通用版2020版高考数学大二轮复习能力升级练十六导数及其综合应用2理20191211350.docx
能力升级练(十六)导数及其综合应用(2)1.(2019湖北荆州质检)已知函数f(x)=ax-ln x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若a-,-1e2,求证:f(x)2ax-xeax-1.(1)解由题意得f'(x)=a-1x=ax-1x(x>0),当a0时,则f'(x)<0在(0,+)上恒成立,f(x)在(0,+)上单调递减.当a>0时,则当x1a,+时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x0,1a时,f'(x)<0,f(x)单调递减.综上,当a0时,f(x)在(0,+)上单调递减;当a>0时,f(x)在0,1a上单调递减,在1a,+上单调递增.(2)证明令g(x)=f(x)-2ax+xeax-1=xeax-1-ax-lnx,则g'(x)=eax-1+axeax-1-a-1x=(ax+1)eax-1-1x=(ax+1)(xeax-1-1)x(x>0),设r(x)=xeax-1-1(x>0),则r'(x)=(1+ax)eax-1(x>0),eax-1>0,当x0,-1a时,r'(x)>0,r(x)单调递增;当x-1a,+时,r'(x)<0,r(x)单调递减.r(x)max=r-1a=-1ae2+10a-1e2,当0<x<-1a时,g'(x)<0,当x>-1a时,g'(x)>0,g(x)在0,-1a上单调递减,在-1a,+上单调递增,g(x)min=g-1a.设t=-1a(0,e2,则g-1a=h(t)=te2-lnt+1(0<te2),h'(t)=1e2-1t0,h(t)在(0,e2上单调递减,h(t)h(e2)=0;g(x)0,故f(x)2ax-xeax-1.2.图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图,图2是凹槽的横截面(阴影部分)示意图,其中四边形ABCD是矩形,弧CmD是半圆,凹槽的横截面的周长为4.若凹槽的强度T等于横截面的面积S与边AB的乘积,设AB=2x,BC=y.(1)写出y关于x的函数表达式,并指出x的取值范围;(2)求当x取何值时,凹槽的强度最大.解(1)易知半圆CmD的半径为x,故半圆CmD的弧长为x.所以4=2x+2y+x,得y=4-(2+)x2.依题意知0<x<y,得0<x<44+.所以y=4-(2+)x20<x<44+.(2)依题意,得T=AB·S=2x2xy-12x2=8x2-(4+3)x3.令T'=16x-3(4+3)x2=0,得x=0或x=169+12.因为0<169+12<4+4,所以当0<x<169+12时,T'>0,T为关于x的增函数;当169+12<x<44+时,T'<0,T为关于x的减函数,所以当x=169+12时凹槽的强度最大.3.(2019北京,理19)已知函数f(x)=14x3-x2+x.(1)求曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程;(2)当x-2,4时,求证:x-6f(x)x;(3)设F(x)=|f(x)-(x+a)|(aR),记F(x)在区间-2,4上的最大值为M(a).当M(a)最小时,求a的值.(1)解由f(x)=14x3-x2+x得f'(x)=34x2-2x+1.令f'(x)=1,即34x2-2x+1=1,得x=0或x=83.又f(0)=0,f83=827,所以曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程是y=x与y-827=x-83,即y=x与y=x-6427.(2)证明令g(x)=f(x)-x,x-2,4.由g(x)=14x3-x2得g'(x)=34x2-2x.令g'(x)=0得x=0或x=83.g'(x),g(x)的情况如下:x-2(-2,0)00,838383,44g'(x)+-+g(x)-60-64270所以g(x)的最小值为-6,最大值为0.故-6g(x)0,即x-6f(x)x.(3)解由(2)知,当a<-3时,M(a)F(0)=|g(0)-a|=-a>3;当a>-3时,M(a)F(-2)=|g(-2)-a|=6+a>3;当a=-3时,M(a)=3.综上,当M(a)最小时,a=-3.4.已知函数f(x)=12ax2-ln x,aR.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间1,e上的最小值为1,求a的值.解函数f(x)的定义域是(0,+),f'(x)=ax-1x=ax2-1x.(1)当a=0时,f'(x)=-1x<0,故函数f(x)在(0,+)上单调递减.当a<0时,f'(x)<0恒成立,所以函数f(x)在(0,+)上单调递减.当a>0时,令f'(x)=0,又因为x>0,解得x=1a.()当x0,1a时,f'(x)<0,所以函数f(x)在0,1a上单调递减.()当x1a,+时,f'(x)>0,所以函数f(x)在1a,+上单调递增.综上所述,当a0时,函数f(x)的单调减区间是(0,+),当a>0时,函数f(x)的单调减区间是0,1a,单调增区间为1a,+.(2)当a0时,由(1)可知,f(x)在1,e上单调递减,所以f(x)的最小值为f(e)=12ae2-1=1,解得a=4e2>0,舍去.当a>0时,由(1)可知,()当1a1,即a1时,函数f(x)在1,e上单调递增,所以函数f(x)的最小值为f(1)=12a=1,解得a=2.()当1<1a<e,即1e2<a<1时,函数f(x)在1,1a上单调递减,在1a,e上单调递增,所以函数f(x)的最小值为f1a=12+12lna=1,解得a=e,舍去.()当1ae,即0<a1e2时,函数f(x)在1,e上单调递减,所以函数f(x)的最小值为f(e)=12ae2-1=1,得a=4e2,舍去.综上所述,a=2.5.(2019天津,理20)设函数f(x)=excos x,g(x)为f(x)的导函数.(1)求f(x)的单调区间;(2)当x4,2时,证明f(x)+g(x)2-x0;(3)设xn为函数u(x)=f(x)-1在区间2n+4,2n+2内的零点,其中nN,证明2n+2-xn<e-2nsinx0-cosx0.(1)解由已知,有f'(x)=ex(cosx-sinx).因此,当x2k+4,2k+54(kZ)时,有sinx>cosx,得f'(x)<0,则f(x)单调递减;当x2k-34,2k+4(kZ)时,有sinx<cosx,得f'(x)>0,则f(x)单调递增.所以,f(x)的单调递增区间为2k-34,2k+4(kZ),f(x)的单调递减区间为2k+4,2k+54(kZ).(2)证明记h(x)=f(x)+g(x)2-x.依题意及(1),有g(x)=ex(cosx-sinx),从而g'(x)=-2exsinx.当x4,2时,g'(x)<0,故h'(x)=f'(x)+g'(x)2-x+g(x)(-1)=g'(x)2-x<0.因此,h(x)在区间4,2上单调递减,进而h(x)h2=f2=0.所以,当x4,2时,f(x)+g(x)2-x0.(3)证明依题意,u(xn)=f(xn)-1=0,即exncosxn=1.记yn=xn-2n,则yn4,2,且f(yn)=eyncosyn=exn-2ncos(xn-2n)=e-2n(nN).由f(yn)=e-2n1=f(y0)及(1),得yny0.由(2)知,当x4,2时,g'(x)<0,所以g(x)在4,2上为减函数,因此g(yn)g(y0)<g4=0.又由(2)知,f(yn)+g(yn)2-yn0,故2-yn-f(yn)g(yn)=-e-2ng(yn)-e-2ng(y0)=e-2ney0(siny0-cosy0)<e-2nsinx0-cosx0.所以,2n+2-xn<e-2nsinx0-cosx0.8
