7.7空间向量的坐标运算doc--高中数学 .doc
http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网7-77-7空间向量的坐标运算空间向量的坐标运算一、选择题一、选择题1已知已知 ABCD，且，且 A(4,1,3)、B(2，5,1)、C(3,7，5)，则顶点，则顶点 D 的坐标为的坐标为()A(72，4，1)B(2,3,1)C(3,1,5)D(5,13，3)解析：解析：，设，设(x，y，z)，则，则(7,8，2)(x2，y5，z1)，x5，y13，z3，即，即(5,13，3)答案：答案：D2已知已知ABC 的三个顶点坐标分别为的三个顶点坐标分别为 A(2,3,1)、B(4,1，2)、C(6,3,7)，则，则ABC 的重心的重心坐标为坐标为()A(6，72，3)B(4，73，2)C(8，143，4)D(2，76，1)解析：解析：ABC 的重心坐标为的重心坐标为 x24634，y313373，z1(2)732.答案：答案：B3若向量若向量 a(1，2)，b(2，1,2)，cosa，b89，则，则等于等于()A2B2C2 或或255D2 或或255解析：解析：|a|25，|b|3，ab6，根据已知条件，根据已知条件63 2589，解得，解得2，或或 255.答案：答案：C4 已知两空间向量已知两空间向量 a(2，cos，sin)，b(sin，2，cos)，则则 ab 与与 ab 的夹角为的夹角为()A30B45C60D90解析：解析：(ab)(ab)a2b20，ab，ab90.答案：答案：D二、填空题二、填空题5与与 A(1,2,3)、B(0,0,5)两点距离相等的点满足的等式为两点距离相等的点满足的等式为_解析：解析：设到设到 A、B 两点距离相等的点为两点距离相等的点为 P(x，y，z)，由，由|PA|PB|，即即(x1)2(y2)2(z3)2x2y2(z5)2，整理得：，整理得：2x4y4z110.http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网答案：答案：2x4y4z1106已知向量已知向量 a(1,2,3)，b(1,1,1)，则向量，则向量 a 在向量在向量 b 方向上的投影为方向上的投影为_解析：解析：1|b|ba13(1,1,1)(1,2,3)4 33，则，则 a 在向量在向量 b 上的投影为上的投影为4 33.答案：答案：4 337已知已知 a(2，1,2)，b(2,2,1)，则以，则以 a，b 为邻边的平行四边形的面积为为邻边的平行四边形的面积为_解析解析：|a|22(1)2223，|b|2222123，ab22(1)2214，cosa，bab|a|b|49，sina，b659，S平行四边形平行四边形|a|b|sina，b 65.答案：答案：65三、解答题三、解答题8如右图，在四棱锥如右图，在四棱锥 PABCD 中，底面中，底面 ABCD 为矩形，侧棱为矩形，侧棱 PA底面底面 ABCD，AB 3，BC1，PA2，E 为为 PD 的中点的中点(1)求直线求直线 AC 与与 PB 所成角的余弦值；所成角的余弦值；(2)在侧面在侧面 PAB 内找一点内找一点 N，使，使 NE面面 PAC，并求出，并求出 N 点到点到 AB 和和 AP 的距离的距离解答：解答：(1)如右图，建立直角坐标系如右图，建立直角坐标系 Axyz，则，则 P(0,0,2)，B(3，0,0)，C(3，1,0)(3，1,0)，(3，0，2)，cos 3 714，则直线则直线 AC 与与 PB 所成角的余弦值为所成角的余弦值为3 714.(2)设设 N(x,0，z)又又 E(0，12，1)，(x，12，z1)由由0，得，得 2(z1)0，由，由0，得，得3x120，解得：，解得：x36，z1，因此因此 N 点到点到 AB 和和 AP 的距离分别为的距离分别为 1，36.9如右图如右图，点点 P，E，F 在矩形在矩形 ABCD 所在平面外所在平面外，PC平面平面 ABCD 于于 C，EB平面平面 ABCD于于 B，FD平面平面 ABCD 于于 D，AB4，BC2，PC6，BEDF 且四边形且四边形 AEPF 是平是平http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网行四边形行四边形(1)建立适当坐标系，求点建立适当坐标系，求点 E、F 的坐标；的坐标；(2)求平面求平面 AEPF 与平面与平面 PEBC 所成的二面角所成的二面角(锐角锐角)的大小的大小解答：解答：如右图，建立空间直角坐标系如右图，建立空间直角坐标系(1)P(0,0,6)，A(4,2,0)，设，设 BEDFm，则，则 E(0,2，m)，F(4，0，m)，(0,0,6)(0,2，m)(0，2,6m)，(4,0，m)(4,2,0)(0，2，m)，四边形四边形 AEPF 是平行四边形，是平行四边形，6mm，即，即 m3，E(0,2,3)，F(4,0,3)(2)(0，2,3)，(0,2,3)(4,2,0)(4,0,3)，设平面，设平面 AEPF 的法向量的法向量n1(x，y，z)，n1，(x，y，z)(0，2,3)0 即即2y3z0，n1，(x，y，z)(4,0,3)0 即即4x3z0.令令 z4 得得 y6，x3，n1(3,6,4)，显然平面，显然平面 PEBC 的法向量的法向量 n2(1,0,0)n1n2(3,6,4)(1,0,0)3，|n1|624232 61，|n2|1，cosn1，n2n1n2|n1|n2|3613 6161，平面平面 AEPF 与平面与平面 PEBC 所成的二面角所成的二面角(锐角锐角)的大小是的大小是 arccos3 6161.10如右图如右图，已知长方体已知长方体 ABCDA1B1C1D1，AB2，AA11，直线直线 BD 与平面与平面 AA1B1B 所所成的角为成的角为 30，AE 垂直垂直 BD 于于 E，F 为为 A1B1的中点的中点(1)求异面直线求异面直线 AE 与与 BF 所成的角；所成的角；(2)求平面求平面 BDF 与平面与平面 AA1B 所成二面角所成二面角(锐角锐角)的大小；的大小；(3)求点求点 A 到平面到平面 BDF 的距离的距离http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网解答：解答：在长方体在长方体 ABCDA1B1C1D1中，以中，以 AB 所在直线为所在直线为 x 轴，轴，AD 所在直线为所在直线为 y 轴，轴，AA1所在直线为所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系如右图轴建立空间直角坐标系如右图由已知由已知 AB2，AA11，可得，可得 A(0,0,0)、B(2,0,0)、F(1,0,1)又又 AD平面平面 AA1B1B，从而，从而 BD 与平面与平面 AA1B1B 所成的角即为所成的角即为DBA30，又又 AB2，AEBD，AE1，AD2 33，从而易得从而易得 E(12，32，0)，D(0，2 33，0)(1)(12，32，0)，(1,0,1)12224.即异面直线即异面直线 AE、BF 所成的角为所成的角为 arccos24.(2)易知平面易知平面 AA1B 的一个法向量的一个法向量 m(0,1,0)，设设 n(x，y，z)是平面是平面 BDF 的一个法向量的一个法向量(2，2 33，0)由由xz02x2 33y0 xz，3xy.取取 n(1，3，1)，cosm，nmn|m|n|31 5155.即平面即平面 BDF 与平面与平面 AA1B 所成二面角所成二面角(锐角锐角)大小为大小为 arccos155.(3)点点 A 到平面到平面 BDF 的距离，即的距离，即 AB 在平面在平面 BDF 的法向量的法向量 n 上的投影的绝对值上的投影的绝对值所以距离所以距离 d|cos，n|252 55.所以点所以点 A 到平面到平面 BDF 的距离为的距离为2 55.1 已知空间三点已知空间三点 A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)若若|a|3，且，且 a 分别与分别与 AB，AC 垂垂直，则向量直，则向量 a 为为()A(1,1,1)B(1，1，1)C(1,1,1)或或(1，1，1)D(1，1,1)或或(1,1，1)http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网解析：解析：由已条件由已条件(2，1,3)，(1，3,2)，可观察出，可观察出 a(1,1,1)答案：答案：C2已知已知，在右图所示的几何体在右图所示的几何体 ABCED 中中，EC面面 ABC，DB面面 ABC，CECACB2DB，ACB90，M 为为 AD 的中点的中点(1)证明：证明：EMAB；(2)求直线求直线 BM 和平面和平面 ADE 所成角的大小所成角的大小解答：解答：解法一：解法一：(1)如右图，以如右图，以 C 为原点，为原点，CA、CB、CE 所在的直线分别为所在的直线分别为 x、y、z 轴轴建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系不妨设不妨设 BD1，则，则 E(0,0,2)，A(2,0,0)，D(0,2,1)，B(0,2,0)，由，由 M 是是 AD 的中点，得的中点，得M(1,1，12)，(1,1，32)，(2,2,0)0，得，得.(2)(2,2,1)，(2,0,2)，设面，设面 ADE 的法向量的法向量 n(x，y，z)，由由 ADn0，n0，易求平面易求平面 ADE 的一个法向量为的一个法向量为 n(1，12，1)，又又 BM(1，1，12)cosn，49，直线直线 BM 和平面和平面 ADE 所成角为所成角为2arccos49.解法二解法二：(1)如上图如上图，过过 M 作作 MNAB，由由 DB面面 ABC，面面 ABD面面 ABC，得得 MN面面 ABC，MNBDCE，M 是是 AD 中点中点，N 是是 AB 中点中点，CACB，CNAB，由三垂线定理由三垂线定理，得得 EMAB.(2)设设 CB 和和 ED 延长线交于延长线交于 F，不妨设不妨设 BD1，易求易求 BF2，AB2 2，AD3，BM32，DF 5，AF2 5，cosDFA45，sinDFA35，得得 SADF3.设设 B 到面到面 AEF 的距离为的距离为 h，由由 VDABFVBADF，得得 h23，设直线设直线 BM 和平面和平面 ADE 所所成角为成角为，sin hBM49，arcsin49.
