【步步高】2014届高三数学一轮 第八章 立体几何章末检测 理 （含解析）北师大版.DOC

第八章章末检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1(2010·山东)在空间中，下列命题正确的是()A平行直线的平行投影重合B平行于同一直线的两个平面平行C垂直于同一平面的两个平面平行D垂直于同一平面的两条直线平行2(2011·聊城模拟)设m、n是不同的直线，、是不同的平面，有以下四个命题：； m； m.其中真命题的序号是()A B C D3(2010·福建)如图，若是长方体ABCDA1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EHA1D1，则下列结论中不正确的是()AEHFGB四边形EFGH是矩形C是棱柱D是棱台4正四面体的内切球与外接球的半径之比为()A13 B19 C127 D1815(2011·广东)如图所示，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为()A6 B9C12 D186(2011·舟山月考)若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比为()A. B. C. D.7.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为()A. B.C. D.8(2011·四川)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面9(2011·临沂模拟)某几何体的三视图如图，则该几何体的体积的最大值为()A. B. C. D.10设P是60°的二面角l内一点，PA平面，PB平面，A、B分别为垂足，PA4，PB2，则AB的长是()A2 B2 C2 D411正三棱柱ABCA1B1C1的底面三角形的边长是a，D，E分别是BB1，CC1上的点，且ECBC2BD，则平面ADE与平面ABC的夹角的大小为()A30° B45°C60° D90°12(2011·丽水月考)如图所示，平面平面，A，B，AB与两平面、所成的角分别为和.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A、B，则ABAB等于()A21 B31C32 D43二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13如图，是AOB用斜二测画法画出的直观图AOB，则AOB的面积是_14.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H，N分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC，BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则点M只需满足条件_时，就有MN平面B1BDD1.15 (2011·上海)若圆锥的侧面积为2，底面面积为，则该圆锥的体积为_16(2011·阳江月考)正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC所成的角是_三、解答题(本大题共6小题，共70分)17(10分)有一个圆锥的侧面展开图是一个半径为5、圆心角为的扇形，在这个圆锥中内接一个高为x的圆柱(1)求圆锥的体积；(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？18(12分)已知在矩形ABCD中，AB4，AD3，沿对角线AC折叠，使面ABC与面ADC垂直，求B、D间的距离19(12分)(2011·陕西)如图，在ABC中，ABC60°，BAC90°，AD是BC上的高，沿AD把ABD折起，使BDC90°.(1)证明：平面ADB平面BDC；(2)设E为BC的中点，求与夹角的余弦值20(12分)(2011·广州模拟)如图，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A，B的任意一点，A1AAB2.(1)求证：BC平面AA1C；(2)求三棱锥A1ABC的体积的最大值21(12分)(2011·重庆)如图，在四面体ABCD中，平面ABC平面ACD，ABBC，ADCD，CAD30°.(1)若AD2，AB2BC，求四面体ABCD的体积(2)若二面角CABD为60°，求异面直线AD与BC所成角的余弦值22(12分)(2011·北京)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB2，BAD60°.(1)求证：BD平面PAC；(2)若PAAB，求PB与AC所成角的余弦值；(3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长第八章章末检测1D2.C3.D4.A5B由三视图可还原几何体的直观图如图所示此几何体可通过分割和补形的方法拼凑成一个长和宽均为3，高为的平行六面体，所求体积V3×3×9.6A7.B8B当l1l2，l2l3时，l1也可能与l3相交或异面，故A不正确；l1l2，l2l3l1l3，故B正确；当l1l2l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D不正确9D10.C11.B12.A131614.M线段FH15.16.30°17解(1)因为圆锥侧面展开图的半径为5，所以圆锥的母线长为5.设圆锥的底面半径为r，则2r5×，解得r3.(2分)所以圆锥的高为4.从而圆锥的体积Vr2×412.(4分)(2)右图为轴截面图，这个图为等腰三角形中内接一个矩形设圆柱的底面半径为a，则，从而a3x.(6分)圆柱的侧面积S(x)2(3x)x(4xx2)4(x2)2(0<x<4)(8分)当x2时，S(x)有最大值6.所以当圆柱的高为2时，圆柱有最大侧面积为6.(10分)18解方法一如图，过D、B分别作DEAC于点E，BFAC于点F，则由已知条件得AC5，DE，BF.AECF.EFAC2AE.(3分)，|2|22222·2·2·.(6分)面ADC面ABC，而DEAC，DE面ABC，DEBF.(8分)|2222.|，故B、D间的距离为.(12分)方法二同方法一，过E作FB的平行线交AB于P点，以E为坐标原点，以EP、EC、ED所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图则由方法一知DEFB，EF.(4分)D，B.(6分)|.(12分)19(1)证明折起前AD是BC边上的高，当ABD折起后，ADDC，ADDB.(2分)又DBDCD，AD平面BDC.(4分)AD平面ABD，平面ADB平面BDC.(6分)(2)解由BDC90°及(1)，知DA，DB，DC两两垂直不妨设DB1，以D为坐标原点，分别以，所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,3,0)，A(0,0，)，E(，0)，(9分)(，)，(1,0,0)，(10分)与夹角的余弦值为cos，.(12分)20(1)证明C是底面圆周上异于A，B的任意一点，且AB是圆柱底面圆的直径，BCAC.AA1平面ABC，BC平面ABC，AA1BC.(4分)AA1ACA，AA1平面AA1C，AC平面AA1C，BC平面AA1C.(5分)(2)解设ACx，在RtABC中，BC (0<x<2)，(7分)故VA1ABCSABC·AA1··AC·BC·AA1x (0<x<2)，(9分)即VA1ABCx.0<x<2,0<x2<4，当x22，即x时，三棱锥A1ABC的体积最大，最大值为.(12分)21.(1)解如图，设F为AC的中点，连接DF，由于ADCD，所以DFAC.故由平面ABC平面ACD，知DF平面ABC，即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，且DFADsin 30°1，AFADcos 30°.(2分)在RtABC中，因为AC2AF2，AB2BC，由勾股定理易知BC，AB，(4分)故四面体ABCD的体积V·SABC·DF××××1.(6分)(2)解方法一如图，设G，H分别为边CD，BD的中点，连接FG，FH，HG，则FGAD，GHBC，从而FGH是异面直线AD与BC所成的角或其补角(7分)设E为边AB的中点，连接EF，则EFBC，由ABBC，知EFAB.又由(1)有DF平面ABC，故由三垂线定理知DEAB.所以DEF为二面角CABD的平面角由题设知DEF60°.(9分)设ADa，则DFAD·sinCAD.在RtDEF中，EFDF·cotDEF·a，从而GHBCEFa.因为RtADERtBDE，故BDADa，从而，在RtBDF中，FHBD.(10分)又FGAD，从而在FGH中，因FGFH，由余弦定理得cosFGH.因此，异面直线AD与BC所成角的余弦值为.(12分)方法二如图，过F作FMAC，交AB于M.已知ADCD，平面ABC平面ACD，易知FC，FD，FM两两垂直，以F为原点，射线FM，FC，FD分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Fxyz.(7分)不妨设AD2，由CDAD，CAD30°，易知点A，C，D的坐标分别为A(0，0)，C(0，0)，D(0,0,1)，则(0，1)显然向量k(0,0,1)是平面ABC的法向量已知二面角CABD为60°，故可取平面ABD的单位法向量n (l，m，n)，使得n，k60°，从而n.由n，有mn0，从而m.由l2m2n21，得l±.设点B的坐标为(x，y,0)，由，n，取l，有解得或(舍去)易知l与坐标系的建立方式不合，舍去因此点B的坐标为(，0)(10分)所以(，0)，从而cos，.故异面直线AD与BC所成的角的余弦值为.(12分)22(1)证明因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD.又因为PA平面ABCD，所以PABD.所以BD平面PAC.(3分)(2)解设ACBDO，因为BAD60°，PAAB2，所以BO1，AOCO.如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，则P(0，2)，A(0，0)，B(1,0,0)，C(0，0)(6分)所以(1，2)，(0,2，0)设PB与AC所成角为，则cos .(6分)(3)解由(2)知(1，0)设P(0，t)(t>0)，则(1，t)设平面PBC的法向量m(x，y，z)，则·m0，·m0.所以令y，则x3，z.所以m(3，)同理，平面PDC的法向量n(3，)(10分)因为平面PBC平面PDC，所以m·n0，即60，解得t.所以PA.(12分)10