云南省玉溪一中2012-2013学年高二数学下学期期中试题 理 新人教A版.doc

玉溪一中2014届高二下学期期中考试数学试题（理科）班级 学号 姓名 第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合Ax|x1或x1，Bx|log2x0，则AB（ ）A. x|x1 B. x|x0 C. x|x1 D. x|x1或x12.等于（ ）A. 34i B. 34i C. 34i D. 34i3.已知Mdx，Ncos215°sin215°，则（ ）A. MN B. MN C. MN D. 以上都有可能4.一个体积为12的正三棱柱的三视图如图1所示，则这个三棱柱的左视图的面积为（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 65.函数f(x)x22lnx的单调递减区间是（ ）A. (0，1 B. 1，) C. (，1(0，1 D. 1，0)(0，16.若不等式a|t1|t2|对任意tR恒成立，则函数f(x)log(x25x6)的单调递减区间为（ ）A. (，) B. (3，) C. (，) D. (，2)7.给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f(x)存在，且导函数f(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f(x)(f(x)，若f(x)0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在(0，)上不是凸函数的是（ ）A. f(x)sinxcosx B. f(x)lnx2x C. f(x)x32x1 D. f(x)xex8.函数yx21（0x2）的图象上任意点处切线的倾斜角记为，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 9.在区间1，5和2，4分别取一个数，记为a，b，则方程1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（ ）A. B. C. D. 10.已知椭圆1（ab0）的一个焦点为F，若椭圆上存在一个P点，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于该线段的中点，则该椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 11.定义在R上的可导函数f(x)满足f(x2)f(x)2f(1)，yf(x1)的图象关于直线x1对称，且当x2，4时，f(x)x22xf(2)，则f()与f()的大小关系是（ ）A. f()f() B. f()f() C. f()f() D. 不确定12.函数f(x)满足f(0)0，其导函数f(x)的图象如图2，则f(x)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（ ）A. 1 B. C. 2 D. 第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.执行如图3所示的程序框图，输出结果是 .14.已知函数f(x)x3f()x2x，则函数f(x)的图象在点(，f()处的切线方程是 .15.如图4，矩形ABCD内的阴影部分是由曲线f(x)2x22x及直线y2x围成的，现向矩形ABCD内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为 .16.函数f(x)（xR）满足f(1)1，且f(x)在R上的导函数f(x)，则不等式f(lnx)的解集为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）数列an中，a1t，a2t2(t0且t1). x是函数f(x)an1x33(t1)anan1x1(n2)的一个极值点.（）证明数列an1an是等比数列；（）求数列an的通项公式.18.（本小题满分12分）已知函数f(x)xlnx.（）求f(x)的最小值；（）若对所有x1都有f(x)ax1，求实数a的取值范围.19.（本小题满分12分）如图5，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB2AD2，BD，PD底面ABCD.（）证明：平面PBC平面PBD；（）若二面角PBCD为，求AP与平面PBC所成角的正弦值.20.（本小题满分12分）已知椭圆方程为1（ab0），它的一个顶点为M(0，1)，离心率e .（）求椭圆方程；（）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1k23.求证：直线AB过定点，并求出直线AB的斜率k的取值范围.21.（本小题满分12分）已知aR，函数f(x)lnx1，g(x)(lnx1)exx（其中e2.718）.（）求函数f(x)在区间(0，e上的最小值；（）是否存在实数x0(0，e，使曲线yg(x)在点xx0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由.22.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)|x2a|，不等式f(x)4的解集为x|2x6.（）求实数a的值；（）若存在xR，使不等式f(x)f(x2)m成立，求实数m的取值范围.玉溪一中2014届高二下学期期中考试数学试题（理科）参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1. A ； 2. B ； 3. B ； 4. D ； 5. A ； 6. B ； 7. D ； 8. D ； 9. B ； 10. A ； 11. B ； 12. B . 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13. ； 14. 27x27y40； 15. ； 16.0xe .三、解答题：本大题共6个小题，共70分.17.（本小题满分10分）解：（）f(x)3an1x23(t1)anan1(n2).由题意f()0，即3an1()23(t1)anan10(n2)， an1ant(anan1)(n2). t0且t1， 数列an1an是以t2t为首项，t为公比的等比数列.（）由（）所证，数列an1an是等比数列， an1an(t2t)tn1(t1)·tn， a2a1(t1)t，a3a2(t1)·t2，anan1(t1)tn1 .相加得ana1(t1)(tt2tn1)， antn (n2)，当n1时，上式也成立， antn .18.（本小题满分12分）解：（）由题意知f(x)的定义域为(0，)，f(x)1lnx.令f(x)0，解得x； 令f(x)0，解得0x .从而f(x)在(0，)上单调递减，在(，)上单调递增. 当x时，f(x)取得最小值 .（）依题意得f(x)ax1在1，)上恒成立，即不等式alnx对于x1，)恒成立.令g(x)lnx，则g(x)(1).当x1时， g(x)(1)0，故g(x)是(1，)上的增函数， g(x)的最小值是g(1)1， a的取值范围是(，1.19.（本小题满分12分）解：（）因为CD2BC2BD2，所以BCBD.又因为PD底面ABCD，所以PDBC.又因为PDBDD，所以BC平面PBD.而BC平面PBC，所以平面PBC平面PBD.（）由（）所证，BC平面PBD.所以PBD即为二面角PBCD的平面角，即PBD .而BD，所以PD1.分别以DA，DB，DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(0，0)，C(1，0)，P(0，0，1)，所以AP(1，0，1)，BC(1，0，0)，BP(0，1).设平面PBC的法向量为n(a，b，c)， 则 即 可解得n(0，1，)，所以AP与平面PBC所成角的正弦值为sin.20.（本小题满分12分）解：（）依题意，得 解得 椭圆方程为y21.（）显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为ykxt，代入椭圆方程，得(3k21)x26ktx3(t21)0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1·x2，由k1k23，得3，又y1kx1t，y2kx2t，由，得2k(t1)·3，化简，得t .则直线AB的方程为ykxk(x)1， 直线AB过定点(，1).又由于直线AB和椭圆有两个不同的交点，则36k2t212(3k21)(t21)0，又t，解得直线AB的斜率的取值范围是k或k0 .21.（本小题满分14分）解：（） f(x)lnx1，x(0，e， f(x) .令f(x)0，得xa. 若a0，则f(x)0，f(x)在区间(0，e上单调递增，此时函数f(x)无最小值. 若0ae，当x(0，a)时，f(x)0，函数f(x)在区间(0，a)上单调递减；当x(a，e时，f(x)0，函数f(x)在区间(a，e上单调递增，所以当xa时，函数f(x)取得最小值lna. 若ae，则f(x)0，函数f(x)在区间(0，e上单调递减，所以当xe时，函数f(x)取得最小值 .综上可知，当a0时，函数f(x)在区间(0，e上的无最小值；当0ae时，函数f(x)在区间(0，e上的最小值为lna；当ae时，函数f(x)在区间(0，e上的最小值为 .（） g(x)(lnx1)exx，x(0，e， g(x)(lnx1)ex(lnx1)(ex)1(lnx1)ex1(lnx1)ex1.由（）可知，当a1时，f(x)lnx1.此时f(x)在区间(0，e上的最小值为ln10，即lnx10.当x0(0，e，ex00，lnx010， g(x0)(lnx01)ex0110.曲线yg(x)在点xx0处的切线与y轴垂直等价于方程g(x0)0有实数解，而g(x0)0，即方程g(x0)0无实数解.故不存在x0(0，e，使曲线yg(x)在点xx0处的切线与y轴垂直.22.（本小题满分10分）解：（）由f(x)4，得|x2a|4，解得2a4x2a4，又已知不等式f(x)4的解集为x|2x6，所以 解得a1.（）由（）可知，f(x)|x2|，设g(x)f(x)f(x2)，即g(x)|x2|x|当x0时，g(x)2；当3x2时，g(x)2；当x2时，g(x)2.综上，g(x)2，故m2. - 8 -