北京66中2012-2013学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）北师大版.doc

2012-2013学年北京66中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1（3分）（2010湖南）复数的值为（）A1iB1+iC1iD1+i考点：复数代数形式的乘除运算专题：计算题分析：复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化为a+bi（a、bR），可得选项解答：解：故选B点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，高考常考题，是基础题2（3分）（）A6B5C4D3考点：定积分专题：计算题分析：直接根据定积分的运算法则求解即可解答：解：212xdx=x2|12=2212=3故选D点评：本题是定积分的简单计算，是基础题3（3分）设f（x）=ax3+3x2+2，若f（1）=4，则a的值等于（）ABCD考点：导数的运算专题：计算题分析：先求出导函数，再代值算出a解答：解：f（x）=3ax2+6x，f（1）=3a6=4，a=故选D点评：本题是对导数基本知识的考查，属于容易题，在近几年的高考中，对于导数的考查基本围绕导数的计算和导数的几何意义展开，是考生复习时的重点内容4（3分）若，则实数x的值为（）A4B1C4或1D其它考点：组合及组合数公式专题：计算题分析：直接利用组合数公式的性质列式求解x的值解答：解：由，得或解得，x=1解得，x=4所以x的值为4或1故选C点评：本题考查了组合及组合数公式，考查了组合数公式的性质，是基础的运算题5（3分）（2010江西模拟）曲线y=x32x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（）A30°B45°C60°D120°考点：导数的几何意义专题：计算题分析：欲求在点（1，3）处的切线倾斜角，先根据导数的几何意义可知k=y|x=1，再结合正切函数的值求出角的值即可解答：解：y/=3x22，切线的斜率k=3×122=1故倾斜角为45°故选B点评：本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角，本题属于容易题6（3分）（2007杭州二模）在的展开式中的常数项是（）A7B7C28D28考点：二项式系数的性质专题：计算题分析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0求出展开式的常数项解答：解：展开式的通项为令故选A点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决展开式的特定项问题，属于基础题7（3分）函数f（x）=x33x2+2x的极值点的个数是（）A0B1C2D3考点：利用导数研究函数的极值专题：导数的概念及应用分析：对函数求导，结合导数的符号判断函数的单调性，进而可求函数的极值的个数解答：解：由题知f（x）的导函数f'（x）=3x26x+2，当x时，f'（x）0，当x或（1，+）时，f'（x）0，则函数f（x）在上单调递减，函数f（x）在，（1，+）上单调递增，函数 f（x）=x33x2+2x有2个极值点故答案为：C点评：本题考查利用导数研究函数的极值属于基础题8（3分）在（x+y）n的展开式中，若第七项系数最大，则n的值可能等于（）A13，14B14，15C12，13D11，12，13考点：二项式系数的性质专题：计算题；分类讨论分析：根据题意，分三种情况讨论，若仅T7系数最大，若T7与T6系数相等且最大，若T7与T8系数相等且最大，由二项式系数的性质，分析其项数，综合可得答案解答：解：根据题意，分三种情况：若仅T7系数最大，则共有13项，n=12；若T7与T6系数相等且最大，则共有12项，n=11；若T7与T8系数相等且最大，则共有14项，n=13；所以n的值可能等于11，12，13；故选D点评：本题考查二项式系数的性质，注意分清系数与二项式系数的区别于联系；其次注意什么时候系数会取到最大值9（3分）（2012昌图县模拟）若函数f（x）=x3+ax2在区间（1，+）内是增函数，则实数a的取值范围是（）A3，+）B（3，+）C0，+）D（0，+）考点：函数的单调性与导数的关系专题：计算题分析：由已知，f（x）=3x20在1，+）上恒成立，可以利用参数分离的方法求出参数a的取值范围解答：解：f（x）=3x2+a，根据函数导数与函数的单调性之间的关系，f（x）0在1，+）上恒成立，即a3x2，恒成立，只需a大于3x2 的最大值即可，而3x2 在1，+）上的最大值为3，所以a3即数a的取值范围是3，+）故选A点评：本题考查函数导数与函数的单调性之间的关系，参数取值范围求解本题采用了参数分离的方法10（3分）已知一个命题P（k），k=2n（nN），若n=1，2，1000时，P（k）成立，且当n=1000+1时它也成立，下列判断中，正确的是（）AP（k）对k=2013成立BP（k）对每一个自然数k成立CP（k）对每一个正偶数k成立DP（k）对某些偶数可能不成立考点：进行简单的合情推理专题：概率与统计分析：由于命题p（k），这里k=2n（nN*），当n=1，2，1000时，p（k）成立，而当n=1000+1时，故p（k）对于11000内的奇数均成立，对其它数却不一定成立，故可得结论解答：解：由于命题p（k），这里k=2n（nN*），当n=1，2，1000时，p（k）成立，而当n=1000+1时，故p（k）对于11000内的奇数均成立，对其它数却不一定成立故p（k）对于k=2013不一定成立，对于某些偶数可能成立，对于每一个偶数k不一定成立，对于每一个自然数k不一定成立故选D点评：本题考查的知识点是用数学归纳法证明数学命题，考查学生的推理能力，属于中档题二填空题（每小题4分，共24分）11（4分）函数f（x）=1lnx在x=1处的切线方程是y=2x考点：利用导数研究曲线上某点切线方程专题：导数的综合应用分析：求导函数，确定切线的斜率，求出切点的坐标，即可得到切线方程解答：解：f（x）=1lnx，f（x）=x=1时，f（1）=1，f（1）=1函数f（x）=1lnx在x=1处的切线方程是y1=（x1），即y=2x故答案为：y=2x点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题12（4分）（文）如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=x+8，则f（5）+f（5）=2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程专题：计算题；导数的概念及应用分析：根据导数的几何意义，结合切线方程，即可求得结论解答：解：由题意，f（5）=5+8=3，f（5）=1f（5）+f（5）=2故答案为：2点评：本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题13（4分）由0，1，3，5，7，9这六个数字组成480个没有重复数字的六位奇数考点：计数原理的应用专题：概率与统计分析：先排第一位、第六位，再排中间，利用乘法原理，即可得到结论解答：解：第一位不能取0，只能在5个奇数中取1个，有5种取法；第六位不能取0，只能在剩余的4个奇数中取1个，有4种取法； 中间的共四位，以余下的4个数作全排列所以，由0，1，3，5，7，9这六个数字组成的没有重复数字的六位奇数有5×4×=480个故答案为：480点评：本题考查计数原理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题14（4分）若（2x1）7=a7x7+a6x6+a1x+a0，则a7+a5+a3+a1=1094考点：二项式定理专题：计算题；概率与统计分析：在所给的等式中，令x=1可得 a7 +a6 +a1 +a0 =1 ，再令x=1可得a7 +a6 55+a4a3+a2a1 +a0 =37 把减去，两边再同时除以2求得 a7+a5+a3+a1的值解答：解：在所给的等式中，令x=1可得 a7 +a6 +a1 +a0 =1 ，再令x=1可得a7 +a6 55+a4a3+a2a1 +a0 =37 把减去，两边再同时除以2求得 a7+a5+a3+a1=1094，故答案为1094点评：本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于中档题15（4分）已知x0，观察下列几个不等式：；归纳猜想一般的不等式为，（n是正整数）考点：归纳推理专题：探究型分析：根据题意，对给出的几个等式变形可得，x+1+1，x+2+1，x+3+1，类推可得变化规律，左式为x+，右式为n+1，即可得答案解答：解：根据题意，对给出的等式变形可得，x+1+1，x+2+1，x+3+1，则一般的不等式为x+n+1，（n是正整数）；故答案为x+n+1（n是正整数）点评：本题考查归纳推理，解题的关键在于发现左式中的变化规律16（4分）记f（1）（x）=f（x），f（2）（x）=f（1）（x），f（n）（x）=f（n1）（x）（nN+，n2）若f（x）=xcosx，则f（0）+f（1）（0）+f（2）+L+f（2013）（0）的值为1007考点：导数的运算专题：计算题分析：先求出f（1）（x），f（2）（x），f（5）（x），由f（0），f（1）（0），f（2）（0），f（5）（0），可发现规律，从而可得到答案解答：解：由f（x）=xcosx，得f（1）（x）=cosxxsinx，f（2）（x）=sinxsinxxcosx=2sinxxcosx，f（3）（x）=2cosxcosx+xsinx=3cosx+xsinx，f（4）（x）=3sinx+sinx+xcosx=4sinx+xcosx，f（5）（x）=4cosx+cosxxsinx=5cosxxsinx，则f（0）+f（1）（0）+f（2）+f（2013）（0）=0+1+03+0+5+0+2013=（13）+（57）+（20092011）+2013=2×503+2013=1007，故答案为：1007点评：本题考查导数的运算，考查学生的归纳推理能力三解答题（4道题，共36分）17（6分）已知函数f（x）=x3x22x+5（1）求函数的单调区间（2）求函数在1，2区间上的最大值和最小值考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值专题：计算题分析：（1）先确定函数的定义域然后求导数f（x），在函数的定义域内解不等式f（x）0和f（x）0；（2）先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值与最小值解答：解：（1）f'（x）=3x2x2（2分）由f'（x）0得或x1，（4分）故函数的单调递增区间为（，），（1，+）；（5分）由f'（x）0得（6分）故函数的单调递减区间为（，1）（7分）（2）由（1）知是函数的极大值，f（1）=3.5是函数的极小值；（10分）而区间1，2端点的函数值（12分）故在区间1，2上函数的最大值为7，最小值为3.5（14分）点评：（1）利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定 的定义域；（2）求导数f（x）；（3）在函数 的定义域内解不等式f（x）0和f（x）0（4）确定 的单调区间若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论（2）这是一道求函数的最值的逆向思维问题本题的关键是比较极值和端点处的函数值的大小18（10分）用数学归纳法证明：当n为正整数时，13+23+33+n3=考点：数学归纳法专题：证明题分析：用数学归纳法证明：（1）当n=1时，去证明等式成立；（2）假设当n=k时，等时成立，用上归纳假设后，去证明当n=k+1时，等式也成立即可解答：证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立2分（2）假设当n=k时，等时成立，即13+23+33+k3=4分那么，当n=k+1时，有13+23+33+k3+（k+1）3=+（k+1）36分=（k+1）2（+k+1）=（k+1）2=8分这就是说，当n=k+1时，等式也成立9分根据（1）和（2），可知对nN*等式成立10分点评：本题考查数学归纳法，用好归纳假设是关键，考查逻辑推理与证明的能力，属于中档题19（10分）六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（l）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间间隔两人；（5）甲不站左端，乙不站右端考点：排列、组合及简单计数问题专题：概率与统计分析：（l）现在中间的4个位中选一个，排上甲，方法有4种；其余的人任意排，方法有种，再根据分步计数原理求得结果（2）把甲乙看成一个整体，这样6个人变成了5个人，全排列共有 种站法（3）先把其余的4个人全排列，然后再把甲乙插入其余4人形成的5个空中，方法共有（种）（4）先把甲乙排好，有种方法，再从其余的4人中选出2人放到甲乙中间，方法有种把排好的这4个人看做一个整体，再与其他的2个人进行排列，方法有种根据分步计数原理，求得结果（5）当甲在中间时，先排甲，有4种方法，再排乙，有4种方法，最后，其余的人任意排，有种方法，根据分步计数原理，方法共有4×4×=384种当甲在右端时，其余的5个人任意排，共有=120种排法相加即得所求解答：解：（l）现在中间的4个位中选一个，排上甲，方法有4种；其余的人任意排，方法有种，故共有=480 （种）（2）把甲乙看成一个整体，这样6个人变成了5个人，全排列共有=240 （种）站法（3）先把甲乙二人单独挑出来，把其余的4个人全排列，然后再把甲乙插入其余4人形成的5个空中，方法共有=480 （种）（4）先把甲乙排好，有种方法，再从其余的4人中选出2人放到甲乙中间，方法有种把排好的这4个人看做一个整体，再与其他的2个人进行排列，方法有种根据分步计数原理，求得甲、乙之间间隔两人的排法共有 =144种（5）当甲在中间时，先排甲，有4种方法，再排乙，有4种方法，最后，其余的人任意排，有种方法，根据分步计数原理，方法共有4×4×=384种当甲在右端时，其余的5个人任意排，共有=120种排法故甲不站左端，乙不站右端的排法有384+120=504种点评：本题主要考查排列组合的实际应用，本题解题的关键是对于有限制的元素要优先排，特殊位置要优先排相邻的问题用捆绑法，不相邻的问题用插空法，体现了分类讨论的数学思想，是一个中档题目20（10分）已知函数f（x）=xalnx+在x=1处取得极值（I）求a与b满足的关系式；（II）若aR，求函数f（x）的单调区间考点：函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性专题：导数的概念及应用分析：（）利用f（1）=0即可求得a与b的关系（）先求导得f（x）=，然后对参数a分a2，a=2，a2讨论即可解答：解：（）f（x）=1，函数f（x）=xalnx+在x=1处取得极值，f（1）=0，1ab=0，即b=1a（）函数f（x）的定义域为（0，+），由（）可得f（x）=令f（x）=0，则x1=1，x2=a1当a2时，x2x1，当x（0，1）（a1，+）时，f（x）0；当x（1，a1）时，f（x）0f（x）的单调递增区间为（0，1），（a1，+）；单调递减区间为（1，a1）当a=2时，f（x）0，且只有x=1时为0，故f（x）在（0，+）上单调递增当a2时，x2x1，当x（0，1a）（1，+）时，f（x）0；当x（1a，1）时，f（x）0f（x）的单调递增区间为（0，1a），（1，+）；单调递减区间为（a1，1）点评：本题考查了含有参数的函数的单调性，对参数恰当分类讨论是解决问题的关键9