第八章拉普拉斯变换PPT讲稿.ppt

第八章拉普拉斯变换第八章拉普拉斯变换第1页，共61页，编辑于2022年，星期三目录单边拉氏变换的性质单边拉氏变换的性质8-4 引言引言8-1拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义8-2典型信号的拉氏变换典型信号的拉氏变换8-3拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换8-5连续时间连续时间LTI系统的复频域分析系统的复频域分析8-62第2页，共61页，编辑于2022年，星期三H(s)的零极点分布与时域特性的零极点分布与时域特性h(t)的关系的关系8-9电路的复频域分析法电路的复频域分析法8-7系统函数系统函数H(s)8-8系统的稳定性分析系统的稳定性分析8-10根轨迹分析法简介根轨迹分析法简介8-113第3页，共61页，编辑于2022年，星期三8-1 引言引言 在十九世纪末，英国工程师亥维赛德（在十九世纪末，英国工程师亥维赛德（O.Heaviside 18501925）发明了）发明了“运算法运算法”（算子法）。解决电工程计算中遇（算子法）。解决电工程计算中遇到的一些基本问题。到的一些基本问题。法国数学家拉普拉斯（法国数学家拉普拉斯（P.C.Laplac，17491825年）的著年）的著作中为亥维赛德运算法找到了可靠的数学依据，重新给予严作中为亥维赛德运算法找到了可靠的数学依据，重新给予严密的数学定义，为之取名拉普拉斯变换（简称拉氏变换）。密的数学定义，为之取名拉普拉斯变换（简称拉氏变换）。拉普拉斯变换方法在电学，控制理论等众多的工程和科学领域中拉普拉斯变换方法在电学，控制理论等众多的工程和科学领域中得到广泛应用。得到广泛应用。4第4页，共61页，编辑于2022年，星期三8-1-2 复频域分析法复频域分析法以傅里叶变换为基础的频域分析方法的优点在于：以傅里叶变换为基础的频域分析方法的优点在于：它给出的结果有着清楚的物理意义，它给出的结果有着清楚的物理意义，傅里叶变换的不足之处：傅里叶变换的不足之处：傅里叶变换只能处理符合绝对可积（傅里叶变换只能处理符合绝对可积（）条件的信号，）条件的信号，而很多重要信号，如周期信号、阶跃信号和直流信号是不满足绝对可积条而很多重要信号，如周期信号、阶跃信号和直流信号是不满足绝对可积条件的，因而其信号的分析受到限制。件的，因而其信号的分析受到限制。5第5页，共61页，编辑于2022年，星期三复频域分析法的核心问题是运用拉普拉斯变换（简称拉氏变复频域分析法的核心问题是运用拉普拉斯变换（简称拉氏变换）对系统进行分析，研究系统的传输函数（又称系统函数）换）对系统进行分析，研究系统的传输函数（又称系统函数），系统的时域特性，频率特性和系统稳定性等诸多重要问题。，系统的时域特性，频率特性和系统稳定性等诸多重要问题。它在通信与控制领域至少有以下几个方面的应用：它在通信与控制领域至少有以下几个方面的应用：简化线性微分方程求解，也即简化电路分析的时域求解。简化线性微分方程求解，也即简化电路分析的时域求解。建立系统函数，由求建立系统函数，由求 H(s)。由由H(s)零、极点求系统频响特性。零、极点求系统频响特性。由由 H(s)零、极点研究系统稳定性，分析反馈系统性能。零、极点研究系统稳定性，分析反馈系统性能。6第6页，共61页，编辑于2022年，星期三8-2-1 从傅立叶变换导出拉氏变换从傅立叶变换导出拉氏变换信号信号 ，乘以衰减因子，乘以衰减因子 （为任意实数）后，很容易为任意实数）后，很容易满足绝对可积条件。满足绝对可积条件。根据傅里叶变换定义：根据傅里叶变换定义：令令 ，具有频率的量纲，称为复频率。，具有频率的量纲，称为复频率。7第7页，共61页，编辑于2022年，星期三将上式于傅立叶变换定义式比较，可写作将上式于傅立叶变换定义式比较，可写作取傅立叶反变换取傅立叶反变换等式的两边都乘以等式的两边都乘以 ，则时间信号，则时间信号 可表示为可表示为令令 则则，可得，可得8（8-1）（8-2）（8-3）第8页，共61页，编辑于2022年，星期三（8-3）式是）式是 信号的双边拉氏变换，称信号的双边拉氏变换，称 是是 的象函数。的象函数。（8-2）式是）式是 的拉氏逆变换，称的拉氏逆变换，称 是是 的原函数。这两个积分式可简单记的原函数。这两个积分式可简单记作作9是一对拉氏变换对是一对拉氏变换对在实际应用中，经常遇到的时间信号大多数是有起因信号，即在实际应用中，经常遇到的时间信号大多数是有起因信号，即式称为式称为 信号的单边拉氏变换。信号的单边拉氏变换。第9页，共61页，编辑于2022年，星期三8-2-2 拉氏变换的收敛域拉氏变换的收敛域时间信号时间信号 的单边拉氏变换为的单边拉氏变换为 若变若变换式换式 存在，则是被积函数为收敛函数，即存在，则是被积函数为收敛函数，即收敛域（收敛域（ROC）：使）：使F(s)存在的存在的s的区域称为收敛域。要满足的区域称为收敛域。要满足10收敛域的表示法收敛域的表示法第10页，共61页，编辑于2022年，星期三【例题【例题8-1】时间信号时间信号 （）是单边信号，位于）是单边信号，位于 的区间，故称其为右边信号，求其收敛域。的区间，故称其为右边信号，求其收敛域。解：解：11即即 时，时，存在存在ROC：ROC第11页，共61页，编辑于2022年，星期三【例题【例题8-2】（）为增长的单边指数信号，求其）为增长的单边指数信号，求其收敛域。收敛域。解：解：即即 时，时，存在存在12ROC：第12页，共61页，编辑于2022年，星期三【例题【例题8-3】（），求其收敛域。），求其收敛域。解：解：13即即 时，时，存在存在ROC：第13页，共61页，编辑于2022年，星期三例题【例题【8-3】是左边信号的拉氏变换，而例题【】是左边信号的拉氏变换，而例题【8-2】是右边】是右边信号的拉氏变换，两个不同的时间信号具有相同形式的拉氏信号的拉氏变换，两个不同的时间信号具有相同形式的拉氏变换，有同一个收敛坐标点，但是，使它们的拉氏变换存在变换，有同一个收敛坐标点，但是，使它们的拉氏变换存在的条件，即的条件，即 所在区域却截然不同。由此可以看出，如果已所在区域却截然不同。由此可以看出，如果已知象函数知象函数F(s)，必须要连同它的，必须要连同它的ROC一起，才能唯一的确定一起，才能唯一的确定相应的时间信号相应的时间信号 f(t)。由于我们研究的信号，大都是在由于我们研究的信号，大都是在t 为正值的范围，为正值的范围，所以本书只研究所以本书只研究 的单边信号的拉氏变换，因此不用写收敛域。的单边信号的拉氏变换，因此不用写收敛域。14第14页，共61页，编辑于2022年，星期三【例题【例题8-4】，求其收敛域。，求其收敛域。解：解：在在t 0 区间区间欲存在拉氏变换，必须满足欲存在拉氏变换，必须满足15 时，即时，即 ROC：时，即时，即 第15页，共61页，编辑于2022年，星期三【例题【例题8-5】，求其收敛域。，求其收敛域。解：解：本身是一个有限积分式，其本身是一个有限积分式，其ROC为整个为整个s平面。平面。16第16页，共61页，编辑于2022年，星期三8-3 典型信号的拉氏变换典型信号的拉氏变换1 指数信号指数信号17即：即：若若 ，则有，则有若若 ，则有，则有若若 ，信号为阶跃函数，则有，信号为阶跃函数，则有第17页，共61页，编辑于2022年，星期三18即：即：若若 ，则得到等幅振荡的拉氏变换为，则得到等幅振荡的拉氏变换为2 变幅正弦函数变幅正弦函数第18页，共61页，编辑于2022年，星期三3 单位冲激函数及其导数单位冲激函数及其导数19即：即：即：即：第19页，共61页，编辑于2022年，星期三4 单位斜坡函数单位斜坡函数20即即用同样的方法，也可得用同样的方法，也可得依次类推依次类推第20页，共61页，编辑于2022年，星期三8-4 单边拉氏变换的性质单边拉氏变换的性质1、线性线性2、时移、时移21若若则则若若则则证明：证明：第21页，共61页，编辑于2022年，星期三令令 ，上式可写为，上式可写为周期信号周期信号 可以表示为可以表示为若已知若已知 的拉氏变换为的拉氏变换为 ，则周期信号的拉氏变换为，则周期信号的拉氏变换为22所以所以第22页，共61页，编辑于2022年，星期三23【例题例题8-6】求下图所示周期性矩形脉冲的拉氏变换。求下图所示周期性矩形脉冲的拉氏变换。解：解：周期性矩形脉冲周期性矩形脉冲 的第一个周期的信号的第一个周期的信号 第23页，共61页，编辑于2022年，星期三24根据周期信号的拉氏变换得到根据周期信号的拉氏变换得到 拉氏变换为拉氏变换为第24页，共61页，编辑于2022年，星期三【例题【例题8-7】求周期重复的冲激信号的拉氏变换。求周期重复的冲激信号的拉氏变换。解：解：周期重复的冲激信号周期重复的冲激信号 的第一个周期的信号是的第一个周期的信号是 ，其拉氏变，其拉氏变换为换为25所以所以第25页，共61页，编辑于2022年，星期三3、频移特性、频移特性若若则则【例题【例题8-8】信号】信号 ，求该信号的拉氏变换解：，求该信号的拉氏变换解：因为因为 所以所以 即即 26第26页，共61页，编辑于2022年，星期三4、尺度变换、尺度变换若若则则推论：推论：【例题【例题8-9】已知函数】已知函数 ，求，求 的拉氏变换。的拉氏变换。解：解：根据时移特性得到根据时移特性得到 的拉氏变换的拉氏变换27第27页，共61页，编辑于2022年，星期三信号信号 ，这里，这里 ，则，则 的拉氏变换为的拉氏变换为5、时域微分性质、时域微分性质若若则则证明：证明：对拉氏变换定义式对拉氏变换定义式28第28页，共61页，编辑于2022年，星期三29反复运用上述的证明过程，可推广至高阶导数反复运用上述的证明过程，可推广至高阶导数常常用到常常用到 的情况，即的情况，即第29页，共61页，编辑于2022年，星期三【例题【例题8-10】利用微分性质，求三角脉冲】利用微分性质，求三角脉冲 的拉氏变换的拉氏变换。30解解(1)第30页，共61页，编辑于2022年，星期三根据时域微分性质还有根据时域微分性质还有其中其中故得到三角脉冲的拉氏变换故得到三角脉冲的拉氏变换31(2)第31页，共61页，编辑于2022年，星期三10、时域卷积定理、时域卷积定理32若若，则有，则有第32页，共61页，编辑于2022年，星期三8-5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换由象函数求原函数的三种方法由象函数求原函数的三种方法(1)(1)部分分式法部分分式法(2)(2)利用留数定理利用留数定理围线积分法围线积分法(3)(3)数值计算方法数值计算方法利用计算机利用计算机33第33页，共61页，编辑于2022年，星期三8-5-1 部分分式法部分分式法34ai,bi 为实为实数，数，m,n为为正整数。正整数。分解分解零点零点极点极点第34页，共61页，编辑于2022年，星期三u 拉氏逆变换的过程拉氏逆变换的过程u部分分式展开法部分分式展开法(m n)35第35页，共61页，编辑于2022年，星期三36第36页，共61页，编辑于2022年，星期三37【例例题题8-13】解：解：由题知由题知第37页，共61页，编辑于2022年，星期三38第38页，共61页，编辑于2022年，星期三8-6 连续时间连续时间LTI系统的复频域分析系统的复频域分析描述连续时间描述连续时间LTI系统输入系统输入输出的关系，是用线性常系数微分输出的关系，是用线性常系数微分方程，方程，应用拉氏变换的微分和积分性质，可把微分方程变为应用拉氏变换的微分和积分性质，可把微分方程变为 s域的代数域的代数方程，在变换中自动地引入了初始条件，通过求解代数方程，方程，在变换中自动地引入了初始条件，通过求解代数方程，便可得到响应的象函数便可得到响应的象函数 ，再进行拉氏反变换运算，就可以，再进行拉氏反变换运算，就可以求出全响应的时间函数求出全响应的时间函数 。39第39页，共61页，编辑于2022年，星期三【例题【例题8-17】已知某系统的输入已知某系统的输入输出关系，其系统方程为输出关系，其系统方程为40解：解：根据拉氏变换的微分性质和积分性质，对系统方程取拉氏变换，根据拉氏变换的微分性质和积分性质，对系统方程取拉氏变换，得得第40页，共61页，编辑于2022年，星期三41整理后，得到响应的拉氏变换式为整理后，得到响应的拉氏变换式为第41页，共61页，编辑于2022年，星期三42再求零输入响应再求零输入响应第42页，共61页，编辑于2022年，星期三系统的全响应系统的全响应43第43页，共61页，编辑于2022年，星期三8-8 n阶微分方程的一般形式为阶微分方程的一般形式为44假定系统处于零状态，激励信号为起因信号，即假定系统处于零状态，激励信号为起因信号，即第44页，共61页，编辑于2022年，星期三45定义系统函数定义系统函数根据拉氏变换的卷积定理根据拉氏变换的卷积定理同样可得到同样可得到第45页，共61页，编辑于2022年，星期三46第46页，共61页，编辑于2022年，星期三8-9 H(s)的零极点分布与时域特性的零极点分布与时域特性h(t)的关系的关系 冲激响冲激响应应h(t)与系与系统统函数函数H(s)从从时时域和域和变换变换域两方面表征了同域两方面表征了同一系一系统统的本性。的本性。在在s域分析中，借助系域分析中，借助系统统函数在函数在s平面零点与极点分布的研平面零点与极点分布的研究，可以究，可以简简明、直明、直观观地地给给出系出系统统响响应应的的许许多多规规律。系律。系统统的的时时域、域、频频域特性集中地以其系域特性集中地以其系统统函数的零、极点分布表函数的零、极点分布表现现出来。出来。47第47页，共61页，编辑于2022年，星期三若系统函数为有理函数，则系统函数可以写出如下形式若系统函数为有理函数，则系统函数可以写出如下形式48在在s平面上，画出平面上，画出H(s)的零极点的零极点图图：极点：用极点：用表示，零点：用表示，零点：用表示表示第48页，共61页，编辑于2022年，星期三49第49页，共61页，编辑于2022年，星期三50第50页，共61页，编辑于2022年，星期三51 一阶极点一阶极点第51页，共61页，编辑于2022年，星期三二阶极点二阶极点52 第52页，共61页，编辑于2022年，星期三物理可实现的系统都是因果系统，随着时间物理可实现的系统都是因果系统，随着时间 ，这表明系，这表明系统的极点都位于虚轴统的极点都位于虚轴 的左半平面，此时收敛域包含虚轴在内。的左半平面，此时收敛域包含虚轴在内。包含虚轴的拉氏变换它的傅里叶变换也存在，只需将拉氏变换中的包含虚轴的拉氏变换它的傅里叶变换也存在，只需将拉氏变换中的s改为改为 即可，我们进一步可知连续时间信号虚轴上的拉氏变即可，我们进一步可知连续时间信号虚轴上的拉氏变换就是傅里叶变换。换就是傅里叶变换。53第53页，共61页，编辑于2022年，星期三8-10 系统的稳定性分析系统的稳定性分析54某连续时间系统的系统函数某连续时间系统的系统函数 当输入为当输入为 (t)时，系统的零状态响应的象函数为时，系统的零状态响应的象函数为 我们可以看到我们可以看到 t 很大时，很大时，但是，但是 这个正指数项这个正指数项超过其他项并随着超过其他项并随着t 的增大而不断增大。的增大而不断增大。第54页，共61页，编辑于2022年，星期三二定义（二定义（BIBO）一个系统，如果对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，一个系统，如果对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统有界输入有界输出则称该系统有界输入有界输出（BIBO）稳定的系统，简称稳定系稳定的系统，简称稳定系统统。55稳定性是系统自身的性质之一，系统是否稳定与激励信号的情况稳定性是系统自身的性质之一，系统是否稳定与激励信号的情况无关。无关。第55页，共61页，编辑于2022年，星期三 冲激响应冲激响应h(t)和系统函数和系统函数H(s)从两方面表征了同一系统的本性，从两方面表征了同一系统的本性，所以能从两个方面确定系统的稳定性。所以能从两个方面确定系统的稳定性。由由H(s)的极点位置判断系统稳定性的极点位置判断系统稳定性若若H(s)的全部极点位于的全部极点位于s平面的左半平面（不包括虚轴），平面的左半平面（不包括虚轴），则可满足则可满足 ，系统是稳定的。系统是稳定的。如果如果H(s)极点位于极点位于s平面虚轴上，且只有一阶。平面虚轴上，且只有一阶。如果如果H(s)的极点位于的极点位于s右半平面，或在虚轴上有二阶（或右半平面，或在虚轴上有二阶（或以上）极点，则以上）极点，则 ，系统是不稳定系统，系统是不稳定系统56第56页，共61页，编辑于2022年，星期三【例题【例题8-21】判断下列因果系统是否稳定判断下列因果系统是否稳定57解：画出系统函数的零极点图解：画出系统函数的零极点图第57页，共61页，编辑于2022年，星期三58【例题例题8-22】如图所示反馈系统，子系统的系统函数如图所示反馈系统，子系统的系统函数，求当常数，求当常数k满足什么条件时，满足什么条件时，系统是稳定的？系统是稳定的？第58页，共61页，编辑于2022年，星期三解：解：首先列出系统的微分方程首先列出系统的微分方程 加法器输出端的信号加法器输出端的信号59输出信号输出信号则反馈系统的系统函数为则反馈系统的系统函数为第59页，共61页，编辑于2022年，星期三为使极点均在为使极点均在s左半平面，必须左半平面，必须60第60页，共61页，编辑于2022年，星期三61第61页，共61页，编辑于2022年，星期三