【创新设计】（浙江专用）2014届高考数学总复习 第6篇 第5讲 数列的综合应用限时训练 理.doc

第5讲数列的综合应用分层A级基础达标演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1(2012·北京)已知an为等比数列下面结论中正确的是()Aa1a32a2 Baa2aC若a1a3，则a1a2 D若a3>a1，则a4>a2解析设公比为q，对于选项A，当a1<0，q1时不正确；选项C，当q1时不正确；选项D，当a11，q2时不正确；选项B正确，因为aa2a1a32a.答案B2(2012·泉州四校联考)满足a11，log2an1log2an1(nN*)，它的前n项和为Sn，则满足Sn>1 025的最小n值是()A9 B10 C11 D12解析因为a11，log2an1log2an1(nN*)，所以an12an，an2n1，Sn2n1，则满足Sn>1 025的最小n值是11.答案C3(2012·济南质检)设yf(x)是一次函数，若f(0)1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)f(4)f(2n)等于()An(2n3) Bn(n4)C2n(2n3) D2n(n4)解析由题意可设f(x)kx1(k0)，则(4k1)2(k1)×(13k1)，解得k2，f(2)f(4)f(2n)(2×21)(2×41)(2×2n1)2n23n.答案A4(2013·威海期中)某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)n(n1)(2n1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是()A5年 B6年 C7年 D8年解析由已知可得第n年的产量anf(n)f(n1)3n2.当n1时也适合，据题意令an150n5，即数列从第8项开始超过150，即这条生产线最多生产7年答案C二、填空题(每小题5分，共10分)5(2012·安庆模拟)设关于x的不等式x2x2nx(nN*)的解集中整数的个数为an，数列an的前n项和为Sn，则S100的值为_解析由x2x2nx(nN*)，得0x2n1，因此知an2n.S10010 100.答案10 1006(2013·南通模拟)已知a，b，c成等比数列，如果a，x，b和b，y，c都成等差数列，则_.解析赋值法如令a，b，c分别为2,4,8，可求出x3，y6，2.答案2三、解答题(共25分)7(12分)已知函数f(x)log2xlogx2(0<x<1)，数列an满足f(2an)2n (nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)判断数列an的单调性思维启迪：(1)将an看成一个未知数，解方程即可求出an；(2)通过比较an和an1的大小来判断数列an的单调性解(1)由已知得log22an2n，an2n，即a2nan10.ann±.0<x<1，0<2an<1，an<0.ann.(2)法一an1an(n1)(n)1>10，an1>an，an是递增数列法二<1，又an<0，an1>an，an是递增数列探究提高本题融数列、方程、函数单调性等知识为一体，结构巧妙、形式新颖，着重考查逻辑分析能力8(13分)某家庭计划年初向银行贷款10万元用于买房，他们选择10年期贷款，偿还贷款的方式为：分10次等额归还，每年一次，并从借后次年年初开始归还，若10年期贷款的年利率为4%，且每年利息均按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息)，问每年应还多少元(精确到1元，其中1.04101.480 2)?解按照贷款的规定，在贷款全部还清时，10万元贷款的价值与这个人还款的价值总额应该相等我们可以考虑把所有的款项都转化到同一时间(即贷款全部付清时)去计算在10年后(即贷款全部付清时)10万元的价值为105(14%)10元设每年还款x元，则第1次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为x(14%)9；第2次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为x(14%)8；第10次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为x元则105×(14%)10x(14%)9x(14%)8x(14%)7x，由等比数列的求和公式，可得105×1.0410·x.所以x12 330.分层B级创新能力提升1已知f(x)bx1是关于x的一次函数，b为不等于1的常数，且g(n)设ang(n)g(n1)(nN*)，则数列an为()A等差数列 B等比数列C递增数列 D递减数列解析a1g(1)g(0)fg(0)g(0)b11b，当n2时，ang(n)g(n1)fg(n1)fg(n2)bg(n1)g(n2)ban1，所以an是等比数列答案B2(2013·福州模拟)在等差数列an中，满足3a47a7，且a1>0，Sn是数列an前n项的和，若Sn取得最大值，则n()A7 B8 C9 D10解析设公差为d，由题设3(a13d)7(a16d)，所以da1<0.解不等式an>0，即a1(n1)>0，所以n<，则n9，当n9时，an>0，同理可得n10时，an<0.故当n9时，Sn取得最大值答案C3设曲线yxn1(nN*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令anlg xn，则a1a2a3a99的值为_解析由y(n1)xn(xN*)，所以在点(1,1)处的切线斜率kn1，故切线方程为y(n1)(x1)1，令y0得xn，所以a1a2a3a99lg x1lg x2lg x99lg(x1·x2··x99)lg×××lg 2.答案24(2012·沈阳四校联考)数列an的前n项和为Sn，若数列an的各项按如下规律排列：，有如下运算和结论：a24；数列a1，a2a3，a4a5a6，a7a8a9a10，是等比数列；数列a1，a2a3，a4a5a6，a7a8a9a10，的前n项和为Tn；若存在正整数k，使Sk<10，Sk110，则ak.其中正确的结论有_(将你认为正确的结论序号都填上)解析依题意，将数列an中的项依次按分母相同的项分成一组，第n组中的数的规律是：第n组中的数共有n个，并且每个数的分母均是n1，分子由1依次增大到n，第n组中的各数和等于.对于，注意到21<24<28，因此数列an中的第24项应是第7组中的第3个数，即a24，因此正确对于、，设bn为、中的数列的通项，则bn，显然该数列是等差数列，而不是等比数列，其前n项和等于×，因此不正确，正确对于，注意到数列的前6组的所有项的和等于10，因此满足条件的ak应是第6组中的第5个数，即ak，因此正确综上所述，其中正确的结论有.答案5已知各项均不相等的等差数列an的前四项和为14，且a1，a3，a7恰为等比数列bn的前三项(1)分别求数列an，bn的前n项和Sn，Tn；(2)记数列anbn的前n项和为Kn，设cn，求证：cn1>cn(nN*)(1)解设公差为d，则解得d1或d0(舍去)，a12，所以ann1，Sn.又a12，d1，所以a34.所以数列bn的首项为b12，公比q2，所以bn2n，Tn2n12.(2)证明因为Kn2·213·22(n1)·2n，故2Kn2·223·23n·2n(n1)·2n1，得Kn2·2122232n(n1)·2n1，Knn·2n1，则cn.cn1cn>0，所以cn1>cn(nN*)6(2012·安徽)设函数f(x)sin x的所有正的极小值点从小到大排成的数列为xn(1)求数列xn的通项公式；(2)设xn的前n项和为Sn，求sin Sn.解(1)因为f(x)cos x0，cos x，解得x2k±(kZ)由xn是f(x)的第n个正极小值点知，xn2n(nN*)(2)由(1)可知，Sn2(12n)nn(n1)，所以sin Snsin.因为n(n1)表示两个连续正整数的乘积，n(n1)一定为偶数，所以sin Snsin .当n3m2(mN*)时，sin Snsin；当n3m1(mN*)时，sin Snsin；当n3m(mN*)时，sin Snsin 2m0.综上所述，sin Sn6