福建省莆田二十五中2015_2016学年高二数学上学期第一次月考试卷含解析.doc

2015-2016学年福建省莆田二十五中高二（上）第一次月考数学试卷一、选择题（每小题5分，共5×12=60分）1在ABC中，若sinA：sinB=2：3，则边b：a等于( )A3：2或9：4B2：3C9：4D3：22在ABC中，已知a：b：c=3：5：7，则这个三角形的最大内角为( )A300B1350C600D12003在数列an中，a1=，an=（1）n2an1（n2），则a5等于( )ABCD4等差数列an中，已知a1=，a2+a5=4，an=33，则n的值为( )A50B49C48D475等差数列an的前n项和为Sn，若S3=3，S6=7，则S9的值为( )A12B15C11D86已知9，a1，a2，1四个实数成等差数列，9，b1，b2，b3，1五个实数成等比数列，则b2（a2a1）=( )A8B8C±8D7已知数列an满足：a1=1，则数列an是( )A递增数列B递减数列C摆动数列D常数列8已知等差数列an的前n项和是Sn，若S30=13S10，S10+S30=140，则S20的值是( )A60B70CD9在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，如果2b=a+c，B=30°，ABC的面积是，则 b=( )A1+BCD2+10在20米高的楼顶测得对面一塔吊顶部的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么这座塔吊的高度是( )A20（1+）B20（+）C10（+）D20（1+）11在ABC中，三边a、b、c与面积S的关系是S=（a2+b2c2），则角C应为( )A30°B45°C60°D90°12数列an的通项公式是an=（nN+），若前n项的和为10，则项数n为( )A11B99C120D121二、填空题（每小题4分，共16分）13在ABC中，AB=，A=45°，C=75°，则BC=_14已知等差数列an中，a3、a15是方程x26x1=0的两根，则a7+a8+a9+a10+a11=_15若ABC的周长等于20，面积是，A=60°，则a=_16若ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，c=2a，则cosB的值为_三、解答题（17-21小题每小题12分，22小题14分，共74分）17ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=，b=，B=45°，（）求角A、C；（）求边c18设等差数列an满足a3=5，a10=9（）求an的通项公式；（）求an的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值19在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且=（1）求角B的大小；（2）若b=，a+c=4，求a的值20已知等比数列an的首项a1=，公比q满足q0且q1，又已知a1，5a3，9a5成等差数列（1）求数列an的通项（2）令bn=log3，求+的值21在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2bcosA=ccosA+acosC（1）求角A的大小；（2）若a=，SABC=，试判断ABC的形状，并说明理由22（14分）某海轮以30公里/小里的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶40分钟到达C点，求PC间的距离；在点C测得油井的方位角是多少？2015-2016学年福建省莆田二十五中高二（上）第一次月考数学试卷一、选择题（每小题5分，共5×12=60分）1在ABC中，若sinA：sinB=2：3，则边b：a等于( )A3：2或9：4B2：3C9：4D3：2【考点】正弦定理的应用【专题】计算题【分析】根据正弦定理可知 =2R，将条件代入即可求出所求【解答】解：=2R，sinA：sinB=2：3b：a=3：2故选D【点评】本题主要考查了正弦定理的应用正弦定理是解三角形问题中常用的方法，是进行边角问题转化的关键2在ABC中，已知a：b：c=3：5：7，则这个三角形的最大内角为( )A300B1350C600D1200【考点】余弦定理【专题】计算题；解三角形【分析】由余弦定理，算出cosC的值得到C=120°，即得三角形的最大内角【解答】解：ABC中，a：b：c=3：5：7，设a=3x，b=5x，c=7x由余弦定理，得cosC=结合C（0°，180°），得C=120°即三角形的最大内角为120°故选：D【点评】本题给出三角形三条边的比，求它的最大内角着重考查了利用余弦定理解三角形等知识，属于基础题3在数列an中，a1=，an=（1）n2an1（n2），则a5等于( )ABCD【考点】数列的函数特性【专题】点列、递归数列与数学归纳法【分析】利用递推式即可得出【解答】解：a1=，an=（1）n2an1（n2），a2=（1）22a1=a3=（1）32a2=2×=a4=（1）42a3=a5=（1）52a4=故选：B【点评】本题考查了利用递推式求数列的值，属于基础题4等差数列an中，已知a1=，a2+a5=4，an=33，则n的值为( )A50B49C48D47【考点】等差数列的通项公式【专题】等差数列与等比数列【分析】设公差为d，由条件a1=，a2+a5=4，可求得d的值，再由an=33，利用等差数列的通项公式，求得n的值【解答】解：设公差为d，a1=，a2+a5=4，a1+d+a1+4d=4，即+5d=4，可得d=再由an=a1+（n1）d=+（n1）×=33，解得 n=50，故选 A【点评】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式的应用，属于基础题5等差数列an的前n项和为Sn，若S3=3，S6=7，则S9的值为( )A12B15C11D8【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质【专题】等差数列与等比数列【分析】由等差数列的性质可得S3 、S6S3、S9S6仍成等差数列，故有 2（73）=3+（S97），由此可得S9的值【解答】解：等差数列an的前n项和为Sn，已知S3=3，S6=7，则由等差数列的性质可得S3 、S6S3、S9S6仍成等差数列，即3，73，S97 成等差数列，故有 2（73）=3+（S97），S9=12故选A【点评】本题考查等差数列的定义和性质，利用了等差数列每相邻三项的和仍然构成等差数列，属基础题6已知9，a1，a2，1四个实数成等差数列，9，b1，b2，b3，1五个实数成等比数列，则b2（a2a1）=( )A8B8C±8D【考点】等差数列与等比数列的综合【专题】计算题【分析】先由已知条件和等差数列以及等比数列的性质求得，再利用等比数列中的第三项与第一项同号即可求出答案【解答】解：由题得，又因为b2是等比数列中的第三项，所以与第一项同号，即b2=3b2（a2a1）=8故选 B【点评】本题是对等差数列以及等比数列性质的综合考查在做关于等差数列以及等比数列的题目时，其常用性质一定要熟练掌握7已知数列an满足：a1=1，则数列an是( )A递增数列B递减数列C摆动数列D常数列【考点】数列的函数特性【专题】等差数列与等比数列【分析】由题意知，得到连续两项的比值等于大于0且小于1常数，得到数列是一个递减的等比数列【解答】解：由于数列an满足：a1=1，则数列的后一项为前一项的，且数列各项为正，故数列为一个递减的等比数列故答案为：B【点评】本题考查由数列的递推式来证明数列的特殊性质，属于基础概念题8已知等差数列an的前n项和是Sn，若S30=13S10，S10+S30=140，则S20的值是( )A60B70CD【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和【专题】计算题；规律型；函数思想；等差数列与等比数列【分析】首先根据题意求出S10=10，S30=130，再根据Sn，S2nSn，S3nS2n也是等差数列，得到S20【解答】解：因为S30=13S10，S10+S30=140，所以S10=10，S30=130数列an为等差数列，Sn，S2nSn，S3nS2n也是等差数列，即S10，S20S10，S30S20也是等差数列，即，2（S2010）=10+130S20所以S20=故选：D【点评】本题主要考查了等差数列的性质和数列的求和解题的关键是利用了等差数列中Sn，S2nSn，S3nS2n也是等差数列的性质9在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，如果2b=a+c，B=30°，ABC的面积是，则 b=( )A1+BCD2+【考点】正弦定理【专题】解三角形【分析】先根据已知条件求出a，b，c的关系，再根据三角形的面积公式求出ac=6，利用余弦定理求出b的值【解答】解：B=30°，ABC的面积是，即ac=6，2b=a+c，4b2=a2+c2+2ac，则由余弦定理得，两式相减得，即，即b=1+，故选：A【点评】本题主要考查了正弦定理的应用解题过程中常需要正弦定理，余弦定理，三角形面积公式以及勾股定理等知识要求熟练掌握相应的公式和定理10在20米高的楼顶测得对面一塔吊顶部的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么这座塔吊的高度是( )A20（1+）B20（+）C10（+）D20（1+）【考点】解三角形的实际应用【专题】计算题【分析】由题意，AB=20米，DAE=60°，DAC=45°，可先在直角三角形ABC中求出BC，再由ADCE，得出DC，AD的长度，再求出DE即可得出塔吊的高度【解答】解：由题意，AB=20米，DAE=60°，DAC=45°，可知ABCD是正方形，有此易得CD=AD=20米再由，DAE=60°，在直角三角形ADE中可求得DE=，AD=20塔高为DE+CD=20+20 =20（+1）故选D【点评】本题考查已知三角函数模型的应用问题，解答本题的关键是建立起符合条件的模型，然后再由三角形中的相关知识进行运算，解三角形的应用一般是求距离（长度问题，高度问题等）解题时要注意综合利用所学的知识与题设中的条件，求解三角形的边与角11在ABC中，三边a、b、c与面积S的关系是S=（a2+b2c2），则角C应为( )A30°B45°C60°D90°【考点】余弦定理；正弦定理【专题】计算题【分析】用三角形面积公式表示出S，利用题设等式建立等式，进而利用余弦定理求得2abcosC=a2+b2c2，进而整理求得sinC和cosC的关系进而求得C【解答】解：由三角形面积公式可知S=absinC，S=，absinC=由余弦定理可知2abcosC=a2+b2c2sinC=cosC，即tanC=1，C=45°故选B【点评】本题主要考查了余弦定理的应用要能熟练掌握余弦定理公式及其变形公式12数列an的通项公式是an=（nN+），若前n项的和为10，则项数n为( )A11B99C120D121【考点】数列的求和【专题】方程思想；作差法；等差数列与等比数列【分析】运用分母有理化可得an=，再由裂项相消求和可得前n项的和为Sn，由Sn，=10，解方程可得n【解答】解：an=，前n项的和为Sn=1+2+=1，由题意可得1=10，解得n=120故选：C【点评】本题考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题二、填空题（每小题4分，共16分）13在ABC中，AB=，A=45°，C=75°，则BC=3【考点】正弦定理【专题】解三角形【分析】由A与C的度数，以及AB的长，利用正弦定理即可求出BC的长【解答】解：AB=，A=45°，C=75°，sin75°=sin（45°+30°）=×+×=，由正弦定理得：=，即BC=3故答案为：3【点评】此题考查了正弦定理，熟练掌握正弦定理是解本题的关键14已知等差数列an中，a3、a15是方程x26x1=0的两根，则a7+a8+a9+a10+a11=15【考点】等差数列的性质【专题】等差数列与等比数列【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得 a3+a15=6，再由等差数列的性质可得 a7+a11=a8+a10=2a9=a3+a15 ，由此求得要求式子的值【解答】解：由题意可得 a3+a15=6，又a7+a11=a8+a10=2a9=a3+a15 ，a7+a8+a9+a10+a11=（2+）（a3+a15）=×6=15，故答案为 15【点评】本题主要考查一元二次方程等于系数的关系，等差数列的定义和性质的应用，属于中档题15若ABC的周长等于20，面积是，A=60°，则a=7【考点】解三角形【专题】计算题；解三角形【分析】根据三角形面积公式，结合A=60°算出bc=40利用余弦定理a2=b2+c22bccosA，化简得出a2=（b+c）2120，结合三角形的周长为20得到关于a的方程，解之可得边a的长【解答】解：A=60°，SABC=bcsinA=，即bc=解之得bc=40由余弦定理a2=b2+c22bccosA，得a2=（b+c）23bc=（b+c）2120ABC的周长a+b+c=20b+c=20a，得a2=2120，解之得a=7故答案为：7【点评】本题给出三角形的面积和周长，在已知角A的情况下求边a的长着重考查了利用正余弦定理解三角形、三角形的面积公式等知识，属于中档题16若ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，c=2a，则cosB的值为【考点】余弦定理【专题】计算题【分析】由a，b，c，且a，b，c成等比数列且c=2a可得，b=，c=2a，结合余弦定理可求【解答】解：a，b，c，且a，b，c成等比数列且c=2ab2=ac=2a2，b=，c=2a=故答案为：【点评】本题主要考查了等比中项的定义的应用，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础试题三、解答题（17-21小题每小题12分，22小题14分，共74分）17ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=，b=，B=45°，（）求角A、C；（）求边c【考点】余弦定理；正弦定理【专题】解三角形【分析】（）由条件利用正弦定理求得sinA=，可得A的值，再利用三角形内角和公式求得C的值（）由条件分类讨论，分别根据c= 计算求得结果【解答】解：（）B=45°90°且asinBba，ABC有两解由正弦定理得sinA=，则A为60°或120°（）当A=60°时，C=180°（A+B）=75°，c=当A=120°时，C=180°（A+B）=15°，c=c=故在ABC中，A=60°，C=75°，c=；或A=120°，C=15°，c=【点评】本题主要考查正弦定理、两角和的正弦公式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题18设等差数列an满足a3=5，a10=9（）求an的通项公式；（）求an的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和【分析】（1）设出首项和公差，根据a3=5，a10=9，列出关于首项和公差的二元一次方程组，解方程组得到首项和公差，写出通项（2）由上面得到的首项和公差，写出数列an的前n项和，整理成关于n的一元二次函数，二次项为负数求出最值【解答】解：（1）由an=a1+（n1）d及a3=5，a10=9得a1+9d=9，a1+2d=5解得d=2，a1=9，数列an的通项公式为an=112n（2）由（1）知Sn=na1+d=10nn2因为Sn=（n5）2+25所以n=5时，Sn取得最大值【点评】数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值，因此它具备函数的特性19在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且=（1）求角B的大小；（2）若b=，a+c=4，求a的值【考点】余弦定理；正弦定理【专题】综合题【分析】（1）根据正弦定理化简已知的等式，再利用两角和的正弦函数公式及诱导公式化简后，由sinA不为0，即可得到cosB的值，根据B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）利用余弦定理得到b2=a2+c22accosB，配方后把b，a+c及cosB的值代入，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值【解答】解：（1）由正弦定理得=2R，得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入=，即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，化简得：2sinAcosB+sin（B+C）=0，A+B+C=，sin（B+C）=sinA，2sinAcosB+sinA=0，sinA0，cosB=，又角B为三角形的内角，B=；（2）将b=，a+c=4，B=，代入余弦定理b2=a2+c22accosB，得13=a2+（4a）22a（4a）cos，a24a+3=0，a=1或a=3【点评】此题考查了正弦定理，余弦定理以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键20已知等比数列an的首项a1=，公比q满足q0且q1，又已知a1，5a3，9a5成等差数列（1）求数列an的通项（2）令bn=log3，求+的值【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）根据等比数列和等差数列的性质建立方程组，即可求出数列an的通项（2）求出bn的通项公式，利用裂项法即可求和【解答】解：（1）在等比数列an中，a1，5a3，9a5成等差数列，2×5a3=a1+9a5即：，9q410q2+1=0，解得：又q0且q1（2），bn=n，则=【点评】本题主要考查数列的通项公式的求解，以及数列求和，利用裂项法是解决本题的关键21在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2bcosA=ccosA+acosC（1）求角A的大小；（2）若a=，SABC=，试判断ABC的形状，并说明理由【考点】正弦定理；三角形的形状判断【专题】解三角形【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，根据sinB不为0求出cosA的值，由A的范围即可确定出A的度数；（2）利用三角形的面积公式列出关系式，将sinA与已知面积代入求出bc的值，再由余弦定理列出关系式，将cosA，a的值代入求出b2+c2的值，联立求出b与c的值，即可确定出三角形的形状【解答】解：（1）由2bcosA=ccosA+acosC及正弦定理，得2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，即sinB（2cosA1）=0，0B，sinB0，cosA=，0A，A=；（2）SABC=bcsinA=，即bcsin=，bc=3，a2=b2+c22bccosA，a=，A=，b2+c2=6，由得b=c=，则ABC为等边三角形【点评】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键22（14分）某海轮以30公里/小里的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶40分钟到达C点，求PC间的距离；在点C测得油井的方位角是多少？【考点】解三角形【专题】应用题；转化思想；综合法；解三角形【分析】在ABP中，根据正弦定理，求BP，再利用余弦定理算出PC的长，即可算出P、C两地间的距离证明CPAB，即可得出结论【解答】解：如图，在ABP中，AB=30×=20，APB=30°，BAP=120°，根据正弦定理得：，BP=20在BPC中，BC=30×=20由已知PBC=90°，PC=40（n mile） P、C间的距离为40n mile在BPC中，CBP=90°，BC=20，PC=40，sinBPC=，BPC=30°，ABP=BPC=30°，CPAB，在点C测得油井P在C的正南40海里处【点评】本题给出实际应用问题，求两地之间的距离，着重考查了正弦定理和解三角形的实际应用等知识，属于中档题- 18 -