【2013版中考12年】浙江省台州市2002-2013年中考数学试题分类解析 专题06 函数的图像与性质.doc

台州市2002-2013年中考数学试题分类解析 专题06：函数的图像与性质一、 选择题1. （2002年浙江台州4分）二次函数 的最小值为【 】 （A）35（B）30 （C）5 （D）202. （2002年浙江台州4分）已知甲，乙两弹簧的长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数解析式分别为y1=k1xa1和y2k2xa2, 图象如下，设所挂物体质量均为2kg时，甲弹簧长为y1 ,乙弹簧长为y2则y1与y2的大小关系为【 】 （A）yly2 （B）y1y2 （C）y1 y2 (D）不能确定【答案】A。【考点】一次函数的应用，数形结合思想的应用。【分析】由图象可知，当x=2时，y1=k1xa1在y2k2xa2, 图象之上，因此，当所挂物体质量均为2kg时， y1与y2的大小关系为yly2。故选A。3. （2003年浙江台州4分）关于二次函数的最大（小）值，叙述正确的是【 】 A、当2时，函数有最大值 B、当2时，函数有最小值 C、当2时，函数有最大值 D、当2时，函数有最小值4. （2006年浙江台州4分）若反比例函数的图象经过(2, 1 )，则k的值为【 】 (A)2 (B) 2 (C) (D) 【答案】A。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，将(2, 1 )代入，得，解得。故选A。5. （2009年浙江台州4分）已知二次函数的与的部分对应值如下表：013131则下列判断中正确的是【 】A抛物线开口向上 B抛物线与轴交于负半轴C当4时，0 D方程的正根在3与4之间【答案】D。【考点】二次函数的性质。【分析】当x=0，3时，y=1，根据二次函数的对称性质，二次函数的对称轴为x=。 当x=时，二次函数有最大值。抛物线开口向下。所以，选项A错误。 当x=0时，y=1，抛物线与y轴交于（0，1），交于正半轴。所以，选项B错误。 抛物线上横坐标等于4的点关于直线x=的对称点是（1，3）， 当x=4时，y=30。所以，选项C错误。 当x=3时，y=10；当x=4时，y=30，抛物线与x轴在3与4之间相交。 方程的正根在3与4之间。所以，选项D正确。 故选D。6. （2010年浙江台州4分）反比例函数图象上有三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），其中x1x20x3，则y1，y2，y3的大小关系是【 】 Ay1y2y3 By2y1y3 Cy3y1y2 Dy3y2y1 7. （2010年浙江台州4分）如图，点A，B的坐标分别为（1, 4）和（4, 4）,抛物线的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为3，则点D的横坐标最大值为【 】 A3 B1 C5 D8 【答案】D。【考点】二次函数的性质。【分析】当点C横坐标为3时，抛物线顶点为A（1，4），对称轴为x=1，此时D点横坐标为5，则CD=8。当抛物线顶点为B（4，4）时，抛物线对称轴为x=4，且CD=8，故C（0，0），D（8，0）。由于此时D点横坐标最大，故点D的横坐标最大值为8。故选D。8. （2011年浙江台州4分）如图，双曲线与直线交于点M、N，并且点M的坐标为(1，3)，点N的纵坐标为1根据图象信息可得关于的方程的解为【 】A3，1 B3，3C1，1 D1，3 【答案】A。【考点】反比例函数与一次函数的交点问题。【分析】根据图象信息可得关于的方程的解是双曲线与直线交点的横坐标。因此，把M的坐标(1，3)代入，得，即得双曲线表达式为。把点N的纵坐标1代入，得，即关于的方程的解为3，1。故选A。9. （2012年浙江台州4分）点（1，y1），（2，y2），（3，y3）均在函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是【 】 Ay3y2y1 By2y3y1 Cy1y2y3 Dy1y3y2【答案】D。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，有理数的大小比较。【分析】由点（1，y1），（2，y2），（3，y3）均在函数的图象上，得y1=6，y2=3，y3=2。根据有理数的大小关系，623，从而y1y3y2。故选D。10.（2013年浙江台州4分）在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度（单位：kg/m3）与体积v（单位：m3）满足函数关系式（k为常数，k0）其图象如图所示，则k的值为【 】A.9 B.9 C.4 D.4二、填空题1. （2002年浙江台州5分）已知m为方程的根，那么对于一次函数ymxm：图象一定经过一、二、三象限；图象一定经过二、三、四象限；图象一定经过二、三象限；图象一定经过点（l，0）；y一定随着x的增大而增大；y一定随着x的增大而减小。以上六个判断中，正确结论的序号是 （多填、少填均不得分)【答案】。【考点】解一元二次方程，一次函数的性质，分类思想的应用。【分析】解方程求得的根，即m的值，根据一次函数的性质对各个问题进行判断： 解方程得，方程的两个根是3和2，即m=-3或2。当m=3时，一次函数是y=3x3，根据一次函数的性质可得：正确；当m=2时，一次函数是y=2x2，根据一次函数的性质可得：正确。故正确结论的序号是。2. （2005年浙江台州5分）试写出图象位于第二象限与第四象限的一个反比例函数解析式 .【答案】（答案不唯一）。【考点】开放型，反比例函数的性质。【分析】根据反比例函数的性质：当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限。图象位于第二象限与第四象限的一个反比例函数解析式只要即可，如（答案不唯一）。3. （2007年浙江台州5分）反比例函数图象上一个点的坐标是 【答案】（1，6）（答案不唯一）。【考点】开放型，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，取不为0的任一x代入，求出y的值即可得，如取x=1代入得，所得点为（1，6）（答案不唯一）。4. （2007年浙江台州5分）（1）学习和研究反比例函数的图象与性质一次函数的图象与性质时，用到的数学思想方法有 、 （填2个即可）（2）学数学不仅仅是听课和解题，三年初中数学学习期间，教材中给你留下深刻印象的选学内容、数学活动、课题学习有 、 、 （填3个即可）5. （2008年浙江台州5分）如图，从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：米）与小球运动时间t（单位：秒）的函数关系式是，那么小球运动中的最大高度h最大= 【答案】4.9米。【考点】二次函数的性质。【分析】，小球运动中的最大高度h最大=4.9米。6. （2009年浙江台州5分）请你写出一个图象在第一、三象限的反比例函数答： 三、解答题1. （2002年浙江台州12分）以x为自变量的二次函数，它的图象与y轴交于点C(0,3)，与x轴交于点A、B，点A在点B的左边，点O为坐标原点(1）求这个二次函数的解析式及点A，点B的坐标，画出二次函数的图象；(2）在x轴上是否存在点Q，在位于x轴上方部分的抛物线上是否存在点P，使得以A，P，Q三点为顶点的三角形与AOC相似（不包含全等)?若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）根据题意，把点C（0，3）代入，解得m=3。二次根式的解析式为。令，即，解得x1=1，x2=3。点A在点B的左边，点A，点B的坐标分别是（1，0），（3，0）。画出二次函数的图象如下：（2）存在。假设存在符合题意的点P、Q，一定是PAQ=ACO。若PAQ=CAO，则点P与点C重合，点Q与点O重合，PAQCAO，不合题意。若PAQ=COA=90°，显然P不在抛物线上。若存在符合题意的点P、Q，一定是PAQ=ACO。过A作AP，使PAO=ACO且与抛物线交于点P，若过点P作PQ1x轴交x轴于点Q1，设Q1（x1，0），P（x1，），CQ1A=AOC，则PQ1AAOC，即。解得或（舍去）。把代入得当P（，），Q1（，0）时，存在PQ1AAOC。由所得点P作PQ2AP交x轴于Q2，设Q2（x2，0），根据勾股定理理，得。APQ2COA，则Q2PAAOC。，即，解得。当P（，），Q2（，0）时，存在PQ2AAOC。综上所述，存在符合条件的相似三角形，且P、Q的坐标为：P（，），Q1（，0），Q2（，0）。（2）根据函数图象可知，显然PAQ不能是直角，已知以A，P，Q三点为顶点的三角形与AOC相似但不全等，因此P、C不重合，即PAQCAO，所以只考虑PAQ=ACO的情况，过A作PAQ=ACQ，交抛物线于点P，然后分PQA=COA=90°和APQ=COA=90°两种情况讨论。2. （2003年浙江台州12分）中国联通130网收费标准是：月租费30元，每月来电显示费6元，本地电话费每分钟0.4元。中国电信的“神州行” 收费标准是：本地电话费每分钟0.6元，月租费和来电显示费全免。最近，小周买了手机要入本地网，请问为了省钱他该选择中国联通还是中国电信?【答案】解：设通话时间为x分钟，则联通收费为y1=（0.4x+36）元，神州行收费为y2=0.6x元， 令0.4x+36=0.6x，解得：x=180。联通收费与神州行的收费相同是通话时间为180分钟。当x180分钟=3小时，小周的通话时间在3h以内，应该选择中国电信；当x180分钟=3小时，小周的通话时间在3h以上，应该选择中国联通；当x=180分钟=3小时，小周的通话时间在3h时，选择中国电信和中国联通是一样的。【考点】一次函数应用（优选方案问题）。【分析】设通话时间为x分钟，则联通收费为0.4x+36，神州行收费为0.6x，然后列不等式求解，即可解。3. （2003年浙江台州14分） 已知抛物线顶点D（0，），且经过点A（1，）。（1）求这条抛物线的解析式；（2）点F是坐标原点O关于该抛物线顶点的对称点，坐标为（0，）。我们可以用以下方法求线段FA的长度；过点A作AA1轴，过点F作轴的平行线，交AA1于A2则FA21，A2A，在RtAFA2中，有FA。已知抛物线上另一点B的横坐标为2，求线段FB的长。（3）若点P是该抛物线在第一象限上的任意一点，试探究线段FP的长度与点P纵坐标的大小关系，并证明你的猜想。【答案】解：（1）抛物线顶点D（0，），设抛物线顶点式：。经过点A（1，），解得a=2。这条抛物线的解析式为。 （2）点B的横坐标为2，点B的纵坐标为。过点B作BB1x轴，过点F作x轴的平行线，交BB1于B2，FB2=2，B2B=。在RtBFB2中，。 （3）相等，理由如下：设点P的坐标为（a，），过点P作PP1x轴，过点F作x轴的平行线，交PP1于P2，FP2=a，P2P=。在RtPFP2中，。线段FP的长度与点P纵坐标相等。4. （2004年浙江温州、台州12分）水是生命之源，水资源的不足严重制约我市的工业发展，解决缺水的根本在于节约用水，提高工业用水的重复利用率、降低每万元工业产值的用水量都是有力举措。据台州日报4月26日报导，目前，我市工业用水每天只能供应10万吨，重复利用率为45，先进地区为75，工业每万元产值平均用水25吨，而先进地区为10吨，可见我市节水空间还很大。（1）若我市工业用水重复利用率(为方便,假设工业用水只重复利用一次)由目前的45增加到60，那么每天还可以增加多少吨工业用水？（2）写出工业用水重复利用率由45增加到x（45x100），每天所增加的工业用水y(万吨)与之间的函数关系式。（3）如果我市工业用水重复利用率及每万元工业产值平均用水量都达到先进地区水平，那么与现有水平比较，仅从用水的角度我市每天能增加多少万元工业产值？【答案】解：（1）100000×(1+60)100000×(1+45)=100000×15=15000(吨)，答：每天还可以增加15000吨工业用水。（2）每天所增加的工业用水y(万吨)与之间的函数关系式为：y=10(x45)=0.1x4.5（45x100）。（3）(万元)，答：每天能增加11700万元工业产值。【考点】一次函数的应用。【分析】重复利用率是在一定的计量时间内，生产过程中使用的重复利用量与总用水量之比那么使用的总水量=生产过程中的取水量×（1+重复利用率），由此等量关系即可答本题。5. （2006年浙江台州12分）如图，已知抛物线（a0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点B的坐标为（1，0）.（1）求此抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）过点C作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点P，你能判断四边形ABCP是什么四边形吗？请证明你的结论；（3）连结AC，BP，若ACBP，试求此抛物线的解析式.【答案】解：（1），抛物线的对称轴是直线x=2。 设点A的坐标为（x，0），x=3。A的坐标（3，0）。（2）四边形ABCP是平行四边形。证明如下： 抛物线的对称轴是直线x=2，CP=2。 又AB=2，CP=AB。 又CPAB，四边形ABCP是平行四边形。 （3）ACBP，平行四边形ABCP是菱形。BC=AB=2。 又OB=1， OC=。C（0, ）。 将B（-1,0）, C（0, ）代入，得：，解得：。此抛物线的解析式为。 （2）已知了CPAB，只需证CP是否与AB相等即可，根据抛物线对称轴x=2可知CP=2，根据A、B的坐标不难得出AB=2，因此AB与PC平行且相等，四边形ABCP是平行四边形。（3）本题的关键是求出C点的坐标，即OC的长，由菱形的判定和性质，勾股定理可得到点C的坐标，已知了A、B、C三点坐标后可用待定系数法求出抛物线的解析式。6. （2007年浙江台州12分）善于不断改进学习方法的小迪发现，对解题进行回顾反思，学习效果更好某一天小迪有20分钟时间可用于学习假设小迪用于解题的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图1所示，用于回顾反思的时间x（单位：分钟）与学习收益y的关系如图2所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点），且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间（1）求小迪解题的学习收益量y与用于解题的时间x之间的函数关系式；（2）求小迪回顾反思的学习收益量y与用于回顾反思的时间x的函数关系式；（3）问小迪如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这20分钟的学习收益总量最大？【答案】解：（1）由图1，设，当时，解得。（2）由图2，当时，设，当时，。，即。当时，。（3）设小迪用于回顾反思的时间为分钟，学习收益总量为，则她用于解题的时间为分钟，当时，当时，。当时，随的增大而减小，当时，。综上，当时，此时。答：小迪用于回顾反思的时间为3分钟，用于解题的时间为17分钟时，学习收益总量最大。【考点】一、二次函数的应用，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，一、二次函数的性质。【分析】（1）由图设抛物线的公式为y=kx，即可依题意求出y与x的函数关系式。（2）本题涉及分段函数的知识需要注意的是x的取值范围依照分段函数的解法解出即可。（3）设小迪用于回顾反思的时间为x（0x10）分钟，学习收益总量为y，则她用于解题的时间为（20x）分钟，分和讨论即可。7. （2008年浙江台州8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A（3，1），B（2，n）两点，直线AB分交x轴、y轴于D，C两点（1）求上述反比例函数和一次函数的解析式；（2）求 的值【答案】解：（1）把（3，1）代入，得：反比例函数的解析式为。把（2，n）代入得。把A（3，1），B（2，）分别代入得，解得。一次函数的解析式为。（2）过点A作轴于点E，A点的纵坐标为1，AE=1。在中，令x=0，得，得C点的坐标为，OC=。在RtOCD和RtEAD中，COD=AED=Rt，CDO=ADE，RtOCDRtEAD。【考点】反比例函数和一次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）反比例函数的图象经过点A（3，1），代入解析式就得到反比例函数的解析式，再把B（2，n）代入反比例函数解析式就可以求出A的坐标，因而利用待定系数法就可以求出一次函数的解析式。（2）过点A作AEx轴于点E易证RtOCDRtEAD，则。8. （2008年浙江台州8分）在数学学习中，及时对知识进行归纳和整理是改善学习的重要方法善于学习的小明在学习了一次方程（组）、一元一次不等式和一次函数后，把相关知识归纳整理如下：（1）请你根据以上方框中的内容在下面数字序号后写出相应的结论： ； ； ； ；（2）如果点C的坐标为（1，3），那么不等式的解集是 【答案】解：（1）；（2）。【考点】一次函数与方程、不等式的关系，数形结合思想和转换思想的应用。【分析】（1）根据一次函数与方程、不等式的关系分别写出。（2）再由得在上方的部分，由点C的坐标为（1，3），得出x1。9. （2009年浙江台州10分）如图，直线l1：与直线l2：相交于点P（1，b）（1）求b的值；（2）不解关于x，y的方程组 ，请你直接写出它的解；（3）直线l3：是否也经过点P？请说明理由【考点】一次函数综合题，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）将交点P的坐标代入直线l1的解析式中便可求出b的值。（2）由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解因此把函数交点的横坐标当作x的值，纵坐标当作y的值，就是所求方程组的解。（3）将P点的坐标代入直线l3的解析式中，即可判断出P点是否在直线l3的图象上。10. （2010年浙江台州8分）A，B两城相距600千米，甲、乙两车同时从A城出发驶向B城，甲车到达B城后立即返回如图是它们离A城的距离y（千米）与行驶时间 x（小时）之间的函数图象（1）求甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）当它们行驶7了小时时，两车相遇，求乙车速度【答案】解：（1）当0x6时，设y=k1x， 把点（6，600）代入得，k1=100。y=100x。当6x14时，设y=kx+b，图象过（6，600），（14，0）两点，解得 。甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式为。 （2）当x=7时，甲车行驶的路程为， 当它们行驶7了小时时，两车相遇，乙车也行驶525千米。【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，分类思想的应用。【分析】（1）根据图象和题意知道，甲是分段函数，所以分别设0x6时，y=k1x；6x14时，y=kx+b，根据图象上的点的坐标，利用待定系数法可求解。（2）注意到相遇时是在614小时之间，求交点时应该用甲中的函数关系式为y=75x+1050，直接把x=7代入即可求相遇时y的值，再求速度即可。 11. （2011年浙江台州14分）已知抛物线(m)2n与轴交于点A，它的顶点为点B，点A、B关于原点O的对称点分别为C、D若A、B、C、D中任何三点都不在一直线上，则称四边形ABCD为抛物线的伴随四边形，直线AB为抛物线的伴随直线(1)如图1，求抛物线(2)21的伴随直线的解析式(2)如图2，若抛物线(m)2n n(m0)的伴随直线是3，伴随四边形的面积为12，求此抛物线的解析式(3)如图3，若抛物线(m)2n n的伴随直线是2b(b0)，且伴随四边形ABCD是矩形用含b的代数式表示m、n的值；在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得PBD是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标(用含b的代数式表示)，若不存在，请说明理由【答案】解：（1）由已知得B (2，1)，A (0，5)。设所求直线的解析式为kb，则 ， 解得。所求直线的解析式为25 。（2）如图，作BEAC于点E，由题意得四边形ABCD是平行四边形，点A的坐标为(0，3)，点C的坐标为 (0，3)，可得AC6 。ABCD的面积为12，SABC6即SABC AC·BE6。 BE2。m0，即顶点B有轴的右侧，且在直线3上，顶点B的坐标为B (2，1)。又抛物线经过点A (0，3)，。 (2)21。（3）如图，作BE轴于点E， 由已知得：A的坐标为 (0，b)，C的坐标为 (0，b)。顶点B (m，n)在直线2b上，n2mb，即点B的坐标为(m，2mb)。在矩形ABCD中，OCOB，OC2OB2，即b2m2(2mb) 2，5m24mb0。m (5m4b)0。m10(不合题意，舍去)，m2 b 。n2mb2× bbb。用含b的代数式表示m、n的值为m b，nb。存在，共四个点如下：P1 (b，b)，P2 (b，b)，P3 (b，b)，P4 (b，b) 。（3）由已知可得A坐标为（0，b），C点坐标为（0，-b），以及n=-2m+b，即点B点的坐标为（m，-2m+b），利用勾股定理求出。利用中B点坐标，以及BD的长度即可得出P点的坐标。分BD=BP，BD=DP，BP=DP三种情况分别求出。12. （2012年浙江台州8分）如图，正比例函数y=kx（x0）与反比例函数的图象交于点A（2，3），（1）求k，m的值；（2）写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围【答案】解：（1）把（2，3）代入y=kx得：3=2k， k=。把（2，3）代入得：m=6。（2）x2。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，正比例函数和反比例函数图象的性质。【分析】（1）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将A（2，3）分别代入y=kx和即可求得k，m的值。（2）由图象可知，当正比例函数值大于反比例函数值时，正比例函数的图象在反比例函数的图象上方，自变量x的取值范围是x2。13. （2012年浙江台州12分）某汽车在刹车后行驶的距离s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系得部分数据如下表：时间t（秒）00.20.40.60.81.01.2行驶距离s（米）02.85.27.28.81010.8（1）根据这些数据在给出的坐标系中画出相应的点；（2）选择适当的函数表示s与t之间的关系，求出相应的函数解析式；（3）刹车后汽车行驶了多长距离才停止？当t分别为t1，t2（t1t2）时，对应s的值分别为s1，s2，请比较与的大小，并解释比较结果的实际意义【答案】解：（1）描点图所示： （2）由散点图可知该函数为二次函数。设二次函数的解析式为：s=at2btc，抛物线经过点（0，0），c=0。又由点（0.2，2.8），（1，10）可得：，解得：。经检验，其余各点均在s=5t2+15t上。二次函数的解析式为：。（3）汽车刹车后到停止时的距离即汽车滑行的最大距离。 ，当t=时，滑行距离最大，为。因此，刹车后汽车行驶了米才停止。 ，。t1t2，。其实际意义是刹车后到t2时间内的平均速到t1时间内的度小于刹车后平均速度。（2）首先判断函数为二次函数。用待定系数法，由所给的任意三点即可求出函数解析式。（3）将函数解析式表示成顶点式（或用公式求），即可求得答案。（4）求出与，用差值法比较大小。14.（2013年浙江台州12分）如图1，已知直线与y轴交于点A，抛物线经过点A，其顶点为B，另一抛物线的顶点为D，两抛物线相交于点C（1）求点B的坐标，并说明点D在直线的理由；（2）设交点C的横坐标为m交点C的纵坐标可以表示为： 或 ，由此请进一步探究m关于h的函数关系式；如图2，若，求m的值（2）或。由题意得，整理得。h1，。过点C作y轴的垂线，垂足为E，过点D作DFCE于点F，ACD=90°，ACE=CDF。又AEC=DFC，ACECDF。又C（m，），D（2m，22m），AE=，DF=，CE=CF=m。=1。解得：。h1，。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，由实际问题列函数关系式。【分析】（1）首先求得点A的坐标，然后求得点B的坐标，用h表示出点D的坐标后代入直线的解析式验证即可。（2）根据两种不同的表示形式得到m和h之间的函数关系即可；过点C作y轴的垂线，垂足为E，过点D作DFCE于点F，证得ACECDF，然后用m表示出点C和点D的坐标，根据相似三角形的性质求得m的值即可。