重庆市重庆一中2014届高三数学5月月考试题 文新人教A版（含解析）.doc

2014年重庆一中高2014级高三下期第三次月考【试卷综评】突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。全面考查了考试说明中要求的内容，如复数、简易逻辑试卷都有所考查。在全面考查的前提下，高中数学的主干知识如函数、三角函数、数列、立体几何、导数、圆锥曲线、概率统计等仍然是支撑整份试卷的主体内容，尤其是解答题，涉及内容均是高中数学的重点知识。明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向。 2.适度综合考查，提高试题的区分度  本次数学试卷的另一个特点是具有一定的综合性，很多题目是由多个知识点构成的，这有利于考查考生对知识的综合理解能力，有利于提高区分度，在适当的规划和难度控制下，效果明显。通过考查知识的交汇点，对考生的数学能力提出了较高的要求，提高了试题的区分度. 数 学 试 题（文科）2014.5一 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.）1已知集合，则 【知识点】分式不等式;一元二次不等式;集合间的运算【答案解析】 B 解析 ：解：,即,解得,M=x;解得,N=x,M=N,答案B正确 【思路点拨】解出集合M、N中x的取值范围,就找到集合之间的关系.2函数的定义域为 【知识点】函数的定义域;对数不等式【答案解析】 D 解析 ：解：由题意得解得且,答案D正确 【思路点拨】函数是分式函数,保证分母不得零,同时要保证对数的真数大于零.【典型总结】确定函数的定义域的原则:(1)当函数用解析式给出时,函数的定义域是指使解析式有意义的实数的集合.(2)当函数由实际问题给出时,函数的定义域由实际问题的意义确定.3某学期地理测试中甲的成绩如下：82，84，84，86，86，88，乙的成绩如下：81，83，85，85，87，95，则下列关于两组数据的描述相同的是 众数 平均数 中位数 方差【知识点】众数、平均数、中位数、方差的概念和计算【答案解析】 C 解析 ：解：甲组数据的众数是84和86,乙组的众数是85,答案A错误;,答案B错误,甲组中位数是85,乙组的中位数是85,答案C正确 【思路点拨】把每组数据的众数、平均数、中位数求得即可得到答案.4若变量满足约束条件且的最大值为,最小值为,则的值是（） 【知识点】简单的线性规划【答案解析】 A 解析 ：解：可行域如上图所示,当过点a(8,0)时z取得最小值-8,当过点b(4,4)时z取得最大值16,所以,答案A正确 【思路点拨】先画出可行域,再确定过哪个点时z取得最大值和最小值.5已知命题，下列的取值能使“”命题是真命题的是 【知识点】特称命题的否定;三角函数的最值【答案解析】 B 解析 ：解：是真命题,因为,所以当a=2时,是真命题,答案B正确 【思路点拨】先找到命题p的否定命题，利用余弦函数值的有界性得到a的值.6已知数列中，利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框中应填的语句是（ ） 【知识点】程序框图的应用【答案解析】 D 解析 ：解：循环过程:(1) ;(2) ;(9),输出,所以答案D正确 【思路点拨】运行程序框图得到循环结束的条件.7. 已知双曲线的一条渐近线与圆相交于两点，且，则此双曲线的离心率为（ ） 【知识点】圆的标准方程;点到直线的距离公式;双曲线的离心率【答案解析】 C 解析 ：解：如图所示,渐近线与圆交于M、N两点,由点到直线的距离公式得,所以, 答案C正确 【思路点拨】利用点到直线的距离公式得到的值,再由离心率的公式得到双曲线的离心率的值.已知函数的一段图像如图所示，的顶点与坐标原点重合，是的图像上一个最低点，在轴上，若内角所对边长为， 且的面积满足，将右移一个单位得到，则 的表达式为 【知识点】三角函数的图像变化【答案解析】 A 解析 ：解：由题意可得ABC的顶点A与坐标原点O重合，B是f（x）的图象上一个最低点，cosA=又12S=b2+c2-a2，6b=b2+c2-a2，由余弦定理知，6b=2bcosA，cosA=3，由得：cosA=3=，T=4，4，=，函数f（x）=sinx，将f（x）右移一个单位得到g（x）=sin（x-1）=sin（x-）=-cos（x）,答案A正确 【思路点拨】通过三角形的面积以及余弦定理集合函数的周期，求出函数的周期，得到函数的解析式，利用平移关系求出g（x）的表达式.9已知正三棱柱的内切球的半径为1，则该三棱柱的体积是（ ） 【知识点】棱柱的体积【答案解析】 B 解析 ：解：由题意，正三棱柱的高是直径为2，正三棱柱底面正三角形的内切圆的半径是1，所以正三角形的边长是2，高是3，正三棱柱的体积 V=故答案为：6 【思路点拨】由题意求出正三棱柱的高、底面边长、底面高，即可求出正三棱柱的体积.10已知函数，若关于的方程恰好有4个不相等的实数根，则实数的取值范围为 【知识点】导数几何意义的应用,数形结合法的应用【答案解析】C 解析 ：解：已知方程分解因式得=0,所以或,由图象可知只有一个解,所以只需恰好有三个解,即恰好有三个解,由图象可知t-1>0,函数斜率为1的切点坐标为(),此点在y=x(x>0)的下方得,解得【思路点拨】利用因式分解把命题转化为有三个根,利用图象分析方程有三根的条件,进而求出t的范围.二 填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11已知复数 ，则 【知识点】复数的除法;共轭复数;复数的摸长公式【答案解析】 解析 ：解：, 【思路点拨】先把z化成a+bi这种形式,找到它的共轭复数,再求出其摸长即可. 12已知等差数列，则它的前11项和 .【知识点】等差数列的前n项和公式;等差数列性质的应用【答案解析】 99 解析 ：由等差数列的性质可得a1+a11=a3+a9=18, 【思路点拨】由等差数列的性质可得a1+a11=a3+a9=8，代入求和公式可得答案.13一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 .3 主视图 侧视图 俯视图【知识点】三视图;三棱锥的体积【答案解析】 4 解析 ：解：几何体为三棱锥,底面三角形的底是4,高为3,锥体的高是2, 【思路点拨】由三视图正确转换成直观图,利用锥体的体积公式求得几何体的体积.14已知点是的重心，若则的最小值_ 【知识点】三角形重心的性质;向量加法的平行四边形法则;平行四边形的性质;模的运算【答案解析】 解析 ：解：所以,所以,. 【思路点拨】由基本不等式得的最小值,利用三角形重心的性质得到.15. 已知直线过椭圆的左焦点，且与椭圆交于两点，过点分别作椭圆的两条切线，则其交点的轨迹方程 【知识点】直线与椭圆相切的条件;三点共线的条件;交轨法【答案解析】x=-4 解析 ：解：设椭圆切线为y=kx+b,代入椭圆方程得由得,代入(1)式得切点坐标,所以可设,由得,所以过A的切线与过B的切线交点轨迹为,即x=-4 【思路点拨】先找出椭圆切线的斜率k和纵截距b的等量关系,从而得到用k、b表示的切点坐标,由三点共线得,再由交轨法得到交点轨迹方程.三 解答题（本大题共6小题，共75分）16（原创）（本小题满分13分）已知数列的前项和， （1）求数列的通项； （2）求数列的前项和；【知识点】与的关系;等差数列的前n项和;等比数列的前n项和【答案解析】（1）=2n-1（2）=解析 ：解：（1）当经验证，（2）【思路点拨】利用与的关系可以求出的通项公式;求时把它分成一个等差数列和一个等比数列分别求和.17.（ 原创）（本小题满分13分）重庆市某知名中学高三年级甲班班主任近期对班上每位同学的成绩作相关分析时，得到石周卓婷同学的某些成绩数据如下：第一次考试第二次考试第三次考试第四次考试数学总分118119121122总分年级排名133127121119（1）求总分年级名次对数学总分的线性回归方程;（必要时用分数表示）（2）若石周卓婷同学想在下次的测试时考入前100名，预测该同学下次测试的数学成绩至少应考多少分（取整数，可四舍五入）。 附:线性回归方程中,【知识点】线性回归方程及其应用【答案解析】（1）（2） 解析 ：解：（1） 【思路点拨】利用公式求得回归方程的系数a、b可以得到线性回归方程;把y=100代入回归方程中求出x的值可以预测满足条件的数学成绩.18. （本小题13分）已知函数（1）当时，求函数取得最大值时的值；（2）设锐角的内角的对应边分别是，且，若向量，求c的值。【知识点】三角函数的最值;三角函数的二倍角公式;两角的和与差公式;正弦定理;余弦定理【答案解析】（1）, 取得最大值;（2）解析 ：解：(1), , 所以当, 即, 得, 取得最大值;(2) , 即, 由余弦定理, , , 即, 又 , 经检验符合三角形要求.【思路点拨】先把函数化成这种形式,再根据的取值范围得到函数的最大值;利用正弦定理得到a、b边之间的关系,再有余弦定理求出c边长.19（本小题12分）如图菱形所在平面与直角梯形所在平面互相垂直， ,点是线段的中点. （1）求证：平面平面;（2）求多面体的体积【知识点】面面垂直的性质和判定;锥体的体积公式【答案解析】（1）略（2）解析 ：解：（1）在菱形中，因为，所以是等边三角形，又因为点是线段的中点.，所以因为面所在平面与直角梯形互相垂直，且面ABEF面ABCD=AB，所以，所以在直角梯形中，得到，从而，所以，又AHAC=A所以，所以平面平面;（2）【思路点拨】利用等边三角形中线的性质得到线线垂直,再利用面面垂直的性质得到线面垂直,进而证明面面垂直;求体积时可将几何体分割成一个四棱锥和一个三棱锥,利用锥体体积公式求得体积.20已知是定义在上的奇函数，当时，求的解析式；是否存在负实数，当时，使得 的最小值是4，若存在，求的值，如果不存在，请说明理由。（其中：的导数是）【知识点】函数的奇偶性;函数的最值;函数的单调性和导数的关系【答案解析】（1）（2）解析 ：解： (1)当时,则,由已知得, (2)假设存在满足题意, ,令当, 即时,在上单调递减,在上单调递增,解得;当, 即时,在上单调递增,解得,矛盾!综上所述,存在满足题意.【思路点拨】利用函数是奇函数得到函数的解析式,再利用函数的导数得到函数的单调区间,进而得到函数取最小值时的关系式,求出a的值.21（12分）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，椭圆与轴的上半轴交于点，与轴的右半轴交于点,椭圆的左、右焦点为，且 （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线，斜率为，与椭圆交于两点.若的中点为，且存在非零实数，使得，求出斜率的值； 在轴上是否存在点，使得以为邻边的四边形是个菱形？若存在求出的范围，若不存在，请说明理由.【知识点】椭圆的方程;直线与椭圆的位置关系,根与系数的关系;【答案解析】（1）（2）解析 ：解： (1)抛物线的焦点为(1,0), 椭圆的焦点.设短半轴长, 长半轴长, 因为,椭圆的标准方程为 (2) 由题意设直线的方程为, 他与椭圆交于两点,则 的中点又, 解得, 所以 设在轴上存在点使得以为邻边的四边形为菱形,则则当且仅当, 即取等号又, 故在轴上存在点,使得以为邻边的四边形为菱形,范围【思路点拨】根据椭圆的定义求出椭圆的方程,再根据椭圆与直线的位置关系求出k的范围，由两直线平行斜率相等得到k的值,利用菱形的对角线互相垂直得到m的关系式,利用均值不等式得到m的取值范围 - 12 -