【创新设计】（浙江专用）2014届高考数学总复习 第9篇 第7讲 抛物线限时训练 理.doc

第7讲抛物线分层A级基础达标演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1(2012·青岛统测)已知抛物线x2ay的焦点恰好为双曲线y2x22的上焦点，则a()A1 B4 C8 D16解析据抛物线方程可得其焦点坐标为，双曲线的上焦点为(0,2)，据题意2，解得a8.答案C2点M(5,3)到抛物线yax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是()Ay12x2 By12x2或y36x2Cy36x2 Dyx2或yx2解析分两类a>0，a<0可得yx2，yx2.答案D3(2013·东北三校联考)若抛物线y22px(p>0)上一点P到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p的值为 ()A2 B18C2或18 D4或16解析设P(x0，y0)，则362p，即p220p360，解得p2或18.答案C4(2012·山东)已知双曲线C1：1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x22py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()Ax2y Bx2yCx28y Dx216y解析1的离心率为2，2，即4，.x22py的焦点坐标为，1的渐近线方程为y±x，即y±x.由题意，得2，p8.故C2：x216y，选D.答案D二、填空题(每小题5分，共10分)5设P是曲线y24x上的一个动点，则点P到点B(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值为_解析抛物线的顶点为O(0,0)，p2，准线方程为x1，焦点F坐标为(1,0)，点P到点B(1,1)的距离与点P到准线x1的距离之和等于|PB|PF|.如图，|PB|PF|BF|，当B，P，F三点共线时取得最小值，此时|BF|.答案6(2012·陕西)如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米水位下降1米后，水面宽_米解析如图建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x22py.由题意A(2，2)代入x22py，得p1，故x22y.设B(x，3)，代入x22y中，得x，故水面宽为2米答案2三、解答题(共25分)7(12分)设抛物线y22px(p0)的焦点为F，Q是抛物线上除顶点外的任意一点，直线QO交准线于P点，过Q且平行于抛物线对称轴的直线交准线于R点，求证：·0.证明y22px(p0)的焦点为F，准线为x.设Q(x0，y0)(x00)，则y2px0，R，直线OQ的方程为yx，此直线交准线x于P点，易求得P.··(p，y0)p2p2p20.8(13分)已知抛物线C：y22px(p0)过点A(1，2)(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由解(1)将(1，2)代入y22px，得(2)22p·1，所以p2.故所求的抛物线C的方程为y24x，其准线方程为x1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y2xt，由得y22y2t0.因为直线l与抛物线C有公共点，所以48t0，解得t.另一方面，由直线OA与l的距离d，可得，解得t±1.因为1，1，所以符合题意的直线l存在，其方程为2xy10.分层B级创新能力提升1设F为抛物线y24x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若0，则|()A9 B6 C4 D3解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，由于抛物线y24x的焦点F的坐标为(1,0)，由0，可得x1x2x33，又由抛物线的定义可得|x1x2x336.答案B2(2013·洛阳统考)已知P是抛物线y24x上一动点，则点P到直线l：2xy30和y轴的距离之和的最小值是()A. B. C2 D.1解析由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d|PF|1.易知d|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d|PF|的最小值为，所以d|PF|1的最小值为1.答案D3(2013·郴州模拟)设斜率为1的直线l过抛物线y2ax(a>0)的焦点F，且和y轴交于点A，若OAF(O为坐标原点)的面积为8，则a的值为_解析依题意，有F，直线l为yx，所以A，OAF的面积为××8.解得a±16，依题意，只能取a16.答案164(2012·重庆)过抛物线y22x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|，|AF|<|BF|，则|AF|_.解析设过抛物线焦点的直线为yk，联立得，整理得，k2x2(k22)xk20，x1x2，x1x2.|AB|x1x211，得，k224，代入k2x2(k22)xk20得，12x213x30，解之得x1，x2，又|AF|<|BF|，故|AF|x1.答案5(2012·温州十校联考)已知椭圆1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线yx2相切(1)求a与b；(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，直线l1过F2且与x轴垂直，动直线l2与y轴垂直，l2交l1于点P.求线段PF1的垂直平分线与l2的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型解(1)由e ，得.又由原点到直线yx2的距离等于椭圆短半轴的长，得b，则a.(2)法一由c1，得F1(1,0)，F2(1,0)设M(x，y)，则P(1，y)由|MF1|MP|，得(x1)2y2(x1)2，即y24x，所以所求的M的轨迹方程为y24x，该曲线为抛物线法二因为点M在线段PF1的垂直平分线上，所以|MF1|MP|，即M到F1的距离等于M到l1的距离此轨迹是以F1(1,0)为焦点，l1：x1为准线的抛物线，轨迹方程为y24x.6(2010·湖北)已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线C的方程；(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A、B的任一直线，都有·<0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由解(1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足x1(x>0)，化简得y24x(x>0)(2)设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)设l的方程为xtym，由得y24ty4m0，16(t2m)>0，于是又(x11，y1)，(x21，y2)，·<0(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1y1y2<0.又x，于是不等式等价于·y1y21<0y1y2(y1y2)22y1y21<0，由式，不等式等价于m26m1<4t2，对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式对于一切t成立等价于m26m1<0，即32<m<32.由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有·<0，且m的取值范围是(32，32).6