江苏版2018年高考数学一轮复习专题5.3平面向量的数量积讲.doc

专题5.3 平面向量的数量积【考纲解读】内 容要 求备注ABC平面向量平面向量的数量积  1理解平面向量数量积的含义及其物理意义2体会平面向量的数量积与向量投影的关系3掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算4能运用数量积表示两个向量的夹角5会用数量积判断两个平面向量的垂直关系【直击考点】题组一 常识题1已知在ABC中，B是最大内角，·<0，则ABC的形状是_【解析】设与的夹角为，则·|·|cos <0，得cos <0，所以cos Bcos()>0，所以B为锐角又B是三角形的最大内角，所以ABC为锐角三角形 2在平行四边形ABCD中，AB4，BC2，ABC60°，则·_3已知向量a(4，2)，b(1，1)，则向量b在向量a上的投影为_【解析】向量a(4，2)，b(1，1)，向量b在向量a上的投影为.4已知力F1和F2的合力为12 N，F1为24 N，力F2与合力F的夹角为90°，则力F1与F2的夹角的大小为_【解析】由向量加法的平行四边形法则知，90°，|F|12 N，|F1|24 N，所以60°，所以150°.题组二常错题5在ABC中，若1，2，则AB边的长度为_6已知 (2，1)，(3，3)，则向量在上的投影为_【解析】向量在上的投影为.题组三常考题7 已知向量，则ABC_【解析】因为cosABC，所以ABC150°.8已知向量a，b的夹角为60°，且|a|1，|2ab|，则|b|_【解析】由|2ab|，两边同时平方得4a24a·bb27，即|b|22|b|30，解得|b|1或|b|3(舍去)9 已知向量a(3，4)，b(x，1)，且(ab)·b|a|，则实数x_【知识清单】考点1 平面向量数量积的运算一、两个向量的夹角1定义已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB叫做向量a与b的夹角2范围向量夹角的范围是0°180°a与b同向时，夹角0°；a与b反向时，夹角180°.3向量垂直如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作ab.二、平面向量数量积1已知两个非零向量a与b，则数量|a|b|·cos 叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b|a|b|cos ，其中是a与b的夹角规定0·a0.当ab时，90°，这时a·b0.2a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积三、向量数量积的性质1如果e是单位向量，则a·ee·a.2aba·b0.3a·a|a|2，.4cos .(为a与b的夹角)5|a·b|a|b|.四、数量积的运算律1交换律：a·bb·a.2分配律：(ab)·ca·cb·c.3对R，(a·b)(a)·ba·(b)五、数量积的坐标运算设a(a1，a2)，b(b1，b2)，则：1a·ba1b1a2b2.2aba1b1a2b20.3|a|.4cos .(为a与b的夹角)考点2 向量的夹角与向量的模1. a·a|a|2，.2cos .(为a与b的夹角)3. aba1b1a2b20.4.|a·b|a|b|.考点3 向量数量积的综合应用1. a·a|a|2，.2cos .(为a与b的夹角)3. aba1b1a2b20.【考点深度剖析】这部分知识是向量的核心内容，向量的平行、垂直关系是向量间最基本最重要的位置关系，而向量的夹角、长度是向量的数量特征，是必考的重要内容之一【重点难点突破】考点1 平面向量数量积的运算【1-1】已知则向量在向量上的投影等于 .【答案】【解析】，而在上的投影为. 【1-2】已知平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若(2,4)，(1,3)，则· .【答案】8【解析】四边形ABCD是平行四边形，(1，1)又(3，5)，·(1)×(3)(1)×(5)8【思想方法】1.平面向量数量积的计算方法已知向量a，b的模及夹角，利用公式a·b|a|b|cos求解；已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解2.对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算【温馨提醒】平面向量的数量积计算问题，往往有有两种形式，一是利用数量积的定义式；二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平直角坐标系，可起到化繁为简的妙用.考点2 向量的夹角与向量的模【2-1】是两个向量，且，则与的夹角为 .【答案】【解析】由知，=0，所以=-1，所以=，所以与的夹角为.【2-2】若同一平面内向量，两两所成的角相等，且，则等于 .【答案】2或5【2-3】ABC中,|=5,|=8,·=20,则|为 .【答案】【解析】由|=5,|=8,·=20,，又，由余弦定理得【思想方法】利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决【温馨提醒】涉及几何图形问题，灵活应用勾股定理、余弦定理等，有助于模的确定.考点3 向量数量积的综合应用【3-1】已知为坐标原点，向量，且，则值为 .【答案】【3-2】已知A，B，C三点的坐标分别是A(3,0)，B(0,3)，C(cos ，sin )，若1，则的值为 .【答案】【解析】由(cos 3，sin )，(cos ，sin 3)，得(cos 3)cos sin (sin 3)1，sin cos ，2sin cos ， .【3-3】已知函数，实数x，y满足，若点，则当时，的最大值为 (其中O为坐标原点)【答案】 【思想方法】对向量与三角函数的综合问题，可通过向量的数量积运算把向量问题转化为三角问题，从而可利用三角公式求解【温馨提醒】在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围【易错试题常警惕】 (1)在求ABC的三边所对应向量的夹角时，要注意是三角形的内角还是外角.如在等边三角形ABC中，与的夹角应为120°而不是60°.(2)在平面向量数量积的运算中，不能从a·b0推出a0或b0成立.实际上由a·b0可推出以下四种结论：a0，b0；a0，b0；a0，b0；a0，b0，ab.(3)实数运算满足消去律：若bcca，c0，则有ba.在向量数量积的运算中，若a·ba·c(a0)，则不一定有bc.(4)实数运算满足乘法结合律，但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线. 8