2009届全国名校真题模拟专题训练9-立体几何解答题3（数学）doc--高中数学 .doc

http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网20092009 届全国名校真题模拟专题训练届全国名校真题模拟专题训练0909 立体几何立体几何三、解答题(第三部分)51、(河南省开封市 2008 届高三年级第一次质量检)如图 PA平面 ABCD，四边形 ABCD 是矩形，E、F 分别是 AB，PD 的中点。（1）求证：AF/平面 PCE；（2）若二面角 PCDB 为 45，AD=2，CD=3，求点 F 到平面 PCE 的距离。证：（1）取 PC 中点 M，连 ME，MFFM/CD，FM=CD21，AE/CD，AE=CD21AE/FN，且 AE=FM，即四边形 AFME 是平行四边形AE/EM，AF平面 PCEAF/平面 PCE解：（2）PA平面 AC，CDAD，CDPDPDA 是二面角 PCDB 的平面角，PDA=45PAD 是等腰 Rt，而 EM/AF。又AFCDAF面 PCD，而 EM/AFEM面 PCD又 EM面 PEC，面 PEC面 PCD在面 PCD 内过 F 作 FHPC 于 H 则 FH 为点 F 到面 PCE 的距离由已知 PD=17,221,22PCPDPFPFHPCDPCCDPFFH17343FH52、(河南省濮阳市 2008 年高三摸底考试)如图，在多面体 ABCDE 中，AE面 ABC，BDAE，且 ACABBCBD2，AE1，F 为 CD 中点(1)求证：EF面 BCD；(2)求面 CDE 与面 ABDE 所成的二面角的余弦值http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网53、(河南省许昌市 2008 年上期末质量评估)如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，BB1BC2，且 M 是 BC 的中点，点 N 在 CC1上()试确定点 N 的位置，使 AB1MN；()当 AB1MN 时，求二面角 MAB1N 的大小http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网ABCA1B1C1O54、(黑龙江省哈尔滨九中 2008 年第三次模拟考试)已知斜三棱柱111CBAABC 的各棱长均为 2，侧棱1BB与底面ABC所成角为3，且侧面11AABB底面ABC.（1）证明：点1B在平面ABC上的射影O为AB的中点；（2）求二面角BABC1的大小；（3）求点1C到平面ACB1的距离.（1）证明：过 B1点作 B1OBA。侧面 ABB1A1底面 ABCA1O面 ABC B1BA 是侧面 BB1与底面 ABC 倾斜角B1BO=3在 RtB1OB 中，BB1=2，BO=21BB1=1又BB1=AB，BO=21AB O 是 AB 的中点。即点 B1在平面 ABC 上的射影 O 为 AB 的中点4 分（2）连接 AB1过点 O 作 OMAB1，连线 CM，OC，OCAB，平面 ABC平面 AA1BB1OC平面 AABB。http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网OM 是斜线 CM 在平面 AA1B1B 的射影 OMAB1AB1CMOMC 是二面角 CAB1B 的平面角在 RtOCM 中，OC=3，OM=2tan,23OMOCOMCOMC=cosC+sin2二面角 CAB1B 的大小为.2arctan8 分（3）过点 O 作 ONCM，AB1平面 OCM，AB1ONON平面 AB1C。ON 是 O 点到平面 AB1C 的距离51521523328433.23,3,CMOCOMONCMOMOCOMCRt中在连接 BC1与 B1C 相交于点 H，则 H 是 BC1的中点B 与 C1到平面 ACB1的相导。又O 是 AB 的中点 B 到平面 AB1C 的距离是 O 到平面 AB1C 距离的 2 倍是 G 到平面 AB1C 距离为.515212 分55、(黑龙江省哈师大附中 2008 届高三上期末)如图，正方形 ABCD 中，ACBDO,PO平面 ABCD，POAD 3，点 E 在 PD 上，PE：ED=2：1。（1）证明：PD平面 EAC；（2）求二面角 APDC 的余弦值；（3）求点 B 到平面 PDC 的距离。解：（1）EACPDPDCEPDAC平面（2）CEA 为二面角 APDC 的平面角，51cosCEA（3）点 B 到平面 PDC 的距离为515256、(湖北省八校高 2008 第二次联考)如图，已知四棱锥SABCD中，SAD是边长为a的正三角形，平面SAD 平面ABCD，四边形ABCD为菱形，60DAB，P为AD的中点，Q为SB的中点.（）求证：/PQ平面SCD；（）求二面角BPCQ的大小解：（1）证明取 SC 的中点 R，连 QR,DR.由题意知：PDBC 且 PD=12BC;SQDABPChttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网QRBC 且 QP=12BC,QRPD 且 QR=PD.PQDR,又 PQ面 SCD,PQ面 SCD.（6 分）（2）法一：连接 SP，,.SPADSCDABCDSPABCD面面面,PBHQHQHABCDQHSP取的中点，连，得面.,1133,22243790,.22HGPCGQGQGHQHSPaaPBCPBCPBa BCaPCa作于连由三垂线定理知：即为所求二面角的平面角.而在中，33sin472 72aHGPHBPCaaa.374tan232 7aQHQGHHGa，BPCQ二面角的大小为7arctan.2（12 分）（2）法二：以 P 为坐标原点，PA 为 x 轴，PB 为 y 轴，PS 为 z 轴建立空间直角坐标系，则 S（30,0,2a），B（30,02a）,C（3,02aa），Q（330,44aa）.面 PBC 的法向量为PS （30,0,2a）,设(,)nx y z为面 PQC 的一个法向量，由3300344(,3,3)20304ayazn PQnn PCaxay ，cos3222,11113331122an PSa ，BPCQ二面角的大小为2 11arccos.11（12 分）57、(湖北省三校联合体高 2008 届 2 月测试)如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点 E 在棱 AB 上移动.（1）证明：D1EA1D；（2）当 E 为 AB 的中点时，求点 A 到面 ECD1的距离；（3）AE 等于何值时，二面角 D1ECD 的大小为4.（1）证明：连1AD，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，1AD为1D E在平面1ADhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网的射影，而 AD=AA1=1，则四边形11ADD A是正方形11ADAD，由三垂线定理得 D1EA1D3 分（2）解：以点 D 为原点，DA 为x轴，DC 为y轴建立如图所示的直角坐标系。则(1,0,0)A(1,1,0)E、(1,2,0)B、(0,2,0)C、1(0,0,1)D则(0,1,0)AE ，(1,1,0)EC ，1(0,2,1)DC ，设平面1D EC的法向量为1(,)nx y z11100:1:1:2200n ECxyx y zyzn DC ，记1(1,1,2)n 点 A 到面 ECD1的距离11|166|6AE ndn 7 分（3）解：设0(1,0)Ey则0(1,2,0)ECy ，设平面1D EC的法向量为1(,)nx y z100110(2)0:(2):1:2200n ECxyyx y zyyzn DC ，记10(2),1,2)ny而平面 ECD 的法向量2(0,0,1)n ，则二面角 D1ECD 的平面角12,4n n 12022212022cos232|(2)121n nynny 。当 AE=23时，二面角 D1ECD 的大小为4。12 分58、(湖北省鄂州市 2008 年高考模拟)(湖北省鄂州市 2008 年高考模拟)在正三角形 ABC 中，E、F、P 分别是 AB、AC、BC 边上的点，满足AEEB12CFCPFAPB（如图 1）.将AEF 沿EF 折起到EFA1的位置，使二面角 A1EFB 成直二面角，连结 A1B、A1P（如图 2）（）求证：A1E平面 BEP；（）求直线 A1E 与平面 A1BP 所成角的大小；（）求二面角 BA1PF 的大小（用反三角函数表示）.图 1图 21A?A?P?F?E?C?Bhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网解：不妨设正三角形ABC的边长为 3，则（1）在图 1 中，取BE中点D，连结DF，则12AECFCPEBFAPB,2AFAD而060A，即ADF是正三角形又1AEED,EFAD在图 2 中有1A EEF,BEEF,1A EB为二面角1AEFB的平面角二面角1AEFB为直二面角,1A EBE又BEEFE,1A E平面BEF,即1A E平面BEP.（2）由（1）问可知 A1E平面 BEP，BEEF,建立如图的坐标系，则（0，0，0），A1（0，0，1）B（2，0，0），F（0，0，3）.在图中，不难得到F/P 且FP；/FP 且FP故点的坐标（1，3，0）1(2,0,1)A B ，(1,3,0)BP ，1(0,0,1)EA 不妨设平面 A1BP 的法向量1(,)nx y z，则1112030A B nxzBP nxy 令3y 得1(3,3,6)n 11111163cos,2|1 4 3nEAnEAnEA 故直线 A1E 与平面 A1BP 所成角的大小为3.（3）由（2）问可知平面 A1BP 的法向量1(3,3,6)n ，1(0,3,1)A F ，(1,0,0)FP 设平面 AEP 的法向量2(,)nx y z，则121300A F nyzBP nx 令3y 得2(0,3,3)n 故121212217cos,8|4 32 3nnnnnn 显然二面角 BA1PF 为钝角故二面角 BA1PF 为7arccos8.【方法探究】本题属于翻折问题，在翻折前的图中易证 EAB，而翻折后保持这一http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网垂直关系，并且易证1A EBE，从而有“三条直线两两垂直”，所以本例可以建立坐标系，利用空间向量求解.【技巧点拨】本题属于翻折问题，这是高考的热点题型.求解翻折问题的策略是对比翻折前后，分析变与不变，一般地有：（1）分析翻折前后点的变化，注意点与点的重合问题以及点的位置的改变；（2）分析翻折前后长度与角度的变化，注意利用平面图形解决空间的线段长度以及空间角的大小；（3）若翻折后，线与线仍同在一个平面内，则它们的位置关系不发生任何变化；若翻折后，线与线由同一平面转为不同平面，则应特别注意点的位置变化.59、(湖北省黄冈市麻城博达学校 2008 届三月综合测试)在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD是 a 的正方形，PA平面 ABCD，且 PA=2AB（）求证：平面 PAC平面 PBD；（）求二面角 BPCD 的余弦值.解：（）证明：PA平面 ABCDPABDABCD 为正方形ACBDBD平面 PAC 又 BD 在平面 BPD 内，平面 PAC平面 BPD6 分（）解法一：在平面 BCP 内作 BNPC 垂足为 N，连 DN，RtPBCRtPDC，由 BNPC 得 DNPC；BND 为二面角 BPCD 的平面角，在BND 中，BN=DN=a65，BD=a2cosBND=5135265652222aaaa解法二：以 A 为原点，AB、AD、AP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间坐标系如图，在平面 BCP 内作 BNPC 垂足为 N 连 DN，RtPBCRtPDC，由 BNPC 得 DNPC；BND 为二面角 BPCD 的平面角设)2,(aaaPCPN650)2)(22()()(0)2,()22,(aaaaaaaaPCBNPCBNaaaPCaaaaaPBPNBN即)3,6,65(),3,65,6(aaaNDaaaNB10 分5136309365365|cos2222aaaaNDNBNDNBBND12 分http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网解法三：以 A 为原点，AB、AD、AP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图空间坐标系，作 AMPB 于 M、ANPD 于 N，易证 AM平面 PBC，AN平面 PDC，设)2,0,(aaPBPBPM)52,54,0(),52,0,54(540,)1(2,0,()2,0,(aaANaaAMPBAMPBAMaaPAPMAMaaPM同理512520254|cos22aaANAMANAMMAN二面角 BPCD 的平面角与MAN 互补二面角 BPCD 的余弦值为5112 分60、(湖北省黄冈中学 2008 届高三第一次模拟考试)四棱锥 SABCD 中，底面ABCD为 平 行 四 边 形，侧 面SBC 底 面ABCD.已 知45,2,2 2,3.ABCABBCSASB（1）证明SABC；（2）求直线 SD 与平面 SAB 所成角的大小.解法一：（1）作SOBC，垂足为 O，连结 AO，由侧面SBC 底面 ABCD，得SO 底面 ABCD.因为 SA=SB，所以 AO=BO.又45ABC，故AOB为等腰直角三角形，.AOBO由三垂线定理，得.SABC（2）由（1）知SABC，依 题 设ADBC，故SAAD，由2 2,3,2ADBCSAAO，得1,11.SOSD所以SAB的面积22111()2.22SABSAAB连 结DB，得DAB的 面 积21sin1352.2SAB AD设 D 到平面 SAB 的距离为 h，由D SABSABDVV，得121133h SSO S，解得2.h 设 SD 与平面 SAB 所成角为，则222sin.1111hSD所以直线 SD 与平面 SAB 所成的角为22arcsin.11解法二：（1）作SOBC，垂足为 O，连结 AO，由侧面SBC http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网底面 ABCD，得SO 平面 ABCD.因为 SA=SB，所以 AO=BO.又45ABC，AOB为等腰直角三角形，.AOBO如 图，以 O 为 坐 标 原 点，OA 为 x 轴 正 向，建 立 直 角 坐 标 系 Oxyz，(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),(0,0,1),ABCS(2,0,1),(0,2 2,0),0SACBSA CB ，所以.SABC（2）取 AB 中 点 E，22(,0)22E.连 结 SE，取 SE 中 点 G，连 结 OG，22122122(,),(,),(,1),(2,2,0).44244222GOGSEAB 0,0SE OGAB OG ，OG 与平面 SAB 内两条相交直线 SE、AB 垂直，所以OG 平面SAB.OGDS 与的夹角记为，SD 与平面 SAB 所成的角记为，则与互余.2222(2,2 2,0),(2,2 2,1),cos,sin,1111|OG DSDDSOGDS 所以直线 SD 与平面 SAB 所成的角为22arcsin.1161、(湖北省荆州市 2008 届高中毕业班质量检测)如图：在三棱锥PABC中，PB 面ABC，ABC是直角三角形，90ABC，2ABBC，45PAB，点DEF、分别为ACABBC、的中点。求证：EFPD；求直线PF与平面PBD所成的角的大小；求二面角EPFB的正切值。解：连结BD。在ABC中，90ABCABBC，点D为AC的中点，BDAC又PB 面ABC，即BD为PD在平面ABC内的射影PDACEF、分别为ABBC、的中点/EFACEFPDPB 面ABC，PBEF连结BD交EF于点O，,EFPB EFPD，EF 平面PBDFPO为直线PF与平面PBD所成的角，且EFPOPB 面ABC，,PBAB PBBC，又45PAB2PBAB，1242OFAC，225PFPBBF在Rt FPO中，10sin10OFFPOPF，10arcsin10FPO?F?E?D?C?B?A?P?P?M?O?F?E?D?C?B?Ahttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网过点B作BMPF于点F，连结EM，,ABPB ABBC，AB 面PBC，即BM为EM在平面PBC内的射影EMPF，EMB为二面角EPFB的平面角Rt PBF中，25PB BFBMPF，5tan2EBEMBBM（其他解法根据具体情况酌情评分）62、(湖北省随州市 2008 年高三五月模拟)如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，,ABAC PAABCD 平面，且PAAB,点E是PD的中点。求证：ACPB；求证：PBAEC平面；求二面角EACB的大小。63、(湖北省武汉市武昌区 2008 届高中毕业生元月调研测试)如图,四棱锥ABCDP 的底面是边长为a?A?B?P?D?C?EABCDPhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网的菱形,60DAB,PD平面ABCD,ADPD.（）求直线 PB 与平面 PDC 所成的角的正切值;（）求二面角 APBD 的大小.解解：（）取 DC 的中点 E.ABCD是边长为a的菱形,60DAB，BECD.PD平面ABCD,BE平面ABCD，PDBE.BE平面 PDC.BPE 为求直线 PB 与平面 PDC 所成的角.3 分BE=32a，PE=52a,tanBPE=BEPE=155.6 分（）连接 AC、BD 交于点 O，因为 ABCD 是菱形，所以 AOBD.PD平面ABCD,AO平面ABCD，AO PD.AO平面 PDB.作 OFPB 于 F，连接 AF，则 AFPB.故AFO 就是二面角 APBD 的平面角.9 分AO=32a，OF=24a，tanAOAFOOF=6.AFO=arctan6.12 分64、(湖南省十二校 2008 届高三第一次联考)已知在四棱锥 P 一 ABCD 中，底面 ABCD是矩形，PA平面 ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F 分别是 AB、PD 的中点（）求证：AF平面 PEC；（）求 PC 与平面 ABCD 所成角的大小；（）求二面角 P 一 EC 一 D 的大小解：（）取 PC 的中点 O，连结 OF、OEFODC，且 FO=12DCFOAE 2 分又 E 是 AB 的中点且 AB=DCFO=AE四边形 AEOF 是平行四边形AFOE又 OE平面 PEC，AF平面 PECAF平面 PEC（）连结 ACPA平面 ABCD，PCA 是直线 PC 与平面 ABCD 所成的角6 分在 RtPAC 中，15tan55PAPCAAC即直线 PC 与平面 ABCD 所成的角大小为5arctan59 分?P?A?D?B?C?F?Ehttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网（）作 AMCE，交 CE 的延长线于 M连结 PM，由三垂线定理得 PMCEPMA 是二面角 PECD 的平面角11 分由AMECBE，可得22AM，tan2PAPMAAM二面角 P 一 EC 一 D 的大小为arctan213 分解法二：以 A 为原点，如图建立直角坐标系，则 A（00，0），B（2，0，0），C（2，l，0），D（0，1，0），F（0，12，12），E（1，0，0），P（0，0，1）（）取 PC 的中点 O，连结 OE，则 O（1，12，12），1 11 1(0,),(0,)2 22 2AFEO AFEO 5 分又 OE平面 PEC，AF平面 PEC，AF平面 PEC 6 分（）由题意可得(2,1,1)PC ，平面 ABCD 的法向量(0,0,1)PA 16cos,6|6PA PCPA PCPA PC 即直线 PC 与平面 ABCD 所成的角大小为26arccos69 分（）设平面 PEC 的法向量为(,),(1,0,1),(1,1,0)mx y z PEEC 则00m PEm EC ，可得00 xzxy，令1z ，则(1,1,1)m 11 分由（2）可得平面 ABCD 的法向量是(0,0,1)PA 13cos,3|3m PAm PAm PA 二面角 P 一 EC 一 D 的大小为3arccos313 分65、(湖南省长沙市一中 2008 届高三第六次月考)在直三棱柱111CBAABC 中，A1A=AB=32，AC=3，http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网PCAB,90、Q 分别为棱 BB1、CC1上的点，且1132,31CCCQBBBP.（1）求平面 APQ 与面 ABC 所成的锐二面角的大小.（2）在线段 A1B（不包括两端点）上是否存在一点 M，使 AM+MC1最小？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由.解：（1）建立如图所示空间直角坐标系 A),(zyxA（0，0，0），P（32，0，2），Q（0，3，22）.设平面 APQ 的一个法向量为),(1zyxn.02230.0223011zyAQnzxAPn令3z，则)3,22,1(,22,11nyx平面 ABC 的一个法向量).1,0,0(2n.229813),cos(21nn平面 APQ 与面 ABC 所成的锐角大小为 45.（6 分）（1）问也用传统方法求解.（并参照计分）（2）沿 A1B 将面 A1BC1与面 A1BA 展开，连结 AC1与 A1B 交于点 M，此时 AM+MC1有最小值.,45,90111ABAABAAABA又 C1A1面 ABB1A1，C1A1A1B.AA1C1中，AA1C1=135AC1=.5318918135cosCA211112121AACAAA存在点 M，使 AM+AC1取最小值为.53（12 分）66、(湖南省雅礼中学 2008 年高三年级第六次月考)如图，棱柱 ABCDA1B1C1D1的所有棱长都等于 2，ABC=60，平面 AA1C1C平面 ABCD，A1AC=60。（）证明：BDAA1；（）求二面角 DA1AC 的平面角的余弦值；（）在直线 CC1上是否存在点 P，使 BP/平面 DA1C1？若存在，求出点 P 的位置；若不存在，说明理由。解：解：连接 BD 交 AC 于 O，则 BDAC，连接 A1O在AA1O 中，AA1=2，AO=1，http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网A1AO=60A1O2=AA12+AO22AA1Aocos60=3AO2+A1O2=A12A1OAO，由于平面 AA1C1C平面 ABCD，所以 A1O底面 ABCD以 OB、OC、OA1所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则 A（0，1，0），B（3，0，0），C（0，1，0），D（3，0，0），A1（0，0，3）2 分（）由于)0,0,32(BD)3,1,0(1AA则00301)32(01BDAABDAA14 分（）由于 OB平面 AA1C1C平面 AA1C1C 的法向量)0,0,1(1n设2n平面 AA1D则),(2212zyxnADnAAn设得到)1,3,1(03032nyxzy取6分55|,cos212121nnnnnn所以二面角 DA1AC 的平面角的余弦值是558 分（）假设在直线 CC1上存在点 P，使 BP/平面 DA1C1设),(,1zyxPCCCP则)3,1,0(),1,(zyx得)3,1,3()3,1,0(BPP9 分设113CDAn平面则13113DAnCAn设),(3333zyxn 得到)1,0,1(033023333nzxy不妨取10 分又因为/BP平面 DA1C1则3n10330得即BP即点 P 在 C1C 的延长线上且使 C1C=CP12 分67、(湖南省岳阳市 2008 届高三第一次模拟)如图，在四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 是正三http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网角形，且与底面 ABCD 垂直，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，BAD60，N 是 PB 中点，截面 DAN 交 PC 于 M.（）求 PB 与平面 ABCD 所成角的大小；（）求证：PB平面 ADMN；（）求以 AD 为棱，PAD 与 ADMN 为面的二面角的大小.解：解法一：（I）取 AD 中点 O，连结 PO，BO.PAD 是正三角形，所以 POAD，又因为平面 PAD平面 ABCD，所以 PO平面 ABCD，BO 为 PB 在平面 ABCD 上的射影，所以PBO 为 PB 与平面 ABCD 所成的角由已知ABD 为等边三角形，所以 POBO3，所以 PB 与平面 ABCD 所成的角为 45.（）ABD 是正三角形，所以 ADBO，所以 ADPB，又，PAAB2，N 为 PB 中点，所以 ANPB，所以 PB平面 ADMN.（）连结 ON，因为 PB平面 ADMN，所以 ON 为 PO 在平面 ADMN 上的射影，因为 ADPO，所以 ADNO，故PON 为所求二面角的平面角.因为POB 为等腰直角三角形，N 为斜边中点，所以PON45，即所求二面角的大小为 45解法二：（）同解法一（）因为 PO平面 ABCD，所以 POBO，ABD 是正三角形，所以 ADBO，以 O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，由已知 O（0，0，0），B（0，3，0，），P（0，0，3），A（1，0，0），D（1，0，0），N（0，23,23），所以(2,0,0),(0,3,3),ADBP 33(1,)22AN ，所以0,0BPANBPAD，所以 ADPB，ANPB，所以 PB平面 ADMN，（）因为 ADPB，ADBO，所以 AD平面 POB，所以 ONAD，http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网又 POAD，所以故PON 为所求二面角的平面角.因为)23,23,0(),3,0,0(ONOP设所求二面角为，则2226323|cosONOPONOP，所以45，即所求二面角的大小为 45.68、(湖南省株洲市 2008 届高三第二次质检)如图，已知平行六面体1111DCBAABCD 的底面为正方形，OO、1分别为上、下底面中心，且1A在底面ABCD上的射影为O，（1）求证：平面DCO1平面ABCD；（2）若点E、F分别在棱1AA、BC上，且12EAAE，问点F在何处时，ADEF？（3）若0160ABA，求二面角BAAC1的大小解法一：（1）证明:建立空间直角坐标系如图所示，设地面正方形的边长为 a，hOA 1，则)0,0,22(),0,0(,)0,0,22(1aC，hAaA，由11OAAO，得),0,22(1haO),0,0(1hCO 1CO平面ABCD又1CO平面DCO1，平面DCO1平面ABCD4分（2）由（1）及12EAAE，得)0,22,0(),0,22,0(),32,0,62(aBaDhaE设FCBF，则)0,122,122(aaF，)32,122,62122(haaaEF)0,22,22(aaAD由ADEF 0ADEF21FCBF21 8 分（3）由0160ABA，ah22从 而)0,22,22(aaAB，)22,0,22(1aaAAA1B1C1D1ABCDOEFO1ABCDABCDOEFOxyzhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网设)1,(1yxn 是 平 面1BAA的 一 个 法 向 量，则00111nAAnAB)1,1,1(111nyx又平面1CAA的一个法向量为)0,1,0(2n31,cos212121nnnnnn所 求 二 面 角 的 大 小 为33arccos12 分解法二：用欧氏几何推证的方法也可以解决。（略）69、(吉林省吉林市 2008 届上期末)如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1=5，AC=BC=2，C=90，点 D 是 A1C1的中点.（1）求证：BC1/平面 AB1D；（2）求二面角 A1B1DA 的正切值.（1）证明：连结 A1B 交 AB1于点 O，连结 OD点 D 是 A1C1的中点，点 O 是 A1B 的中点，ODBC12 分又OD平面 A1B1C1，BC1平面 A1B1C1BC1平面 AB1D 5 分（2）过点 A1作 A1E 垂直 B1D 交 B1D 延长于点 E，连结 AEABCA1B1C1是直三棱柱A1A平面 A1B1C1又A1EB1DAEB1DAEA1是二面角 AB1DA1的平面角 9 分55252152,9011EADBBCACC255525tan1AEA12 分解法二：利用空间向量法（略）70、(吉林省实验中学 2008 届高三年级第五次模拟考试)如图，正三棱柱111CBAABC 中，D是BC的中点，11 ABAA（）求证：CA1平面DAB1；（）求二面角DABB1的大小。解法一：（）证明：连接。，连接设DEEABBABA111,ABC，是正三棱柱，且ABAACBA1111http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网是正方形，四边形11ABBA的中点，是的中点，又是BCDBAE1DECA1。3 分，平面，平面DABCADABDE111CA1平面DAB15 分（）解：在平面内作，在面于点内作11ABBAFABDFABC。，连接于DGGABFG1，平面，平面平面1111ABBADFABCABBA1111ABDGABFGABBADGFG，上的射影，在平面是BFGD是二面角1AB的平面角D8 分设43,11DFABCABAA中，在正。在36tan82343FGDFFGDDFGRtBEFGABE中，在中，所以，二面角B1ABD的大小为36arctan。12 分解法二：建立空间直角坐标系Dxyz，如图，（）证明：连接，设EABBABA111,连接DE。设11 ABAA则），（），（12300001AD），（），（0021214341CE），（），（214341123211DECACADECA112DE。3 分http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网CADABCADABDE1111，平面，平面平面DAB15 分（）解：)1,0,21()0,23,0(),1,0,21(),0,23,0(11DBADBA设0,0),(11111DBnADnDABrqpn且的法向量，则是平面故);1,0,2(,1.021,0231nrrpq得取同理，可求得平面)0,1,3(21nBAB的法向量是。9 分设二面角B1ABD的大小为515cos2121nnnnB二面角1ABD的大小为515arccos。12 分71、(江苏省常州市北郊中学 2008 届高三第一次模拟检测)如图，正三棱柱 ABCA1B1C1中，AB=2，AA1=1，D 是 BC 的中点，点 P 在平面 BCC1B1内，PB1=PC1=.2（1）求证：PA1BC；（2）求证：PB1/平面 AC1D；（3）求11AADCV解：（1）证明：取 B1C1的中点 Q，连结 A1Q，PQ，B1C1A1Q，B1C1PQ，B1C1平面 AP1Q，B1C1PA1，BCB1C1，BCPA1.（2）连结 BQ，在PB1C1中，PB1=PC1=2，B1C1=2，Q 为中点，PQ=1，BB1=PQ，BB1PQ，四边形 BB1PQ 为平行四边形，PB1BQ.BQDC1，PB1DC1，http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网PBCDA?A?B?D?C?P?F?B?D?C?P?MB1C1A1C又PB1面 AC1D，PB1平面 AC1D.（3）11AADCV=3672、(江苏省南京市 2008 届高三第一次调研测试)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，CD/AB,ADAB,AD=DC=12AB,BCPC（1）求证：PABC；（2）试在线段 PB 上找一点 M，使 CM/平面 PAD，并说明理由解：（1）连AC，在四边形 ABCD 中，CDADABCDABAD,|,设aAD，,21ABDCADaABaCD2,在ADC中，90ADC，aACDACDCADCAD2,45,在ACB中，45,2,2CABaACAABaCABABCOSACABACBC222222ABBCAC，BCAC 3 分又CPCACPACPCPACACPCBC,平面平面，PACBC平面5 分BCPAPACPA,平面7 分(2)当M为PB的中点时，PADCM平面|8 分取AP的中点F，连结.,DFFMCM则ABFMABFM21,|CDFMCDFMABCDABCD.|,21,|是平行四边形四边形CDFM，DFCD|12 分PADDF平面，PADCM平面，PADCM平面|14 分73、(江苏省南京市 2008 届高三第一次调研测试)如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，AB=2，AB1BC1http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网?O1?A1?B?C?A?B1?O?C1?y?z?x（1）求 BB1的长；（2）求二面角 A1AB1C1的余弦值解：（1）分别取11,BAAB中点1,OO，连结1,COCO在正三棱柱111CBAABC 中，四边形11AABB为矩形，ABCAA平面11,OO分别为11,BAAB中点，11|AAOO，ABOO 1ABC为正三角形，O为AB中点ABCCOABCAAABCO平面平面又,1，111AABBCO，AACO平面1OOCO 分别以OB，OC，1OO所在直线为轴轴轴，Z，yx建立如图的空间直角坐标系2 分设hBB 1，),3,0(),0,0,1(),0,1(),0,0,1(,211hCBhBAAB),0,2(1hAB，),3,1(1hBC11BCAB 011BCAB即：030)1(2hh2h即：21BB5 分（2）1111,AABCOAABBCO平面即平面11AAB平面的一个法向量是)0,3,0(OC7 分设平面11CAB的法向量为),(cban)2,3,1(),20,2(11ACAB，又nACnAB11023022cbaca解得：acab333不妨设3a，则平面11CAB的一个法向量)2,3,3(n10 分http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网ABCDD1C1B1A11010303)23(03330|,cosnOCnOCnoc二面角111CABA的余弦值是101074、(江苏省南通市 2008 届高三第二次调研考试)直棱柱1111ABCDABC D中，底面 ABCD 是直角梯形，BADADC90，222ABADCD（）求证：AC平面 BB1C1C；（）在 A1B1上是否存一点 P，使得 DP 与平面 BCB1与平面 ACB1都平行？证明你的结论证明：（）直棱柱1111ABCDABC D中，BB1平面 ABCD，BB1AC 2 分又BADADC90，222ABADCD，2AC，CAB45，2BC，BCAC5 分又1BBBCB，1,BB BC 平面 BB1C1C，AC平面 BB1C1C7分（）存在点 P，P 为 A1B1的中点 8 分证明：由 P 为 A1B1的中点，有 PB1AB，且 PB112AB9 分又DCAB，DC12AB，DC PB1，且 DCPB1，DC PB1为平行四边形，从而 CB1DP11 分又 CB1面 ACB1，DP面 ACB1，DP面 ACB113 分同理，DP面 BCB114 分评讲建议：本题主要考查线面平行、垂直的的判定和证明等相关知识，第一小题要引导学生挖掘直角梯形 ABCD 中 BCAC，第二小题，要求学生熟练掌握一个常用结论：若一直线与两相交平面相交，则这条直线一定与这两平面的交线平行；同时注意问题的逻辑要求和答题的规范性，这里只需要指出结论并验证其充分性即可，当然亦可以先探求结论，再证明之，这事实上证明了结论是充分且必要的变题：求证：（1）A1BB1D；（2）试在棱 AB 上确定一点 E，使 A1E平面 ACD1，并说明理由75、(江苏省前黄高级中学 2008 届高三调研)在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E、F 分别是 BB1、CD 的中点（1）求证 AED1F；（2）证明平面 AED平面 A1FD1解：（1）取 AB 的中点