福建省南安第一中学2016届高三数学上学期期中试题理.doc

南安一中20152016学年度上学期期中考高三数学理科试卷第卷（选择题 共60分）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）复数满足，则复数在复平面内对应的点在（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限（2）已知集合，集合，则（A） （B） （C） （D）（3）已知是上的奇函数，当时，则当时，（A） （B） （C） （D）（4）中，“”是“”的（A）充要条件 （B）充分不必要条件 （C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件（5）已知角的始边与轴非负半轴重合，终边在直线上，则（A） （B） （C） （D） （6）设，则（A） （B） （C） （D）（7）已知函数，且的图象关于点对称，则函数的图象的一条对称轴是（A） （B） （C） （D）xy（8）有一个函数的图象如图所示，则这个函数可能是下列哪个函数（A） （B） （C） （D）（9）若是所在平面内任意一点，且满足，则一定是（A） 等边三角形 （B）等腰三角形 （C）直角三角形 （D）等腰直角三角形（10）已知函数，则在下列区间中，函数不存在零点的是（A） （B） （C） （D）（11）一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个正三棱柱的体积为，那么这个球的体积是（A） （B） （C） （D）（12）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（A） （B） （C） （D） 第卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分第（13）题第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答第（22）题第（24）题为选考题，考生根据要求作答二填空题：本大题共4小题，每小题5分13定义在上的奇函数满足，则= 14 15如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个底面为正三角形的三棱柱的正视图，则三棱柱侧面积的取值范围为 16有一道解三角形的题目因纸张破损而使得有一个条件看不清，具体如下：在中， 分别是角的对边已知， ，且，求角现知道破损缺少的条件是三角形的一个边长，且该题答案为，试将条件补充完整（必须填上所有可能的答案）三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）（本小题满分12分）已知分别为三个内角的对边，且，边上的垂直平分线交边于点（）求的大小；（）若，且的面积为，求边的值（18）（本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，侧面为等边三角形，且与底面垂直，为的中点（）求证：；（）求直线与平面所成角的正弦值 （19）（本小题满分12分）已知函数.（）当时，求函数在处的切线方程；（）若函数没有零点，求实数的取值范围；（）若函数恰有一个零点，试写出实数的取值范围（不必写出过程）（20）（本小题满分12分） 如图，三棱柱中，分别为和的中点，侧面为菱形且，（）证明：直线平面；（）求二面角的余弦值（21）（本小题满分12分）设函数，（）证明：；（）若对所有的，都有，求实数的取值范围请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑（22）（本小题满分10分）选修：几何证明选讲 题目略，得分略（23）（本小题满分10分）选修：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线的方程为，点，以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位（）求曲线的直角坐标方程及点的直角坐标；（）设为曲线上一动点，以为对角线的矩形的一边垂直于极轴，求矩形周长的最小值及此时点的直角坐标（24）（本小题满分10分）选修：不等式选讲已知函数，（）解不等式；（）若对任意，都有，使得成立，求实数的取值范围 南安一中20152016学年度上学期期中考高三数学理科参考答案一选择题：（1）B 【解析】 ， z对应的点为，在第二象限（2）B 【解析】， ， 选B（3）B 【解析】，（4）A 【解析】由三角形中大边对大角和正弦定理，故选A（5）D 【解析】终边在上，故（6）A 【解析】，故故选A（7）B 【解析】关于对称，又周期，对称轴是，即，当时，故选B（8）A 【解析】函数图象过原点，所以D排除；当时函数是负数，C函数原点左侧为正数，所以C排除；B函数有无数多个零点，且所以B排除，而A都满足，故选A（9）C 【解析】设为中点， ，为直角三角形故选C（10）D 【解析】 由和图像可知，两图象在无交点故选D（11）B 【解析】球与正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，故球心在底面的射影为底面的中心，设正三棱柱底面边长为，高为，则，即，故正三棱柱的体积， ，故球的体积为，故选B（12）B 【解析】如图，由三视图可知该几何体是一个底面为直角梯形的四棱锥 其中底面，经计算知最长棱为故选B二填空题：（13） 【解析】根据题意有，从而求得函数是周期函数，且周期为，所以，所以（14） 【解析】（15） 【解析】三棱柱的侧面积随侧棱与底面的夹角的增加而减小，当且仅当三棱柱是正三棱柱时，侧面积最小为6，故侧面积的取值范围是（16） 【解析】由 即 ，又， ，由正弦定理， ， 但时，则原题设为：，可求得有两个值，不合题意，舍去时，经检验，符合题意三解答题：（17）【解析】 （）， , 即 ， 6分（）由， ， 8分 在中， 10分 ， 12分（18）【解析】 由底面为菱形且，是等边三角形，取中点，有， 为二面角的平面角， 分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系如图， 则 3分（）由为中点， 6分（）由， 平面的法向量可取 9分， 设直线与平面所成角为，则 12分（19）【解析】 （）当时， 切线斜率，又切点， 切线方程为 即 5分（）， 记 由 得 ， 8分的情况如下表：单调递增极大值单调递减 又 时，；时，若没有零点，即的图像与直线无公共点，由图像知的取值范围是 10分（），若恰有一个零点，则的取值范围是或 12分xyz（20）【解析】 ，且为中点， ，又 ， ，又 ，平面， 取中点，则，即两两互相垂直，以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系如图， 3分 4分（）设平面的法向量为 ，则，取， ， ，又平面， 直线平面 7分（）设平面的法向量为， ， 取， 9分 又由（）知平面的法向量为，设二面角为， 10分 二面角为锐角， 二面角的余弦值为 12分（21）【解析】 （）令， ，由 在递减，在递增， 即 成立 5分（） 记， 在恒成立， ， ， 在递增， 又， 7分 当 时，成立， 即在递增， 则，即 成立； 9分 当时，在递增，且， 必存在使得则时， 即 时，与在恒成立矛盾，故舍去 综上，实数的取值范围是 12分（22） 解析略（23）【解析】 （）由， 曲线的直角坐标方程为，点的直角坐标为 4分（） 曲线的参数方程为（ 为参数， ）， 设，如图，依题意可得： ， 6分 矩形周长， 8分 当时，周长的最小值为此时，点的坐标为 10分（24）【解析】 （） 即 ， 即 ， 即 ， 不等式的解为 4分 （）对任意，都有，使得成立， ， 6分 又 ， 8分 ， 解得 ， 实数的取值范围是 10分10