2014届高三数学（基础+难点）《第15讲 导数研究函数的最值、优化问题、方程与不等式课时训练卷 理 新人教A版.doc

第15讲导数研究函数的最值、优化问题、方程与不等式(时间：45分钟分值：100分)12013·韶关调研 函数yxex的最小值是()A1 Be C D不存在2f(x)x33x22在区间1，1上的最大值是()A2 B0 C2 D43某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间关系可近似地用如下函数给出：yt3t236t.则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是()A6时 B7时 C8时 D9时4已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为()A13万件 B11万件 C9万件 D7万件5一矩形铁皮的长为8 cm，宽为5 cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，盒子容积的最大值是()A12 cm3 B15 cm3 C18 cm3 D16 cm362013·湖南卷 设直线xt与函数f(x)x2，g(x)lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为()A1 B. C. D.72013·全国卷 已知函数yx33xc的图象与x轴恰有两个公共点，则c()A2或2 B9或3C1或1 D3或18已知正四棱锥SABCD中，SA2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为()A1 B. C2 D392013·辽宁卷 若x0，)，则下列不等式恒成立的是()Aex1xx2 B.1xx2Ccosx1x2 Dln(1x)xx210设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为_112013·厦门质检 设函数f(x)，g(x)，对任意x1，x2(0，)，不等式恒成立，则正数k的取值范围是_12某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为P元，则销售量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q8 300170PP2.则该商品零售价定为_时，毛利润L最大，最大毛利润是_(毛利润销售收入进货支出)13将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S，则S的最小值是_14(10分)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位： cm)满足关系：C(x)(0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值15(13分)2013·河北重点中学联考 已知函数f(x)xlnx，g(x)x2ax2.(1)求函数f(x)在t，t2(t0)上的最小值；(2)若函数yf(x)g(x)有两个不同的极值点x1，x2(x1x2)且x2x1ln2，求实数a的取值范围16(12分)已知函数f(x)lnx.(1)当a>0时，判断f(x)在定义域上的单调性；(2)若f(x)在1，e上的最小值为，求实数a的值；(3)试求实数a的取值范围，使得在区间(1，)上，函数yx2的图象恒在函数f(x)的图象的上方课时作业(十五)【基础热身】1C解析 y(x1)ex，令y0，得x1.因为x<1时y<0；x>1时y>0，所以x1时，ymin.2C解析 f(x)3x26x3x(x2)，令f(x)0可得x0或2(舍去)，当1x<0时，f(x)>0，当0<x1时，f(x)<0，所以当x0时，f(x)取得最大值2.3C解析 yt2t36(t12)(t8)，令y0得t12(舍去)或t8，当6t<8时，y>0，当8<t<9时，y<0，当t8时，y有最大值4C解析 因为yx281，所以当x>9时，y<0；当0<x<9时，y>0，所以函数yx381x234在(9，)上单调递减，在(0，9)上单调递增，所以x9是函数的极大值点又因为函数在(0，)上只有一个极大值点，所以函数在x9处取得最大值【能力提升】5C解析 设小正方形的边长为x cm，则盒子底面长为82x，宽为52x.V(82x)(52x)x4x326x240x，V12x252x40，由V0得x1或x(舍去)，则V极大值V(1)18，且在定义域内仅有一个极大值，V最大值18.6D解析 用转化的思想：直线xt与函数f(x)x2，g(x)lnx图象分别交于M，N，而的最小值，实际是函数F(t)t2lnt(t>0)时的最小值令F(t)2t0，得t或t(舍去)故t时，F(t)t2lnt有最小值，即达到最小值，故选D.7A解析 由f(x)3x233(x1)(x1)0x±1，结合f(x)的图象可知只要f(1)0或f(1)0即可，故解得c2或2，故选A.8C解析 设底面边长为a，则高h，所以体积Va2h.设y12a4a6，则y48a33a5，当y取最值时，y48a33a50，解得a0(舍去)或a4，故a4时体积最大，此时h2.9C解析 验证A，当x3时，e3>2.7319.68>133213，故排除A；验证B，当x时，而1××<，故排除B；验证C，令g(x)cosx1x2，g(x)sinxx，g(x)1cosx，显然g(x)>0恒成立，所以当x0，)时，g(x)g(0)0，所以x0，)时，g(x)cosx1x2为增函数，所以g(x)g(0)0恒成立，即cosx1x2恒成立；验证D，令h(x)ln(1x)xx2，h(x)1，令h(x)<0，解得0<x<3，所以当0<x<3时，h(x)<h(0)0，显然不恒成立故选C.10.解析 设底面边长为x，则高为h，S3×·x2×x2x2，Sx，令S0，得x.当0<x<时，S<0，当x>时，S>0，故当x时，S取得最小值11k1解析 k为正数，对任意x1，x2(0，)，不等式恒成立.由g(x)0得x1.x(0，1)，g(x)>0，x(1，)，g(x)<0，.同理f(x)0x，x，f(x)<0，x，f(x)>0，k>0k1.123023 000解析 由题意知L(P)P·Q20QQ(P20)(8 300170PP2)(P20)P3150P211 700P166 000，L(P)3P2300P11 700.令L(P)0，得P30或P130(舍)因为在P30附近的左侧L(P)>0，右侧L(P)<0，L(30)是极大值根据实际意义知，L(30)是最大值，此时L(30)23 000.即零售价定为每件30元时，有最大毛利润为23 000元13.解析 设DEx，由EDBC，ABC为正三角形，ADDEAEx，BDEC1x.过D作DFBC，DF(1x)，梯形的周长为BDDEECBC3x，梯形的面积为(x1)×(1x)(1x2)S(0<x<1)S，令S0，解得x或3(舍去)，0<x<，S<0，<x<1，S>0，x时，Smin.14解：(1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x).再由C(0)8，得k40，因此C(x).而建造费用为C1(x)6x.所以隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)20C(x)C1(x)20×6x6x(0x10)(2)f(x)6，令f(x)0，即6.解得x5或x(舍去)当0<x<5时，f(x)<0，当5<x<10时，f(x)>0，故x5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)6×570.故当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值为70万元15解：(1)由题意f(x)lnx10，得x.当0<t<时，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，此时函数f(x)在t，t2上的最小值为f.当t时，函数f(x)在t，t2上单调递增，此时函数f(x)在t，t2上的最小值为f(t)tlnt.(2)由题意yf(x)g(x)xlnxx2ax2，则ylnx2xa1，知ylnx2xa10有两个不同的实根x1，x2，等价于alnx2x1有两个不同的实根x1，x2，等价于直线ya与函数G(x)lnx2x1的图象有两个不同的交点由G(x)2，知G(x)在上单调递减，在上单调递增，画出函数G(x)图象的大致形状如图，由图易知，当a>G(x)minGln2时，x1，x2存在，且x2x1的值随a的增大而增大而当x2x1ln2时，由题意得两式相减可得ln2(x2x1)2ln2，得x24x1，代入x2x1ln2得x24x1ln2，此时实数aln2ln1，所以实数a的取值范围为a>ln2ln1.【难点突破】16解：(1)f(x)(x>0)当a>0时，f(x)>0恒成立，故f(x)在(0，)上是单调递增函数(2)由f(x)0得xa.当a1时，f(x)0在1，e上恒成立，f(x)在1，e上为增函数，f(x)minf(1)a，得a(舍)当ae时，f(x)0在1，e上恒成立，f(x)在1，e上为减函数，则f(x)minf(e)1，得a(舍)当e<a<1时，由f(x)0得x0a，当1<x<x0时，f(x)<0，f(x)在(1，x0)上为减函数；当x0<x<e时，f(x)>0，f(x)在(x0，e)上为增函数f(x)minf(a)ln(a)1，得a，综上知，a.(3)由题意得x2>lnx在(1，)上恒成立，即a>xlnxx3在(1，)上恒成立设g(x)xlnxx3(x>1)，则g(x)lnx3x21.令h(x)lnx3x21，则h(x)6x，当x>1时，h(x)<0恒成立h(x)g(x)lnx3x21在(1，)上为减函数，则g(x)<g(1)2<0，所以g(x)在(1，)上为减函数，g(x)<g(1)1，故a16