2014届高三数学一轮复习 （教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练）专讲专练 9.8　直线与圆锥曲线的位置关系.doc

2014届高三数学一轮复习专讲专练（教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练）：9.8直线与圆锥曲线的位置关系1(2013·郓城实验中学期末)已知对kR，直线ykx10与椭圆1恒有公共点，则实数m的取值范围是()A(0, 1)B(0,5)C1,5)(5，) D1,5)解析：直线ykx1过定点(0,1)，只要(0,1)不在椭圆1外部即可从而m1，又因为椭圆1中m5，所以m的取值范围是1,5)(5，). 答案：C2直线l：yx3与曲线1交点的个数为()A0 B1 C2 D3解析：当x0时，曲线为1；当x0时，曲线为1，如图所示，直线l：yx3过(0,3)，又由于双曲线1的渐近线yx的斜率1，故直线l与曲线1(x0)有两个交点，显然l与半椭圆1(x0)有两个交点，(0,3)记了两次，所以共3个交点. 答案：D3已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是()A(1,2) B(1,2)C(2，) D2，)解析：过F的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则其斜率为正的渐近线的倾斜角应不小于l的倾斜角，已知l的倾斜角是60°，从而，故2. 答案：D4斜率为1的直线l与椭圆y21交于不同两点A、B，则|AB|的最大值为()A2 B.C. D.答案：C5设离心率为e的双曲线C：1(a0，b0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是()Ak2e21 Bk2e21Ce2k21 De2k21解析：由双曲线的图象和渐近线的几何意义，可知直线的斜率k只需满足k，即k2e21.答案：C6(2013·绍兴调研)已知双曲线1(a0，b0)，M，N是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上的动点，且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，k1k20，若|k1|k2|的最小值为1，则双曲线的离心率为()A. B. C. D.解析：设M(x0，y0)，N(x0，y0)，P(x，y)则k1，k2.又M、N、P都在双曲线1上，b2(x2x)a2(y2y).|k2|，即|k1|·|k2|.又|k1|k2|2.1，即4b2a2.4(c2a2)a2，即4c25a2.，即e2，e.答案：B二、填空题7过椭圆1(ab0)的左顶点A作斜率为1的直线，与椭圆的另一个交点为M，与y轴的交点为B.若AMMB，则该椭圆的离心率为_解析：如图，直线AB斜率为1，且AMMB，故M的坐标为(，)，代入椭圆的方程1得1，即a23b23(a2c2)，3c22a2，e2，e. 答案：8(2013·长沙一中期末)已知F是抛物线C：y24x的焦点，过F且斜率为的直线交C于A，B两点设|FA|FB|，则|FA|与|FB|的比值等于_解析：如图，抛物线的准线设为l，D为x轴上F右侧一点，AA1l，BB1l，垂足分别为A1和B1，由抛物线定义得|FA|AA1|，|FB|BB1|.又AB斜率为，倾斜角AFD60°，在梯形AA1B1B中，BAA160°，|AB|2(|AA1|BB1|)，即|FA|FB|2(|FA|FB|)，得|FA|3|FB|. 答案：39直线l：ykx1与双曲线C：x2y21有且仅有一个公共点，则k_.解析：由得(1k2)x22kx20.当1k20即k±1时，方程组有唯一解，满足题意；当1k20，4k28(1k2)0，即k±时，方程组有唯一解，也满足题意. 答案：±1或±三、解答题10(2013·安徽联考)已知i，j是x，y轴正方向的单位向量，设axi(y1)j，bxi(y1)j，且满足|a|b|2.(1)求点P(x，y)的轨迹C的方程；(2)设点F(0,1)，点A，B，C，D在曲线C上，若与共线，与共线，且·0.求四边形ACBD的面积的最小值和最大值解析：(1)|a|b|2，2.由椭圆的定义可知，动点P(x，y)的轨迹是以点F1(0，1)，F2(0,1)为焦点，以2为长轴的椭圆点P(x，y)的轨迹C的方程为：x21.(2)由条件知AB和CD是椭圆的两条弦，相交于焦点F(0,1)，且ABCD，直线AB、CD中至少有一条存在斜率，不妨设AB的斜率为k，又AB过点F(0,1)，故AB的方程为ykx1，将此式代入椭圆方程得(2k2)x22kx10，设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1，x2，从而|AB|2(x1x2)2(y1y2)2，亦即|AB|.当k0时，CD的斜率为，同上可推得|CD|，故四边形ABCD面积S|AB|CD|×.令uk2，得S2.uk22，当k±1时u2，S，且S是以u为自变量的增函数，S2.当k0时，CD为椭圆长轴，|CD|2，|AB|，S|AB|CD|2.故四边形ABCD面积的最小值和最大值分别为，2.11(2012·辽宁)如图，椭圆C0：1(ab0，a，b为常数)，动圆C1：x2y2t，bt1a.点A1，A2分别为C0的左，右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点(1)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；(2)设动圆C2：x2y2t与C0相交于A，B，C，D四点，其中bt2a，t1t2.若矩形ABCD与矩形ABCD的面积相等，证明：tt为定值解析：(1)设A(x1，y1)，B(x1，y1)，又知A1(a,0)，A2(a,0)，则直线A1A的方程为y(xa)，直线A2B的方程为y(xa)由得y2(x2a2)由点A(x1，y1)在椭圆C0上，故1，从而yb2，代入得1(xa，y0)(2)设A(x2，y2)，由矩形ABCD与矩形ABCD的面积相等，得4|x1|y1|4|x2|y2|，故xyxy.因为点A，A均在椭圆上，所以b2xb2x.由t1t2，知x1x2，所以xxa2，从而yyb2，因此tta2b2为定值12(2012·湖南)在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x5)2y29外，且对C1上任意一点M，M到直线x2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值(1)求曲线C1的方程；(2)设P(x0，y0)(y0±3)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于A，B和C，D.证明：当P在直线x4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值解析：(1)方法一：设M的坐标为(x，y)，由已知得|x2|3.易知圆C2上的点位于直线x2的右侧，于是x20，所以x5.化简得曲线C1的方程为y220x.方法二：由题设知，曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线x5的距离因此，曲线C1是以(5,0)为焦点，直线x5为准线的抛物线故其方程为y220x.(2)当点P在直线x4上运动时，P的坐标为(4，y0)，又y0±3，则过P且与圆C2相切的直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为yy0k(x4)，即kxyy04k0.于是3.整理得72k218y0ky90.设过P所作的两条切线PA，PC的斜率分别为k1，k2，则k1，k2是方程的两个实根故k1k2.由得k1y220y20(y04k1)0.设四点A，B，C，D的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，则y1，y2是方程的两个实根，所以y1y2.同理可得y3y4.于是由，三式得y1y2y3y46 400.所以，当P在直线x4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6 400.8