【步步高】2013-2014学年高中数学 章末检测三同步训练 新人教B版选修2-1.doc

章末检测一、选择题1对于向量a、b、c和实数，下列命题中真命题是()A若a·b0，则a0或b0B若a0，则0或a0C若a2b2，则ab或abD若a·ba·c，则bc2已知平面和平面的法向量分别为m(3,1，5)，n(6，2,10)，则()A BC与相交但不垂直 D以上都不对3已知向量a(0,2,1)，b(1,1，2)，则a与b的夹角为()A0° B45° C90° D180°4.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，已知a，b，c，则用向量a，b，c可表示向量等于()Aabc BabcCabc Dabc5若平面的法向量为n，直线l的方向向量为a，直线l与平面的夹角为，则下列关系式成立的是()Acos Bcos Csin Dsin 6设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足·0，·0，·0，则BCD是()A钝角三角形 B锐角三角形C直角三角形 D不确定7在以下命题中，不正确的个数为()|a|b|ab|是a，b共线的充要条件；对ab，则存在唯一的实数，使ab；对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若22，则P，A，B，C四点共面；|(a·b)·c|a|·|b|·|c|.A2 B3 C4 D18.已知四边形ABCD为矩形，PA平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不一定为零的是()A.与 B.与C.与 D.与9设E，F是正方体AC1的棱AB和D1C1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A1ECF成60°角的对角线的数目是()A0 B2 C4 D610.如图，ABACBD1，AB面M，AC面M，BDAB，BD与面M成30°角，则C、D间的距离为()A1 B2C. D.11已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC、AD的中点，则·的值为()Aa2 B.a2 C.a2 D.a212.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是()A45° B60°C90° D120°二、填空题13已知P和不共线三点A，B，C四点共面且对于空间任一点O，都有2，则_.14已知A(2,1,0)，点B在平面xOz内，若直线AB的方向向量是(3，1,2)，则点B的坐标是_15平面的法向量为m(1,0，1)，平面的法向量为n(0，1,1)，则平面与平面所成二面角的大小为_16.如图所示，已知二面角l的平面角为 ()，ABBC，BCCD，AB在平面N内，BC在l上，CD在平面M内，若ABBCCD1，则AD的长为_三、解答题17.已知四棱锥PABCD的底面是平行四边形，如图，M是PC的中点，问向量、是否可以组成一个基底，并说明理由18.如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是C1D1，AB的中点，E在AA1上且AE2EA1，F在CC1上且CFFC1，试证明MENF.19.如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P是侧棱CC1上一点，CPm.试确定m使得直线AP与平面BDD1B1所成角为60°.20.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，APAB2，BC2，E，F分别是AD，PC的中点证明：PC平面BEF.21如图，在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，BAD120°，且PA平面ABCD，PA2，M，N分别为PB，PD的中点(1)证明：MN平面ABCD；(2)过点A作AQPC，垂足为点Q，求二面角AMNQ的平面角的余弦值22.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点(1)求直线BE和平面ABB1A1所成角的正弦值；(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F平面A1BE？证明你的结论答案1B2B3C4D5D6B7C8A9C 10C11C12B13214(5,0,2)1560°或120°16.17解、不可以组成一个基底，理由如下：连接AC、BD相交于点O，ABCD是平行四边形，O是AC、BD的中点，在BDM中，()，在PAC中，M是PC的中点，O是AC的中点，则，即，即与、共面、不可以组成一个基底18证明由平行六面体的性质，又M，E，N，F不共线，MENF.19解建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)， P(0,1，m)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)则(1，1,0)，(0,0,1)，(1,1，m)，(1,1,0)又由·0，·0知，为平面BB1D1D的一个法向量设AP与平面BB1D1D所成的角为，则sin |cos，|依题意得sin 60°，解得m.故当m时，直线AP与平面BDD1B1所成的角为60°.20证明如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系APAB2，BCAD2，四边形ABCD是矩形，A，B，C，D，P的坐标分别为A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2，2，0)，D(0,2，0)，P(0,0,2)又E，F分别是AD，PC的中点，E(0，0)，F(1，1)(2,2，2)，(1，1)，(1,0,1)·2420，·2020.，.PCBF，PCEF.又BFEFF，PC平面BEF.21(1)证明连接BD，因为M，N分别是PB，PD的中点，所以MN是PBD的中位线，所以MNBD.又因为MN平面ABCD，BD平面ABCD，所以MN平面ABCD.(2)解方法一连接AC交BD于O，以O为原点，OC，OD所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示在菱形ABCD中，BAD120°，得ACAB2，BDAB6.又因为PA平面ABCD，所以PAAC.在直角PAC中，AC2，PA2，AQPC，得QC2，PQ4.由此知各点坐标如下：A(，0,0)，B(0，3,0)，C(，0,0)，D(0,3,0)，P(，0,2)，M，N，Q.设m(x，y，z)为平面AMN的法向量，由，知取z1，得m(2，0，1)设n(x，y，z)为平面QMN的法向量，由，知取z5，得n(2，0,5)于是cosm，n.所以二面角AMNQ的平面角的余弦值为.方法二如图所示，在菱形ABCD中，BAD120°，得ACABBCCDDA，BDAB.又因为PA平面ABCD，所以PAAB，PAAC，PAAD.所以PBPCPD.所以PBCPDC.而M，N分别是PB，PD的中点，所以MQNQ，且AMPBPDAN.取线段MN的中点E，连接AE，EQ，则AEMN，QEMN，所以AEQ为二面角AMNQ的平面角由AB2，PA2，故在AMN中，AMAN3，MNBD3，得AE.在RtPAC中，AQPC，得AQ2，QC2，PQ4.在PBC中，cosBPC，得MQ.在等腰MQN中，MQNQ，MN3，得QE.在AEQ中，AE，QE，AQ2，得cosAEQ.所以二面角AMNQ的平面角的余弦值为.22解设正方体的棱长为1.如图所示，以，为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz.(1)依题意，得B(1,0,0)，E，A(0,0,0)，D(0,1,0)，所以，(0,1,0)在正方体ABCDA1B1C1D1中，因为AD平面ABB1A1，所以是平面ABB1A1的一个法向量设直线BE和平面ABB1A1所成的角为，则sin .故直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为.(2)在棱C1D1上存在点F，使B1F平面A1BE.证明如下：依题意，得A1(0,0,1)，(1,0,1)，.设n(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量，则由n·0，n·0，得所以xz，yz.取z2，得n(2,1,2)设F是棱C1D1上的点，则F(t,1,1) (0t1)又B1(1,0,1)，所以(t1,1,0)而B1F平面A1BE，于是B1F平面A1BE·n0(t1,1,0)·(2,1,2)02(t1)10tF为棱C1D1的中点这说明在棱C1D1上存在点F(C1D1的中点)，使B1F平面A1BE.9