 到 B 用时 2 秒，速度为 24.22=12.1（米/秒），12.13600=43560，该车速度为 43.56 千米/小时，大于 40 千米/小时，此校车在 AB 路段超速点评：此题考查了解直角三角形的应用问题此题难度适中，解题的关键是把实际问题转化为数学问题求解，注意数形结合思想的应用6（2012青岛）如图，某校教学楼 AB 的后面有一建筑物 CD，当光线与地面的夹角是 22时，教学楼在建筑物的墙上留下高 2 米的影子 CE；而当光线与地面夹角是 45时，教学楼顶 A 在地面上的影子 F 与墙角 C 有 13 米的距离（B、F、C 在一条直线上）（1）求教学楼 AB 的高度；（2）学校要在 A、E 之间挂一些彩旗，请你求出 A、E 之间的距离（结果保留整数）（参考数据：sin2238，cos221516，tan2225）6 考点：解直角三角形的应用 分析：（1）首先构造直角三角形AEM，利用 tan22=AMME，求出即可；（2）利用 RtAME 中，cos22=MEAE，求出 AE 即可解：（1）过点 E 作 EMAB，垂足为 M设 AB 为 xRtABF 中，AFB=45，BF=AB=x，BC=BF+FC=x+13，在 RtAEM 中，AEM=22，AM=AB-BM=AB-CE=x-2，tan22=AMME，则 x-2 x+13=2 5，解得：x=12即教学楼的高 12m（2）由（1）可得 ME=BC=x+13=12+13=25在 RtAME 中，cos22=MEAEAE=ME cos22 25 15 1627，即 A、E 之间的距离约为 27m点评：此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知得出 tan22=AMME是解题关键【备考真题过关】一、选择题1.（2012哈尔滨）如图，在 RtABC 中，C=90，AC=4，AB=5，则 sinB 的值是（）A23B35C34D451.D考点：锐角三角函数的定义分析：根据锐角三角函数的定义得出 sinB=ACAB，代入即可得出答案解答：解：在ABC 中，C=90，AC=4，AB=5，sinB=ACAB=45，故选 D点评：本题考查了锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生对锐角三角函数的定义的理解和记忆，题目比较典型，难度适中2（2012青海）如图，在 RtABC 中，CD 是斜边 AB 上的中线，已知 CD=5，AC=6，则tanB 的值是（）A45B35C34D432考点：锐角三角函数的定义；直角三角形斜边上的中线；勾股定理分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出 AB 的长度，再利用勾股定理求出BC 的长度，然后根据锐角的正切等于对边比邻边解答解答：解：CD 是斜边 AB 上的中线，CD=5，AB=2CD=10，根据勾股定理，BC=22ABAC=22106=8，tanB=ACBC=68=34故选 C点评：本题考查了锐角三角函数的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边应熟练掌握3（2012宁波）如图，在 RtABC 中，C=90，AB=6，cosB=23，则 BC 的长为（）A4B2 5C18 1313D12 13133考点：锐角三角函数的定义分析：根据 cosB=23，可得CBAB=23，再把 AB 的长代入可以计算出 CB 的长解答：解：cosB=23，CBAB=23，AB=6，CB=236=4，故选：A点评：此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握余弦：锐角 A 的邻边 b 与斜边 c的比叫做A 的余弦4（2012天津）2cos60的值等于（）A1B2C3D24A考点：特殊角的三角函数值分析：根据 60角的余弦值等于12进行计算即可得解解答：解：2cos60=212=1故选 A点评：本题考查了特殊角的三角函数值，熟记 30、45、60角的三角函数值是解题的关键5（2012乐山）如图，在 RtABC 中，C=90，AB=2BC，则 sinB 的值为（）A12B22C32D15C考点：特殊角的三角函数值分析：根据 AB=2BC 直接求 sinB 的值即可解答：解：RtABC 中，C=90，AB=2BC，sinA=BCAB=122BCBC；A=30B=60sinB=32。故选 C点评：本题考查了锐角三角函数的定义，解决本题时，直接利用正弦的定义求解即可6（2012杭州）如图，在 RtABO 中，斜边 AB=1若 OCBA，AOC=36，则（）A点 B 到 AO 的距离为 sin54B点 B 到 AO 的距离为 tan36C点 A 到 OC 的距离为 sin36sin54D点 A 到 OC 的距离为 cos36sin546考点：解直角三角形；点到直线的距离；平行线的性质分析：根据图形得出 B 到 AO 的距离是指 BO 的长，过 A 作 ADOC 于 D，则 AD 的长是点 A 到 OC 的距离，根据锐角三角形函数定义得出 BO=ABsin36，即可判断 A、B；过 A作 ADOC 于 D，则 AD 的长是点 A 到 OC 的距离，根据锐角三角形函数定义得出AD=AOsin36，AO=ABsin54，求出 AD，即可判断 C、D解答：解：A、B 到 AO 的距离是指 BO 的长，ABOC，BAO=AOC=36，在RtBOA 中，BOA=90，AB=1，sin36=BOAB，BO=ABsin36=sin36，故本选项错误；B、由以上可知，选项错误；C、过 A 作 ADOC 于 D，则 AD 的长是点 A 到 OC 的距离，BAO=36，AOB=90，ABO=54，sin36=ADAO，AD=AOsin36，sin54=AOAB，AO=ABsin54，AD=ABsin54sin36=sin54sin36，故本选项正确；D、由以上可知，选项错误；故选 C点评：本题考查了对解直角三角形和点到直线的距离的应用，解此题的关键是找出点 A到 OC 的距离和 B 到 AO 的距离，熟练地运用锐角三角形函数的定义求出关系式，题目较好，但是一道比较容易出错的题目7（2012宜昌）在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为 27，此时旗杆在水平地面上的影子的长度为 24 米，则旗杆的高度约为（）A24 米B20 米C16 米D12 米7D考点：解直角三角形的应用专题：探究型分析：直接根据锐角三角函数的定义可知，AB=BCtan27，把 BC=24 米，tan270.51 代入进行计算即可解答：解：ABBC，BC=24 米，ACB=27，AB=BCtan27，把 BC=24 米，tan270.51 代入得，AB240.5112 米故选 D点评：本题考查的是解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键8（2012广安）如图，某水库堤坝横断面迎水坡 AB 的坡比是 1：3，堤坝高 BC=50m，则应水坡面 AB 的长度是（）A100mB1003mC150mD503m8考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题分析：根据题意可得33BCAC，把 BC=50m，代入即可算出 AC 的长，再利用勾股定理算出 AB 的长即可解：堤坝横断面迎水坡 AB 的坡比是 1：3，33BCAC，BC=50m，AC=503m，AB=22ACCB=100m，故选：A点评：此题主要考查了解直角三角形的应用-坡度问题，关键是掌握坡度是坡面的铅直高度h 和水平宽度 l 的比1（2012泰安）如图，为测量某物体 AB 的高度，在 D 点测得 A 点的仰角为 30，朝物体AB 方向前进 20 米，到达点 C，再次测得点 A 的仰角为 60，则物体 AB 的高度为（）A10米B10 米C20米D米考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题。分析：首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边 AB 及 CD=DCBC=20 构造方程关系式，进而可解，即可求出答案解答：解：在直角三角形 ADC 中，D=30，=tan30BD=AB在直角三角形 ABC 中，ACB=60，BC=ABCD=20CD=BDBC=ABAB=20解得：AB=10故选 A点评：本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形2（2012深圳）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为 8 米，坡面上的影长为 4 米已知斜坡的坡角为 30，同一时刻，一根长为 1 米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为 2 米，则树的高度为（）A（6+）米B12 米C（42）米D10 米考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题；相似三角形的性质。分析：延长 AC 交 BF 延长线于 D 点，则 BD 即为 AB 的影长，然后根据物长和影长的比值计算即可解答：解：延长 AC 交 BF 延长线于 E 点，则CFE=30作 CEBD 于 E，在 RtCFE 中，CFE=30，CF=4m，CE=2，EF=4cos30=2（米），在 RtCED 中，CE=2（米），同一时刻，一根长为 1 米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为 2 米，DE=4（米），BD=BF+EF+ED=12+2（米）在 RtABD 中，AB=BD=（12+2）=（+6）（米）故选：A点评：本题考查了解直角三角形的应用以及相似三角形的性质 解决本题的关键是作出辅助线得到 AB 的影长3（2012福州）如图，从热气球 C 处测得地面 A、B 两点的俯角分别是 30、45，如果此时热气球 C 处的高度 CD 为 100 米，点 A、D、B 在同一直线上，则 AB 两点的距离是（）A200 米B200米C220米D100（）米考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题。分析：图中两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可解答：解：由已知，得A=30，B=45，CD=100，CDAB 于点 D在 RtACD 中，CDA=90，tanA=，AD=100在 RtBCD 中，CDB=90，B=45DB=CD=100 米，AB=AD+DB=100+100=100（+1）米故选 D点评：本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是利用 CD 为直角ABC 斜边上的高，将三角形分成两个三角形，然后求解分别在两三角形中求出 AD 与 BD 的长二、填空题9（2012宁夏）在ABC 中C=90，AB=5，BC=4，则 tanA=943解答：解：如图，C=90，AB=5，BC=4，AC=2222543ABBC，tanA=43BCAC故答案为：43点评：本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，作出图形更容易理解10（2012武汉）tan60=103考点：特殊角的三角函数值分析：根据特殊角的三角函数值直接得出答案即可解答：解：tan60的值为3故答案为：3点评：本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键11（2012常州）若a=60，则a 的余角为，cosa 的值为1130，12考点：特殊角的三角函数值；余角和补角专题：计算题分析：根据互为余角的两角之和为 90，可得出a 的余角，再由 cos60=12，填空即可解答：解：a 的余角=90-60=30，cos60=12故答案为：30、12点评：此题考查了特殊角的三角函数值及余角的知识，属于基础题，掌握互为余角的两角之和为 90，熟记一些特殊角的三角函数值是关键12（2012南京）如图，将 45的AOB 按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点 O 与尺下沿的端点重合，OA 与尺下沿重合，OB 与尺上沿的交点 B 在尺上的读数恰为 2cm若按相同的方式将 37的AOC 放置在该刻度尺上，则 OC 与尺上沿的交点 C 在尺上的读数约为cm（结果精确到 0.1cm，参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75）122.7考点：解直角三角形的应用分析：过点 B 作 BDOA 于 D，过点 C 作 CEOA 于 E首先在等腰直角BOD 中，得到 BD=OD=2cm，则 CE=2cm，然后在直角COE 中，根据正切函数的定义即可求出 OE 的长度解答：解：过点 B 作 BDOA 于 D，过点 C 作 CEOA 于 E在BOD 中，BDO=90，DOB=45，BD=OD=2cm，CE=BD=2cm在COE 中，CEO=90，COE=37，tan37=CEOE0.75，OE2.7cmOC 与尺上沿的交点 C 在尺上的读数约为 2.7cm故答案为 2.7点评：本题考查了解直角三角形的应用，属于基础题型，难度中等，通过作辅助线得到CE=BD=2cm 是解题的关键4（2012广西）如图，为测量旗杆 AB 的高度，在与 B 距离为 8 米的 C 处测得旗杆顶端 A的仰角为 56，那么旗杆的高度约是12米（结果保留整数）（参考数据：sin560.829，cos560.559，tan561.483）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题。分析：在直角三角形 ABC 中，根据 BC=8，ACB=56即可求得 AB 的长解答：解：由题意知 BC=8，C=56，故 AB=BCtan5681.48312 米，故答案为 12点评：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并选择合适的边角关系求解三、解答题13（2012铜仁地区）如图，定义：在直角三角形 ABC 中，锐角的邻边与对边的比叫做角的余切，记作 ctan，即 ctan=ACBC，根据上述角的余切定义，解下列问题：（1）ctan30=；（2）如图，已知 tanA=34，其中A 为锐角，试求 ctanA 的值13考点：锐角三角函数的定义；勾股定理专题：新定义分析：（1）根据直角三角形的性质用 AC 表示出 AB 及 AC 的值，再根据锐角三角函数的定义进行解答即可；（2）由于 tanA=34，所以可设 BC=3，AC=4，则 AB=5，再根据锐角三角函数的定义进行解答即可解答：解：（1）RtABC 中，=30，BC=12AB，AC=ABBC=221342ABABAB，ctan30=3ACBC故答案为：3；（2）tanA=34，设 BC=3，AC=4，则 AB=5，ctanA=43ACBC点评：本题考查的是锐角三角函数的定义及直角三角形的性质，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键14（2012巴中）一副直角三角板如图放置，点 C 在 FD 的延长线上，ABCF，F=ACB=90，E=30，A=45，AC=122，试求 CD 的长14考点：解直角三角形分析：过点 B 作 BMFD 于点 M，根据题意可求出 BC 的长度，然后在EFD 中可求出EDF=60，进而可得出答案解答：解：过点 B 作 BMFD 于点 M，在ACB 中，ACB=90，A=45，AC=122，BC=AC=122，ABCF，BM=BCsin45=12222=12CM=BM=12，在EFD 中，F=90，E=30，EDF=60，MD=BMtan60=43，CD=CM-MD=12-43点评：本题考查了解直角三角形的性质及平行线的性质，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答15（2012遵义）为促进我市经济的快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中需修隧道 AB，如图，在山外一点 C 测得 BC 距离为 200m，CAB=54，CBA=30，求隧道AB 的长（参考数据：sin540.81，cos540.59，tan541.38，31.73，精确到个位）15考点：解直角三角形的应用分析：首先过点 C 作 CDAB 于 D，然后在 RtBCD 中，利用三角函数的知识，求得 BD，CD 的长，继而在 RtACD 中，利用CAB 的正切求得 AD 的长，继而求得答案解答：解：过点 C 作 CDAB 于 D，BC=200m，CBA=30，在 RtBCD 中，CD=12BC=100m，BD=BCcos30=20032=1003173（m），CAB=54，在 RtACD 中，AD=tan54CD100 1.36 74（m），AB=AD+BD=173+74=247（m）答：隧道 AB 的长为 247m16（2012六盘水）如图，小丽想知道自家门前小河的宽度，于是她按以下办法测出了如下数据：小丽在河岸边选取点 A，在点 A 的对岸选取一个参照点 C，测得CAD=30；小丽沿岸向前走 30m 选取点 B，并测得CBD=60请根据以上数据，用你所学的数学知识，帮小丽计算小河的宽度16考点：解直角三角形的应用专题：应用题分析：先根据题意画出示意图，过点 C 作 CEAD 于点 E，设 BE=x，则在 RTACE 中，可得出 CE，利用等腰三角形的性质可得出 BC，继而在 RTBCE 中利用勾股定理可求出 x的值，也可得出 CE 的长度解：过点 C 作 CEAD 于点 E，由题意得，AB=30m，CAD=30，CBD=60，故可得ACB=CAB=30，即可得 AB=BC=30m，设 BE=x，在 RtBCE 中，可得 CE=3x，又BC2=BE2+CE2，即 900=x2+3x2，解得：x=15，即可得 CE=153m答：小丽自家门前的小河的宽度为 153m点评：此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是画出示意图，将实际问题转化为解直角三角形的问题，注意直角三角形的构造，难度一般17（2012新疆）如图，跷跷板 AB 的一端 B 碰到地面时，AB 与地面的夹角为 15，且OA=OB=3m（1）求此时另一端 A 离地面的距离（精确到 0.1m）；（2）若跷动 AB，使端点 A 碰到地面，请画出点 A 运动的路线（不写画法，保留画图痕迹），并求出点 A 运动路线的长（参考数据：sin150.26，cos150.97，tan150.27）17考点：解直角三角形的应用；弧长的计算专题：探究型分析：（1）过 A 作 ADBC 于点 D，根据比例关系及三角函数值可得出 AD 的值（2）根据出 OA 的长，求出AOD 的度数，然后利用弧长的计算公式即可得出答案解答：解：（1）过 A 作 ADBC 于点 D，OA=OB=3m，AB=3+3=6m，AD=ABsin1560.261.6；（2）如图所示，A 点的运动路线是以点 O 为圆心，以 OA 的长为半径的AD的长连接 OD，O 是 AB 的中点，OD=OA=OB，AOD=2B=30，A 运动路线长=2031802点评：本题考查的是解直角三角形的应用及弧长公式，根据题意作出辅助线，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键5（2012资阳）小强在教学楼的点 P 处观察对面的办公大楼为了测量点 P 到对面办公大楼上部 AD 的距离，小强测得办公大楼顶部点 A 的仰角为 45，测得办公大楼底部点 B 的俯角为 60，已知办公大楼高 46 米，CD=10 米求点 P 到 AD 的距离（用含根号的式子表示）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题。分析：连接 PA、PB，过点 P 作 PMAD 于点 M；延长 BC，交 PM 于点 N，将实际问题中的已知量转化为直角三角形中的有关量，设 PM=x 米，在 RtPMA 中，表示出 AM，在 RtPNB 中，表示出 BN，由 AM+BN=46 米列出方程求解即可解答：解：连接 PA、PB，过点 P 作 PMAD 于点 M；延长 BC，交 PM 于点 N则APM=45，BPM=60，NM=10 米设 PM=x 米在 RtPMA 中，AM=PMtanAPM=xtan45=x（米）在 RtPNB 中，BN=PNtanBPM=（x10）tan60=（x10）（米）由 AM+BN=46 米，得 x+（x10）=46解得，点 P 到 AD 的距离为米（结果分母有理化为米也可）点评：此题考查了解直角三角形的知识，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键6（2012绍兴）如图 1，某超市从一楼到二楼的电梯 AB 的长为 16.50 米，坡角BAC 为32（1）求一楼于二楼之间的高度 BC（精确到 0.01 米）；（2）电梯每级的水平级宽均是 0.25 米，如图 2小明跨上电梯时，该电梯以每秒上升 2 级的高度运行，10 秒后他上升了多少米（精确到 0.01 米）？备用数据：sin32=0.5299，con32=0.8480，tan32=6249考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题。分析：（1）在直角三角形 ABC 中利用BAC 的正弦值和 AB 的长求得 BC 的长即可；（2）首先根据题意求得级高，然后根据 10 秒钟上升的级数求小明上升的高度即可解答：解：（1）sinBAC=，BC=ABsin32=16.500.52998.74 米（2）tan32=，级高=级宽tan32=0.250.6249=0.15622510 秒钟电梯上升了 20 级，小明上升的高度为：200.1562253.12 米点评：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解7（2012郴州）如图，水坝的横断面是梯形，背水坡 AB 的坡角BAE=45，坝高 BE=20米汛期来临，为加大水坝的防洪强度，将坝底从 A 处向后水平延伸到 F 处，使新的背水坡 BF 的坡角F=30，求 AF 的长度（结果精确到 1 米，参考数据：1.414，1.732）考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题。分析：可在 RtABE 中，根据坡面 AB 的长以及坡角的度数，求得铅直高度 BE 和水平宽AE 的值，进而可在 RtBFE 中，根据 BE 的长及坡角的度数，通过解直角三角形求出 EF 的长；根据 AF=EFAE，即可得出 AF 的长度解答：解：RtABE 中，BAE=45，坝高 BE=20 米AE=BE=20 米，RtBEF 中，BE=20，F=30，EF=BEtan30=20AF=EFAE=202015即 AF 的长约为 15 米点评：此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力 当两个直角三角形有公共边时，先求出这条公共边是解答此类题的一般思路8（2012恩施州）新闻链接，据侨报网讯外国炮艇在南海追袭中国渔船被中国渔政逼退2012 年 5 月 18 日，某国 3 艘炮艇追袭 5 条中国渔船刚刚完成黄岩岛护渔任务的“中国渔政 310”船人船未歇立即追往北纬 11 度 22 分、东经 110 度 45 分附近海域护渔，保护 100 多名中国渔民免受财产损失和人身伤害 某国炮艇发现中国目前最先进的渔政船正在疾速驰救中国渔船，立即掉头离去（见图 1）解决问题如图 2，已知“中国渔政 310”船（A）接到陆地指挥中心（B）命令时，渔船（C）位于陆地指挥中心正南方向，位于“中国渔政 310”船西南方向，“中国渔政 310”船位于陆地指挥中心南偏东 60方向，AB=海里，“中国渔政 310”船最大航速 20 海里/时根据以上信息，请你求出“中国渔政 310”船赶往出事地点需要多少时间考点：解直角三角形的应用-方向角问题。分析：过点 A 作 ADBC 于点 D，在 RtABD 中利用锐角三角函数的定义求出 AD 的值，同理在 RtADC 中求出 AC 的值，再根据中国渔政 310”船最大航速 20 海里/时求出所需时间即可解答：解：过点 A 作 ADBC 于点 D，在 RtABD 中，AB=，B=60，AD=ABsin60=70，在 RtADC 中，AD=70，C=45，AC=AD=140，“中国渔政 310”船赶往出事地点所需时间为=7 小时答：“中国渔政 310”船赶往出事地点需要 7 小时点评：本题考查的是解直