天津市2013届高三数学总复习 综合专题 数列求和（学生版）.doc

数列求和概述：先分析数列通项的结构特征，再利用数列通项揭示的规律来求数列的前项和，即求和抓通项。1、直接（或转化）由等差数列、等比数列的求和公式求和思路：利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。等差数列求和公式：； 等比数列求和公式：；。2、逆序相加法思路：把数列正着写和倒着写再相加。（即等差数列求和公式的推导过程的推广）例1：设函数的图象上有两点，若，且点的横坐标为。（1）求证：点的纵坐标为定值，并求出这个定值；（2）若3、错位相减法思路：设数列是等差数列，是等比数列，则求的前项和可用错位相减法。例2：在数列中，其中。（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和。4、裂项相消法思路：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。一般地，数列为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，。常见的通项分解（裂项）如下：，（当时，通项裂项后求和是隔项相消的，注意观察剩余项）；（通项裂项后求和是逐项相消的，剩余的是所裂项的首项和末项）；等。例3：求数列的前项和。补充练习：已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点均在函数的图象上。（1）求数列的通项公式；（2）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数。5、并项求和法思路：将摆动数列相邻两项（或若干项）合并成一项（或一组），得到一个新数列，再利用直接法求这个新数列的和。一般来说，摆动数列求和的基本模型是。当这个摆动数列是正负或负正相间时，要对为奇数或偶数进行分类讨论；当这个摆动数列是正正负负或负负正正或正负正负或负正负正相间时，要对顺次进行分类讨论。注：一个数列，若从第2项起，有些项大于其前一项，有些项小于其前一项，这样的数列叫摆动数列。例4：求。例5：在数列与中，数列的前项和满足，且为与的等比中项，。（1）求，的值；（2）求数列与的通项公式；（3）设，证明，。6、分组求和法思路：将既非等差，也非等比的数列适当拆分为几个等差、等比或常见数列，然后分别求和，再将其合并。例6：数列的前项和，数列满。（1）证明数列为等比数列；（2）求数列的前项和。综合习题：1、计算（1）；（2）。2、求。3、求。4、已知数列满足的值。- 4 -