北京市朝阳区2013届高三数学第二次综合练习 文（朝阳二模）（含解析）北师大版.doc

2013年北京市朝阳区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1（5分）（2013朝阳区二模）已知集合M=0，1，3，N=x|x=3a，aM，则MN=（）A0B0，3C1，3，9D0，1，3，9考点：并集及其运算专题：计算题分析：把集合M中的元素分别代入x=3a得到集合N，然后直接利用并集运算求解解答：解：由M=0，1，3，N=x|x=3a，aM，则N=0，3，9所以MN=0，1，30，3，9=0，1，3，9故选D点评：本题考查了并集及其运算，解答的关键是注意集合中元素的互异性，是基础题2（5分）（2013朝阳区二模）已知p：（x1）（x2）0，q：log2（x+1）1，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件考点：其他不等式的解法；必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：计算题；规律型分析：通过求解不等式求出p，解答对数不等式求解q，然后利用充要条件的判断方法判断即可解答：解：由题意可知p：（x1）（x2）0，可得p：1x2；q：log2（x+1）1，可得x+12，所以q：1x，所以p：（x1）（x2）0，q：log2（x+1）1，则p是q的充分不必要条件故选A点评：本题考查二次不等式的解法，对数不等式的求解，充要条件的判断，基本知识的应用3（5分）（2013朝阳区二模）函数（xR）的图象的一条对称轴方程是（）Ax=0BCD考点：正弦函数的对称性专题：计算题分析：利用正弦函数的性质可求得f（x）=sin（x）的对称轴方程，从而可选到答案解答：解：f（x）=sin（x）的对称轴方程由x=k+得：x=k+，当k=1时，x=即为其一条对称轴的方程，故选B点评：本题考查正弦函数的对称性，求得f（x）=sin（x）的对称轴方程是关键，也可将选项中的数据代入曲线方程，使之取到最值即可，属于中档题4（5分）（2013朝阳区二模）执行如图所示的程序框图，若输出的结果是16，则判断框内的条件是（）An6？Bn7？Cn8？Dn9？考点：程序框图专题：阅读型；图表型分析：根据框图运行后输出的结果是16，从s=0，n=1开始假设判断框中的条件不满足，执行“否”路径，依次执行到s的值为16时看此时的n值，此时的n值应满足判断框中的条件，由此即可得到答案解答：解：框图首先赋值s=0，n=1，执行s=0+1=1，n=1+2=3；判断框中的条件不满足，执行s=1+3=4，n=3+2=5；判断框中的条件不满足，执行s=4+5=9，n=5+2=7；判断框中的条件不满足，执行s=9+7=16，n=7+2=9；此时判断框中的条件满足，执行“是”路径，输出结果为16由此看出，判断框中的条件应是选项C，即n8故选C点评：本题考查了程序框图，考查了直到型循环，直到型循环是先执行后判断，不满足条件执行循环，直到条件满足算法结束，是基础题5（5分）（2013朝阳区二模）若双曲线的渐近线与抛物线y=x2+2相切，则此双曲线的离心率等于（）A2B3CD9考点：双曲线的简单性质专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：把双曲线的渐近线与抛物线方程联立，由相切=0即可得出a、b的关系式，再利用双曲线的离心率的计算公式e=即可得出解答：解：由双曲线可得渐近线方程为联立，消去y得到双曲线的渐近线与抛物线y=x2+2相切，化为此双曲线的离心率e=3故选B点评：熟练掌握双曲线的渐近线与抛物线相切转化为方程联立得到一元二次方程的=0，即可得出a、b的关系式，再利用双曲线的离心率的计算公式e=即可得出6（5分）（2013朝阳区二模）将一个质点随机投放在关于x，y的不等式组所构成的三角形区域内，则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是（）ABCD考点：简单线性规划的应用专题：不等式的解法及应用分析：画出关于x，y的不等式组所构成的三角形区域，求出三角形的面积；再求出据三角形的三顶点距离小于等于1的区域为三个扇形，三个扇形的和是半圆，求出半圆的面积；利用对理事件的概率公式及几何概型概率公式求出恰在离三个顶点距离都不小于1的地方的概率解答：解：画出关于x，y的不等式组所构成的三角形区域，如图三角形ABC的面积为S1=×3×4=6，离三个顶点距离都不大于1的地方的面积为S2=所以其恰在离三个顶点距离都不小于1的地方的概率为P=1=故选C点评：本题考查几何概型概率公式、简单线性规划的应用、扇形的面积公式，属于基础题7（5分）（2013朝阳区二模）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）ABCD1考点：由三视图求面积、体积专题：空间位置关系与距离分析：由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱锥，其高为1，底面是直角边长度为1的等腰直角三角形，故先求出底面积，再由体积公式求解其体积即可解答：解：由题设条件，此几何几何体为一个三棱锥，如图红色的部分其高已知为1，底面是直角边长度为1的等腰直角三角形，底面积是 ×1×1=其体积是 ××1=故选A点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能8（5分）（2013朝阳区二模）已知函数f（x）=a2|x|+1（a0），定义函数给出下列命题：F（x）=|f（x）|； 函数F（x）是奇函数；当a0时，若mn0，m+n0，总有F（m）+F（n）0成立，其中所有正确命题的序号是（）ABCD考点：命题的真假判断与应用专题：压轴题；函数的性质及应用分析：由题意得，F（x）=，再写出|f（x）|的表达式，它和F（x）并不是同一个函数，故错误；利用函数奇偶性的定义可证得当x0或x0时，F（x）=F（x）；故函数F（x）是奇函数，正确；当a0时，F（x）在（0，+）上是减函数，利用函数的单调性可得正确解答：解：由题意得，F（x）=，而|f（x）|=，它和F（x）并不是同一个函数，故错误；函数f（x）=a2|x|+1是偶函数，当x0时，x0，则F（x）=f（x）=f（x）=F（x）；当x0时，x0，则F（x）=f（x）=f（x）=F（x）；故函数F（x）是奇函数，正确；当a0时，F（x）在（0，+）上是减函数，若mn0，m+n0，总有mn0，F（m）F（n），即f（m）F（n），F（m）+F（n）0成立，故正确故选C点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、命题的真假判断与应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9（5分）（2013朝阳区二模）设i为虚数单位，计算=2i考点：复数代数形式的乘除运算专题：计算题分析：复数的分母实数化，化简为a+bi的形式即可解答：解：=2i故答案为：2i点评：本题考查复数的基本运算，复数的分母实数化是解题的关键10（5分）（2013朝阳区二模）已知向量=（2，1），=（3，x），若（2），则x的值为1或3考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系专题：平面向量及应用分析：向量表示错误：由题意可得，（2）=0，即 2（6+x）（9+x2）=0，由此求得x的值解答：解：向量=（2，1），=（3，x），（2），（2）=2=2（6+x）（9+x2）=0，即 x22x3=0，解得 x=1，或 x=3，故答案为1 或3点评：本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题11（5分）（2013朝阳区二模）已知等差数列an的公差为2，a3是a1与a4的等比中项，则首项a1=8，前n项和Sn=n2+9n考点：等差数列的前n项和专题：等差数列与等比数列分析：由题意可得（a14）2=a1（a16），解之可得a1，代入求和公式可得Sn解答：解：由题意可得（a14）2=a1（a16），解得a1=8，故Sn=na1+=8nn2+n=n2+9n故答案为：8；n2+9n点评：本题考查等差数列的前n项和公式和等比中项的定义，属基础题12（5分）（2013朝阳区二模）若直线l与圆x2+（y+1）2=4相交于A，B两点，且线段AB的中点坐标是（1，2），则直线l的方程为xy3=0考点：直线与圆的位置关系专题：直线与圆分析：设圆心为C，AB的中点为D，由直线和圆相交的性质可得，直线lCD，求出直线l的斜率为 的值，再用点斜式求得直线l的方程解答：解：设圆C：x2+（y+1）2=4的圆心C（0，1），弦AB的中点坐标是D（1，2），由直线和圆相交的性质可得 直线lCD，直线l的斜率为=1，故直线l的方程为 y+2=x1，即 xy3=0，故答案为 xy3=0点评：本题主要考查直线和圆相交的性质，用点斜式求直线的方程，属于中档题13（5分）（2013朝阳区二模）某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x吨（x为600的约数），运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x万元若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买30吨考点：根据实际问题选择函数类型专题：计算题分析：由某公司每次都购买x吨，由于一年购买某种货物600吨，得出需要购买的次数，从而求得一年的总运费与总存储费用之和，最后利用基本不等式求得一年的总运费与总存储费用之和最小即可解答：解：某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x吨，则需要购买 次，运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x万元，一年的总运费与总存储费用之和为 3+2x万元3+2x=120，当 =2x，即x=30吨时，等号成立每次购买30吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小故答案为30点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用、基本不等式求最值，属于中档题解决实际问题的关键是选择好分式函数模型14（5分）（2013朝阳区二模）数列2n1的前n项1，3，7，2n1组成集合，从集合An中任取k（k=1，2，3，n）个数，其所有可能的k个数的乘积的和为Tk（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记Sn=T1+T2+Tn例如当n=1时，A1=1，T1=1，S1=1；当n=2时，A2=1，3，T1=1+3，T2=1×3，S2=1+3+1×3=7则当n=3时，S3=63；试写出Sn=考点：等差数列与等比数列的综合；进行简单的合情推理专题：综合题；等差数列与等比数列分析：根据Sn=T1+T2+Tn的意义即可求得n=3时S3根据S1，S2，S3，猜想1，然后利用数学归纳法证明即可解答：解：当n=3时，A3=1，3，7，T1=1+3+7=11，T2=1×3+1×7+3×7=31，T3=1×3×7=21，所以S3=11+31+21=63；由S1=1=211=1，S2=7=231=1，S3=63=261=1，猜想1，下面证明：（1）易知n=1时成立；（2）假设n=k时1，则n=k+1时，Sk+1=T1+T2+T3+Tk+1=T1+（2k+11）+T2+（2k+11）T1+T3+（2k+11）T2+Tk+（2k+11）（其中Ti，i=1，2，k，为n=k时可能的k个数的乘积的和为Tk），=（）+（2k+11）+（2k+11）（）=Sk+（2k+11）+（2k+11）Sk=2k+1（1）+（2k+11）=1=1，即n=k时1也成立，综合（1）（2）知对nN*1成立所以1故答案为：63；1点评：本题考查等差、等比数列的综合，考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力，具有一定综合性，难度较大，能力要求较高三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15（13分）（2013朝阳区二模）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f（A）=（）求函数f（A）的最大值；（）若，求b的值考点：正弦定理；诱导公式的作用；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦专题：解三角形分析：（）利用三角恒等变换化简函数f（A）为，根据0A，利用正弦函数的定义域和值域求得f（A）取得最大值（）由题意知，由此求得A的值，再根据C的值，求得B的值，利用正弦定理求出b的值解答：解：（）=因为0A，所以则所以当，即时，f（A）取得最大值，且最大值为（7分）（）由题意知，所以又知，所以，则因为，所以，则由得， （13分）点评：本题主要考查三角恒等变换，正弦定理、正弦函数的定义域和值域，属于中档题16（13分）（2013朝阳区二模）为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试成绩低于6米为不合格，成绩在6至8米（含6米不含8米）的为及格，成绩在8米至12米（含8米和12米，假定该市初二学生掷实心球均不超过12米）为优秀把获得的所有数据，分成2，4），4，6），6，8），8，10），10，12五组，画出的频率分布直方图如图所示已知有4名学生的成绩在10米到12米之间（）求实数a的值及参加“掷实心球”项目测试的人数；（）根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率；（）若从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生再进行其它项目的测试，求所抽取的2名学生来自不同组的概率考点：频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式专题：概率与统计分析：（1）由频率分布直方图的性质可（0.2+0.15+0.075+a+0.025）×2=1，解方程即可得到a的值；再根据样本容量=频数÷频率，求出参加“掷实心球”项目测试的人数；（2）根据题意，成绩在最后两组的为优秀，其频率为0.15+0.05，由频率计算公式即可算出该样本中成绩优秀的人数，根据样本估计总体的原则得出估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率；（3）由频率计算公式得样本中第一组共有2人，得第二组共有6人用组合数的方法计算出基本事件的总数共有28个，而抽取的2名学生来自不同组构成的基本事件有12个由此结合古典概型计算公式即可算出所求概率解答：解：（）由题意可知（0.2+0.15+0.075+a+0.025）×2=1，解得a=0.05所以此次测试总人数为答：此次参加“掷实心球”的项目测试的人数为40人 （4分）（）由图可知，参加此次“掷实心球”的项目测试的初二男生，成绩优秀的频率为（0.15+0.05）×2=0.4，则估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率为0.4 （7分）（）设事件A：从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生来自不同组由已知，测试成绩在2，4）有2人，记为a，b；在4，6）有6人，记为c，d，e，f，g，h从这8人中随机抽取2人有C共28种情况事件A包括2×6共12种情况所以事件A的概率P=答：随机抽取的2名学生来自不同组的概率为 （13分）点评：本题给出频率分布直方图，求样本中成绩优秀的人数，并求一个随机事件的概率着重考查了频率分布的计算公式和古典概型计算公式等知识，属于基础题17（14分）（2013朝阳区二模）如图，已知四边形ABCD是正方形，EA平面ABCD，PDEA，AD=PD=2EA=2，F，G，H分别为BP，BE，PC的中点（）求证：FG平面PDE；（）求证：平面FGH平面AEB；（）在线段PC上是否存在一点M，使PB平面EFM？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定专题：空间位置关系与距离分析：（）利用三角形的中位线的性质证明FGPE，再根据直线和平面平行的判定定理证得结论（）先证明EACB、CBAB，可得CB平面ABE再根据FHBC，则FH平面ABE（）在线段PC上存在一点M，满足条件先证明PE=BE，根据F为PB的中点，可得EFPB要使PB平面EFM，只需使PBFM即可此时，则PFMPCB，根据对应边成比列求得PB、PF、PC的值，可得PM的值解答：（）证明：因为F，G分别为PB，BE的中点，所以FGPE又因为FG平面PED，PE平面PED，所以，FG平面PED（4分）（）因为EA平面ABCD，所以EACB又因为CBAB，ABAE=A，所以CB平面ABE由已知F，H分别为线段PB，PC的中点，所以FHBC，则FH平面ABE而FH平面FGH，所以平面FGH平面ABE（9分）（）在线段PC上存在一点M，使PB平面EFM证明如下：在直角三角形AEB中，因为AE=1，AB=2，所以在直角梯形EADP中，因为AE=1，AD=PD=2，所以，所以PE=BE又因为F为PB的中点，所以EFPB要使PB平面EFM，只需使PBFM因为PD平面ABCD，所以PDCB，又因为CBCD，PDCD=D，所以CB平面PCD，而PC平面PCD，所以CBPC若PBFM，则PFMPCB，可得由已知可求得，所以（14分）点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，直线和平面垂直的判定定理、平面和平面垂直的判定定理的应用，属于中档题18（13分）（2013朝阳区二模）已知函数f（x）=，g（x）=alnxx（a0）（）求函数f（x）的单调区间；（）求证：当a0时，对于任意x1，x2（0，e，总有g（x1）f（x2）成立考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质专题：函数的性质及应用；导数的综合应用分析：（I）先求函数f（x）的导数，再对字母a进行分类讨论，根据导数大于0函数单调递增，导数小于0时函数单调递减可得答案（）欲证当a0时，对于任意x1，x2（0，e，总有g（x1）f（x2）成立，只须证明对于任意x1，x2（0，e，总有g（x）maxf（x）min由（）可知，当a0时，f（x）在（0，1）上单调递增，f（x）在（1，e上单调递减，从而有f（x）min=a，同样地利用导数可得，当a0时，g（x）在（0，a）上单调递增，g（x）在（a，e上单调递减，从而g（x）max=g（a）=alnaa，最后利用作差法即可得到g（x）maxf（x）min解答：解：（）函数f（x）的定义域为R，当a0时，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x（，1）1（1，1）1（1，+）f'（x）0+0f（x）当a0时，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x（，1）1（1，1）1（1，+）f'（x）+00+f（x）综上所述，当a0时，f（x）的单调递增区间为（1，1），单调递减区间为（，1），（1，+）；当a0时，f（x）的单调递增区间为（，1），（1，+），单调递减区间为（1，1）（5分）（）由（）可知，当a0时，f（x）在（0，1）上单调递增，f（x）在（1，e上单调递减，又f（0）=a，f（e）=所以f（x）min=a，同样地，当a0时，g（x）在（0，a）上单调递增，g（x）在（a，e上单调递减，所以g（x）max=g（a）=alnaa，因为a（alnaa）=a（2lna）a（2lne）=a0，所以对于任意x1，x2（0，e，总有g（x）max=g（e）=alnaaa=f（x）min所以对于任意x1，x2（0，e，仍有x1，x2（0，e综上所述，对于任意x1，x2（0，e，总有g（x1）f（x2）成立（13分）点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题19（14分）（2013朝阳区二模）已知椭圆C：（ab0），C的右焦点F（1，0），长轴的左、右端点分别为A1，A2，且（）求椭圆C的方程；（）过焦点F斜率为k（k0）的直线l交椭圆C于A，B两点，弦AB的垂直平分线与x轴相交于点D试问椭圆C上是否存在点E使得四边形ADBE为菱形？若存在，试求点E到y轴的距离；若不存在，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）题目给出了椭圆的右焦点坐标，则知道了c的值，再由，列式求出a2的值，结合隐含条件b2=a2c2求出b2的值，则椭圆方程可求；（）由点斜式写出直线l的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数的关系求出A，B中点的坐标，然后写出MD所在的直线方程，求出D点的坐标，根据四边形ADBE是菱形，列式求出E点的坐标，把E点的坐标代入椭圆方程求出k2的值，则E点到y轴的距离可求解答：解：（）依题设A1（a，0），A2（a，0），则，由，得：（a1）（a1）=1，解得a2=2，又c=1，所以b2=1所以椭圆C的方程为（）椭圆C上是否存在点E使得四边形ADBE为菱形事实上，依题直线l的方程为y=k（x1）联立，得：（2k2+1）x24k2x+2k22=0设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点为M（x0，y0），则，所以，所以则直线MD的方程为，令y=0，得，则若四边形ADBE为菱形，则xE+xD=2x0，所以yE+yD=2y0，所以所以若点E在椭圆C上，则即9k4+8k2=2（2k2+1）2整理得k4=2，解得所以椭圆C上存在点E使得四边形ADBE为菱形此时点E到y轴的距离为=点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和椭圆的位置关系，训练了设而不求的解题方法，此法的依据是二次方程中根与系数的关系，训练了学生的计算能力，属有一定难度题目20（13分）（2013朝阳区二模）已知实数x1，x2，xn（nN*且n2）满足|xi|1（i=1，2，n），记（）求及S（1，1，1，1）的值；（）当n=3时，求S（x1，x2，x3）的最小值；（）当n为奇数时，求S（x1，x2，xn）的最小值注：表示x1，x2，xn中任意两个数xi，xj（1ijn）的乘积之和考点：函数与方程的综合运用专题：函数的性质及应用分析：（）根据已知中S（x1，x2，xn）的计算方法可得得及S（1，1，1，1）的值（）n=3时，再固定x2，x3，仅让x1变动，那么S是x1的一次函数或常函数，因此SminS（1，x2，x3），S（1，x2，x3）同理S（1，x2，x3）minS（1，1，x3），S（1，1，x3）S（1，x2，x3）minS（1，1，x3），S（1，1，x3）以此类推，我们可以看出SminS（x1，x2，x3）从而求得S（x1，x2，xn）的最小值（）=x1x2+x1x3+x1xn+x2x3+x2xn+xn1xn固定x2，x3，xn，仅让x1变动，那么S是x1的一次函数或常函数，类似于（II）中的方法得出S（x1，x2，xn）的最小值解答：解：（）由已知得S（1，1，1，1）=11111+1=2 （3分）（）n=3时，固定x2，x3，仅让x1变动，那么S是x1的一次函数或常函数，因此SminS（1，x2，x3），S（1，x2，x3）同理S（1，x2，x3）minS（1，1，x3），S（1，1，x3）S（1，x2，x3）minS（1，1，x3），S（1，1，x3）以此类推，我们可以看出，S的最小值必定可以被某一组取值±1的x1，x2，x3所达到，于是SminS（x1，x2，x3）当xk=±1（k=1，2，3）时，=因为|x1+x2+x3|1，所以，且当x1=x2=1，x3=1，时S=1，因此Smin=1 （7分）（）=x1x2+x1x3+x1xn+x2x3+x2xn+xn1xn固定x2，x3，xn，仅让x1变动，那么S是x1的一次函数或常函数，因此SminS（1，x2，x3，xn），S（1，x2，x3，xn）同理S（1，x2，x3，xn）minS（1，1，x3，xn），S（1，1，x3，xn）S（1，x2，x3，xn）minS（1，1，x3，xn），S（1，1，x3，xn）以此类推，我们可以看出，S的最小值必定可以被某一组取值±1的x1，x2，xn所达到，于是SminS（x1，x2，x3，xn）当xk=±1（k=1，2，n）时，=当n为奇数时，因为|x1+x2+xn|1，所以，另一方面，若取，那么，因此（13分）点评：本题主要考查函数与方程的综合运用、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查逻辑推理能力属于难题15