【优化方案】2016高中数学 第三章 三角恒等变形 2.3两角和与差的正切函数 新人教A版必修4.doc

23两角和与差的正切函数, )1问题导航(1)公式T±中，的取值范围是什么？(2)如何由公式T推出公式T？(3)公式T和公式T有何不同？2例题导读 P121例4.通过本例学习，学会直接运用公式T±求值 试一试：教材P123习题32 A组T6你会吗？ P122例5.通过本例学习，学会运用公式T±化简求值 试一试：教材P123习题32 A组T2(5)(6)你会吗？ P122例6.通过本例学习，学会运用公式T±求值 试一试：教材P123习题32 A组T7你会吗？ 两角和与差的正切公式名称公式简记符号条件两角和的正切tan ()T，k(kZ)两角差的正切tan () T，k(kZ)1判断正误(正确的打“”，错误的打“×”)(1)存在，R，使tan()tan tan 成立()(2)对任意，R，tan()都成立()(3)tan()等价于tan tan tan()·(1tan tan )()解析：(1)正确当0，时，tan()tantan 0tan ，但一般情况下不成立(2)错误两角和的正切公式的适用范围是，k(kZ)(3)正确当k(kZ)，k(kZ)，k(kZ)时，由前一个式子两边同乘以1tan tan 可得后一个式子，当tan tan 1时，k，kZ，tan()无意义，所以后一个式子两边同除以1tan tan 可得前一个式子成立，两式等价答案：(1)(2)×(3)2已知cos ，且，则tan等于()A B7C. D7解析：选D.因为cos ，且，所以sin .所以tan ，所以tan7.3若tan 3，tan ，则tan()_解析：因为tan 3，tan ，所以tan().答案：4._解析：tan(82°22°)tan 60°.答案：1公式T±的结构特征和符号规律(1)结构特征：公式T±的右侧为分式形式，其中分子为tan 与tan 的和或差，分母为1与tan tan 的差或和(2)符号规律：分子同，分母反2两角和与差的正切公式的变形与特例(1)变形公式：tan tan tan()(1tan tan )；tan tan tan()(1tan tan )；tan tan 1.(2)公式的特例：tan；tan.化简求值计算：(1)；(2)tan 10°tan 50°tan 10°tan 50°；(3)(3tan 30°tan 40°tan 40°tan 50°tan 50°tan 60°)·tan 10°.(链接教材P122例5)解(1)因为tan 15°tan (45°30°)2.所以.(2)tan 10°tan 50°tan 10°tan 50°tan (10°50°)(1tan 10°tan 50°)tan 10°tan 50°tan 60°tan 10°tan 50°tan 10°tan 50°tan 60°.(3)原式(1tan 30°tan 40°1tan 40°tan 50°1tan 50°tan 60°)·tan 10°，因为tan 10°tan(40°30°)，所以1tan 40°tan 30°，同理，1tan 40°tan 50°，1tan 50°tan 60°，所以原式·tan 10°tan 40°tan 30°tan 50°tan 40°tan 60°tan 50°tan 30°tan 60°.方法归纳解答此类问题应注意以下两点：(1)公式的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换，如tan 45°1，tan 30°，tan 60°等特别要注意tan，tan.(2)公式的变形运用只要见到tan ±tan ，tan tan 时，就要有灵活变形应用公式T±的意识，从而不难获得解题思路1(1)_(2)tan 19°tan 26°tan 19°tan 26°_(3)求下列各式的值：；tan 20°·tan 30°tan 30°·tan 40°tan 40°·tan 20°.解：(1)1.故填1.(2)因为tan 45°tan(19°26°)1，所以tan 19°tan 26°1tan 19°tan 26°，则tan 19°tan 26°tan 19°tan 26°1.故填1.(3)原式tan 15°tan(45°30°)2.原式(tan 20°tan 40°)tan 40°·tan 20°·tan 60°(1tan 20°·tan 40°)tan 40°·tan 20°1tan 20°·tan 40°tan 20°·tan 40°1.给值求值(角)(1)已知tan，tan2.求：tan；tan()(2)设方程x23x40的两根为tan ，tan ，且0<|<，0<|<，求的值(链接教材P121例4，P122练习T4)解(1)tantan .tan()tan 23.(2)由已知，得tan tan 3，tan tan 4.所以tan()，且tan <0，tan <0，所以<<0，<<0，所以< <0，所以.方法归纳解决给值求值(角)问题的常用策略(1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解(2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小提醒：在给值求角的问题中，根据角的范围确定角的大小2已知tan ，tan 2，且0<<<<，求(1)tan()的值；(2)角的值解：(1)因为tan ，tan 2，所以tan()7.(2)tan()1，因为0<<<<，所以<<，所以.公式T±的综合应用(1)已知A，B是ABC的两个内角，且tan A，tan B是方程3x28x10的两个实根，则tan C_(2)在ABC中，tan Btan Ctan Btan C，tan Atan B1tan Atan B，试判断ABC的形状解(1)因为tan A，tan B是方程3x28x10的两个实根，所以tan Atan B，tan Atan B，所以tan(AB)2.又ABC，所以tan Ctan(AB)tan(AB)2.故填2.(2)由tan Btan Ctan Btan C，得tan Btan C(1tan Btan C)，因为A，B，C为ABC的内角，所以1tan Btan C0，所以，即tan(BC)，因为0<BC<，所以BC.由tan Atan B1tan Atan B，得(tan Atan B)(1tan Atan B)，因为A，B，C为ABC的内角，所以1tan Atan B0，所以，即tan(AB).因为0<AB<，所以AB.又ABC，所以A，BC，所以ABC为等腰三角形本例(1)中的方程“3x28x10”改为“3x28xm0”，求tan C的取值范围解：由题意得8212m0，所以m.因为tan A，tan B是方程3x28xm0的两个实根，所以tan Atan B，tan Atan B，则A，B中有一个为钝角，所以tan(AB)，因为ABC，所以tan Ctan(AB)，因为m，所以tan C或tan C>0.当tan C时，C为钝角，此时不能构成三角形，故tan C>0.方法归纳公式应用的常见问题类型及处理策略(1)方程中的应用：两角和与差的正切公式中由于同时出现了两正切的和差以及乘积，往往会与一元二次方程联系在一起，利用根与系数的关系解决有关问题(2)判断三角形形状：利用公式及其变形形式，结合题中所给的条件找到角之间的关系3已知tan ，tan 是关于x的方程x24px30(pR)的两个实数根，且k(kZ)，求cos2()psin()cos()的值解：因为tan ，tan 是方程x24px30的两实根，所以根据根与系数关系，得tan tan 4p，tan tan 3，所以tan()p，即sin()pcos()原式(1p2)cos2()1.易错警示给值求角中的易错误区已知tan()，tan ，且，(0，)，则2_解析由于tan tan ()，且(0，)，所以又由tan ，且(0，)，得(，)，所以2(，0)而tan(2)tan ()1，所以2.答案错因与防范(1)解答本题常会得到2的值为，这样错误的结果，原因在于没能依据题设条件进一步缩小角、的范围，导致计算角2的范围扩大而出错(2)为了防范类似的错误，应该树立函数择优意识选择运算该角的哪个三角函数值，会直接影响角的解的个数，如本例选择公式T±较方便快捷，且不易产生增解注意题设隐含条件的挖掘个别条件所附带的信息有时较为隐蔽，常依据需要对题设条件进一步挖掘，如本例要依据“tan()，tan ，且，(0，)”来进一步限定角，的范围4(1)在ABC中，若tan A·tan B>1，则ABC必是()A等边三角形B直角三角形C锐角三角形D钝角三角形(2)已知tan ，tan ，且，均为锐角，求2的值解：(1)选C.因为tan A·tan B>1且A、B、C为ABC的内角，所以tan A>0，tan B>0，又因为tan(AB)<0，所以AB>，所以C为锐角所以ABC为锐角三角形(2)由tan ，tan 知，0<<，0<<，则0<2<，又tan 2tan()，所以tan(2)1，所以2.1.等于()Atan 42° Btan 3°C1 Dtan 24°解析：选A.tan(60°18°)tan 42°.2已知tan 和tan是方程ax2bxc0的两个根，则a、b、c的关系是()Acba B2bacCbac Dcab解析：选A.所以tan tan1，所以1，所以bac，所以cab.故选A.3tan 27°tan 33°tan 27°tan 33°_解析：tan 27°tan 33°tan(27°33°)(1tan 27°·tan 33°)tan 60°(1tan 27°tan 33°)tan 27°·tan 33°，所以tan 27°tan 33°tan 27°tan 33°tan 27°tan 33°tan 27°tan 33°.答案：, 学生用书单独成册)A.基础达标1若tan3，则tan 的值为()A2 BC. D2解析：选B.tan tan.2设、，且tan ，tan ，则等于()A. BC. D解析：选D.tan ()1.因为tan <tan 且，所以<.所以.3直线l1：x2y10，倾斜角为，直线l2：x3y10，倾斜角为，则()A. BC D解析：选B.由题意可知，tan ，tan ，所以0<<，<<.所以0<<，所以tan()1.所以.4在ABC中，C120°，tan Atan B，则tan Atan B()A. BC. D解析：选B.C120°，则AB60°，又tan(AB)，故，所以tan Atan B.5在ABC中，若sin A3cos A0，sin2Bsin Bcos B2cos2B0，则角C为()A. BC. D解析：选B.由sin A3cos A0得tan A3.由sin2Bsin Bcos B2cos2B0得tan2Btan B20，解得tan B2或tan B1，当tan B2时，tan Ctan(AB)1，由C(0，)得C；当tan B1时，tan Ctan(AB)，此时B、C均为钝角不合题意，舍去，综上所述C.6若A18°，B27°，则(1tan A)(1tan B)的值是_解析：原式tan Atan Btan Atan B1tan (18°27°)·(1tan 18°tan 27°)tan 18°·tan 27°12.答案：27._解析：原式.答案：8已知tan2，则_解析：因为tan2，所以2，解得tan ，所以.答案：9已知cos()，cos()，求tan ·tan 的值解：cos()cos cos sin sin ，cos()cos cos sin sin ，由整理得则tan tan .10若tan ，tan 是方程x23x30的两根，求sin2()3sin()cos()3cos2()的值解：由根与系数的关系可得，tan tan 3，tan tan 3，所以tan().sin2()3sin()cos()3cos2()3.B.能力提升1化简tan 10°tan 20°tan 20°tan 60°tan 60°tan 10°的值等于()A1 B2Ctan 10° Dtan 20°解析：选A.原式tan 10°tan 20°tan 20°tan 10°，因为tan(10°20°)，故tan 10°tan 20°tan 10°·tan 20°，所以原式×1.2已知，为锐角，cos ，tan()，则cos 的值为()A. BC D解析：选A.因为，为锐角，且cos ，所以sin ，所以tan .又tan()，所以tan ，即，因为为锐角，所以13cos 9，整理得cos .3已知tan ，cos 且0<<，<<2则的值为_解析：因为<<2且cos ，所以sin ，所以tan 2，所以tan()1，又因为0<<，所以<<，所以.答案：4设0<<<，且cos ，cos()，则tan 的值为_解析：由0<<<，可得0<<，又cos ，cos()，得sin ，sin()，则tan 4，tan()，所以tan tan().答案：5如图，在矩形ABCD中，ABa，BC2a，在BC上取一点P，使得ABBPPD，求tanAPD的值解：由ABBPPD，得aBP，解得BPa.设APB，DPC，则tan ，tan ，所以tan()18，又APD，所以tanAPD18.6(选做题)是否存在锐角和，使(1)2；(2)tan·tan 2同时成立？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由解：若2，则，所以tan.又因为tantan 2，所以tantan 3，所以tan，tan 是一元二次方程x2(3)x20的两根，所以x11，x22.由于是锐角，所以0<<，故tan 1，所以tan2，tan 1.因为0<<，所以，2，所以存在这样的锐角，.14