高三数学第3讲函数的单调性与最值专题辅导.doc
第3讲函数的单调性与最值1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f (x )在区间D上是减函数图象描述自左向右图象是上升的自左向右图象是下降的(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间2函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件.对于任意xI，都有f(x)M；对于任意xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M存在x0I，使得f(x0)M.结论M为最大值M为最小值3函数单调性的判断(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数(3)导数法：利用导数研究函数的单调性(4)图象法：利用图象研究函数的单调性（5）单调性法：利用已知函数的和、差；4一个防范函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制例如函数y分别在(，0)，(0，)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(，0)(0，)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(，0)和(0，)，不能用“”连接A级1(2012·广东高考)下列函数中，在区间(0，)上为增函数的是()Ayln(x2)By Cyx Dyx2若函数f(x)4x2mx5在2，)上递增，在(，2上递减，则f(1)()A7 B1 C17 D253(2013·佛山月考)若函数yax与y在(0，)上都是减少的，则yax2bx在(0，)上是()A增加的 B减少的 C先增后减 D先减后增4给定函数yx；ylog(x1)；y|x1|；y2x1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是()A B C D5(2012·青岛模拟)已知奇函数f(x)对任意的正实数x1，x2(x1x2)，恒有(x1x2)(f(x1)f(x2)>0，则一定正确的是()Af(4)>f(6) Bf(4)<f(6) Cf(4)>f(6) Df(4)<f(6)6(2012·丹东模拟)下列区间中，函数f(x)|ln(2x)|的单调递增区间是()A(，1 B. C. D1,2)7函数y(x3)|x|的递增区间是_8(2012·台州模拟)若函数y|2x1|，在(，m上单调递减，则m的取值范围是_9若f(x)在区间(2，)上是增加的，则a的取值范围是_10已知f(x)(xa)(1)若a2，试证f(x)在(，2)内单调递增；(2)若a>0且f(x)在(1，)内单调递减，求a的取值范围10解：(1)证明：设x1<x2<2，则f(x1)f(x2).(x12)(x22)>0，x1x2<0，f(x1)<f(x2)，f(x)在(，2)内单调递增(2)设1<x1<x2，则f(x1)f(x2).a>0，x2x1>0，要使f(x1)f(x2)>0，只需(x1a)(x2a)>0恒成立，a1.综上所述a的取值范围是(0,111已知函数f(x)对于任意x，yR，总有f(x)f(y)f(xy)，且当x>0时，f(x)<0，f(1).(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值11解：(1)证明：法一：函数f(x)对于任意x，yR，总有f(x)f(y)f(xy)，令xy0，得f(0)0.再令yx，得f(x)f(x)在R上任取x1>x2，则x1x2>0，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)，又x>0时，f(x)<0.而x1x2>0，f(x1x2)<0，即f(x1)<f(x2)因此f(x)在R上是减函数法二：在R上任取x1，x2，且x1>x2，则f(x1)f(x2)f(x1x2x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2)又x>0时，f(x)<0，而x1x2>0，f(x1x2)<0，即f(x1)<f(x2)因此f(x)在R上是减函数(2)f(x)在R上为减函数，f(x)在3,3上是减少的，f(x)在3,3上的最大值为f(3)，最小值为f(3)，而f(3)f(12)f(1)f(2)f(1)f(11)f(1)f(1)f(1)3f(1)2.0f(0)f(33)f(3)f(3)，f(3)f(3)2，因此，f(x)在3,3上的最大值为2，最小值为2.B级1设函数f(x)定义在实数集上，f(2x)f(x)，且当x1时，f(x)ln x，则有()Af<f(2)<f Bf<f(2)<f Cf<f<f(2) Df(2)<f<f2(2012·黄冈模拟)已知函数y的最大值为M，最小值为m，则的值为()A. B. C. D.3(2012·保定一中质检)已知f(x)为R上的减函数，则满足f<f(1)的实数x的取值范围是()A(1,1) B(0,1) C(1,0)(0,1) D(，1)(1，)4(2011·江苏)函数f(x)log5(2x1)的单调增区间是_5若x0，则x的最小值为_6 当x(1,2)时，不等式x2mx4<0恒成立，则m的取值范围是_6法一当x(1,2)时，不等式x2mx4<0可化为：m<，又函数f(x)在(1,2)上递增，则f(x)>5，则m5.法二设g(x)x2mx4当，即m3时，g(x)g(2)82m，当，即m3时，g(x)g(1)5m由已知条件可得：或解得m5答案(，5答 案A级1选A选项A的函数yln(x2)的增区间为(2，)，所以在(0，)上一定是增函数2选D依题意，知函数图像的对称轴为x2，即 m16，从而f(x)4x216x5，f(1)416525.3选Byax与y在(0，)上都是减函数，a<0，b<0，yax2bx的对称轴方程x<0，yax2bx在(0，)上是减少的4选Byx在(0,1)上单调递增，ylog (x1)在(0,1)上单调递减，y|x1|在(0,1)上单调递减，y2x1在(0,1)上单调递增5选C由(x1x2)(f(x1)f(x2)>0知f(x)在(0，)上递增，所以f(4)<f(6)f(4)>f(6)6选D由2x>0，得x<2，即函数定义域是(，2)作出函数y|ln(x)|的图像，再将其向右平移2个单位，即得函数f(x)|ln(2x)|的图像，由图像知f(x)在1,2)上为增加的7解析：y(x3)|x|作出该函数的图像，观察图像知递增区间为.答案：8解析：画出图像易知y|2x1|的递减区间是(，0，依题意应有m0.答案：(，09解析：设x1>x2>2，则f(x1)>f(x2)，即f(x1)f(x2)>0，则2a1>0.得a>.答案：B级1选C由f(2x)f(x)可知，f(x)的图像关于直线x1对称，当x1时，f(x)ln x，可知当x1时f(x)为增加的，所以当x<1时f(x)为减少的，因为<<|21|，所以f<f<f(2)2选C显然函数的定义域是3,1且y0，故y2424242，可得4y28，故2y2，即m2，M2，所以.3解析由已知条件：>1，不等式等价于解得1<x<1，且x0.答案C4解析要使ylog5(2x1)有意义，则2x10，即x，而ylog5u为(0，)上的增函数，当x时，u2x1也为增函数，故原函数的单调增区间是.答案5解析x0，则x2 2 当且仅当x，即x 时，等号成立，因此x的最小值为2 .5
