2019高考数学二轮复习第7讲三角函数的图像与性质专题突破练理.doc

第7讲三角函数的图像与性质1.(1)2017·全国卷改编 已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin,则为了得到曲线C2,要把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度.  (2)2016·全国卷 函数y=sin x-cos x的图像可由函数y=sin x+cos x的图像至少向右平移个单位长度得到. 试做   命题角度三角函数的图像变换关键一:化为同名三角函数.关键二:两种途径,“先平移后伸缩”和“先伸缩后平移”.关键三:x+=.2.(1)2017·全国卷 函数f(x)=sin2x+cos x-的最大值是. (2)2014·全国卷 函数f(x)=sin(x+2)-2sin cos(x+)的最大值为. 试做    命题角度三角函数的最值问题方法一:利用诱导公式、三角恒等变换,将函数化为关于sin x或cos x的二次函数,采用配方法求最值.方法二:利用诱导公式、辅助角公式将函数化为f(x)=Asin(x+)+b(或f(x)=Acos(x+)+b),>0的形式,再根据三角函数的有界性求最值.3.(1)2018·全国卷 若f(x)=cos x-sin x在-a,a是减函数,则a的最大值是()A.B.C.D.(2)2015·全国卷 函数f(x)=cos(x+)的部分图像如图M2-7-1所示,则f(x)的单调递减区间为()图M2-7-1A.,kZB.,kZC.,kZD.,kZ试做   命题角度三角函数的单调性 (1)将函数化为f(x)=Asin(x+)+b(或f(x)=Acos(x+)+b),>0的形式;(2)把x+(>0)看成整体,利用正弦函数、余弦函数的单调性求解.4.(1)2017·全国卷 设函数f(x)=cos,则下列结论错误的是 ()A.f(x)的一个周期为-2B.y=f(x)的图像关于直线x=对称C.f(x+)的一个零点为x=D.f(x)在单调递减(2)2016·全国卷 已知函数f(x)=sin(x+)>0,|,x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图像的对称轴,且f(x)在,单调,则的最大值为 ()A.11B.9C.7D.5试做   命题角度三角函数性质的综合考查解决三角函数图像与性质问题:关键一,将函数化为y=Asin(x+)+b(或y=Acos(x+)+b),>0的形式;关键二,把x+(>0)看作一个整体代入y=sin x或y=cos x的单调区间或对称轴方程;关键三,最小正周期为.对称与周期:正弦曲线、余弦曲线的相邻两个对称中心、相邻两条对称轴之间的距离是个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期;正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是个周期.小题1三角函数的概念、诱导公式及同角关系式1 (1)在平面直角坐标系中,若角的终边经过点Psin,cos,则sin(+)= ()A.-B.-C.D. (2)若(0,),sin(-)+cos =,则sin -cos 的值为()A.B.-C.D.-听课笔记    【考场点拨】应用同角三角函数的基本关系式及诱导公式求三角函数值的失分点:(1)确定不了函数值的符号,如由sin2=求sin 的值;(2)诱导公式不熟,记忆与使用错误.【自我检测】1.若cos=,则sin=()A.B.C.-D.-2.已知角的始边与x轴的非负半轴重合,顶点与坐标原点重合,终边过点P(3,4),则=. 3.已知是第三象限角,且sin=,则tan+=. 小题2三角函数的图像及应用2 (1)设>0,若将函数y=2cos的图像向右平移个单位长度后与函数y=2sin的图像重合,则的最小值是 ()A.B.C.D.(2)函数f(x)=Asin(x+)(A>0,>0,0<<)的部分图像如图M2-7-2所示, 已知x1,x2,x1x2,且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)= ()图M2-7-2A.-1B.-2C.1D.2听课笔记    【考场点拨】三角函数图像平移变换中的误区:(1)函数图像的平移法则是“左加右减、上加下减”,但是左右平移变换只是针对x作的变换.(2)函数f(x)=sin(x+)的图像向左(右)平移k个单位长度后,其图像对应的函数解析式为g(x)=sin(x±k)+,而不是g(x)=sin(x±k+).【自我检测】1.将函数f(x)=sin的图像向右平移a个单位长度得到函数g(x)=cos 2x的图像,则a的值可以为 ()A.B.C.D.2.将函数y=sin的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移个单位长度,则所得函数图像的解析式为 ()A.y=sinB.y=sinC.y=sinD.y=sin3.已知函数f(x)=2sin(x+)+1>0,|,其图像与直线y=3的相邻两个交点的距离为,若f(x)>2对任意x恒成立,则的取值范围是 ()A.B.C.D.4.已知函数f(x)=Acos(x+)的部分图像如图M2-7-3所示,f=-,则f(0)=. 图M2-7-3小题3三角函数的性质及应用3 (1)已知函数f(x)=2sin(x+)(>0,0<<)的图像的相邻两条对称轴间的距离为,且f=0,则下列说法正确的是 ()A.=2B.函数y=f(x-)为偶函数C.函数f(x)在上单调递增D.函数f(x)的图像关于点对称(2)设函数f(x)=2sin(x+)>0,|<,直线x=为y=f(x)图像的一条对称轴,f=0,且f(x)的最小正周期大于2,则=. 听课笔记    【考场点拨】三角函数性质的应用要注意以下两点:首先要将函数化为y=Asin(x+)(>0)的形式,再对比y=sin x的性质,即把x+看成一个整体处理,但是一定要注意>0,否则易出错;其次一定要结合图像进行分析.【自我检测】1.若已知函数f(x)=sin(>0)的最小正周期为,则该函数的图像()A.关于点对称B.关于点对称C.关于直线x=对称D.关于直线x=对称2.若函数f(x)=sin x-cos x(>0)在上单调递增,则的取值不可能为()A.B.C.D.3.设函数f(x)=cos(x+),其中常数满足-<<0.若函数g(x)=f(x)+f'(x)是偶函数,则=()A.-.-C.-D.-4.已知函数f(x)=Asin(x+)(A>0, >0)的图像上相邻两个最高点的距离为6,P是该函数图像上的一个最低点,则该函数图像的一个对称中心是 ()A.(1,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)小题4三角函数的值域与最值问题4 (1)已知将函数f(x)=2sincos x+的图像向左平移个单位长度后得到函数y=g(x)的图像,则g(x)在上的值域为 ()A.B.C.D.(2)函数f(x)=2sin2 +2sincos在区间上的最小值为.  听课笔记   【考场点拨】有关三角函数的值域与最值问题的解题策略:(1)形如y=asin x+bcos x+c的三角函数,要根据三角恒等变换把函数化为y=Asin(x+)+k的形式,再借助三角函数的图像与性质确定值域与最值;(2)形如y=asin2x+bsin x+c的三角函数,转化为二次函数去求解;(3)形如y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c的三角函数,可先设t=sin x±cos x,再转化为关于t的二次函数去求解.【自我检测】1.函数y=cos 2x+2sin x的最大值为 ()A.B.1C.D.22.将函数f(x)=sin xcos x+cos2x-的图像向左平移个单位长度得到函数y=g(x)的图像,则g(x)在上的值域为 ()A.B.C.D.3.已知函数f(x)=sin x+cos x(>0)在区间上的最小值为-1,则=. 4.已知函数y=cos2x+sin 2x-,x,则该函数的值域为. 第7讲三角函数的图像与性质 典型真题研析1.(1)(2)解析 (1)曲线C1,即y=sin,把其上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得曲线y=sin,再把该曲线向左平移个单位长度,得到y=sin=sin的图像.(2)函数y=sin x-cos x=2sinx-的图像可由函数y=sin x+cos x=2sinx+的图像至少向右平移个单位长度得到.2.(1)1(2)1解析 (1)f(x)=-cos2x+cos x+=-+11,当且仅当cos x=,即x=时,等号成立,所以最大值为1.(2)函数f(x)=sin(x+2)-2sin cos(x+)=sin(x+)+-2sin cos(x+)=sin(x+)cos -cos(x+)sin =sin x,故其最大值为1.3.(1)A(2)D解析 (1)f(x)=cos x-sin x=cos,由2kx+2k(kZ),得函数f(x)的单调递减区间为(kZ).函数f(x)在上单调递减,得a的最大值是.(2)由图知=-=1,所以T=2,即=2,所以=±.因为函数f(x)的图像过点,所以当=时,+=+2k,kZ,解得=+2k,kZ;当=-时,+=-+2k,kZ,解得=-+2k,kZ.所以f(x)=cos,由2k<x+<+2k,解得2k-<x<2k+,kZ,故选D.4.(1)D(2)B解析 (1)由题知,函数f(x)的周期为2k(kZ),故选项A正确;将x=代入f(x)=cos,得f=cos 3=-1,故选项B正确;f=cos=0,故选项C正确;函数f(x)=cos的图像可由y=cos x的图像向左平移个单位得到,故f(x)的图像如图所示,则f(x)在上先单调递减后单调递增,故D选项错误.故选D.(2)由已知可得-+=k,kZ,+=m+,mZ,两式相加,得2=(k+m)+.因为|,所以k+m=0或k+m=-1,即=±,两式相减得=2(m-k)+1,即为正奇数.因为函数f(x)在区间,单调,所以只要该区间位于函数f(x)图像的两条相邻对称轴之间即可,且-×,即12.当=时,f(x)=sinx+,则k-+且+k+,kZ,解得.由于12,故k最大取1,此时4.59,此时的最大值为9.当=-时,f(x)=sinx-,则k-且-k+,kZ,解得.由于12,故k最大取0,此时,此时的最大值为5.综上可知,的最大值为9.考点考法探究小题1例1(1)A(2)C解析 由已知得点P的坐标为,sin =,sin(+)=-sin =-.故选A.(2)由诱导公式得sin(-)+cos =sin +cos =,则(sin +cos )2=1+2sin cos =,则2sin cos =-<0,又因为(0,),所以sin >0,cos <0,所以sin -cos >0.因为(sin -cos )2=1-2sin cos =,所以sin -cos =.故选C.【自我检测】1.D解析 cos=,sin=sin=-cos=-.故选D.2.10解析 由角的终边过点P(3,4),得tan =,所以有=10.3.解析 由题意知,sin=sin=-cos=,cos=-.是第三象限角,sin=-,故tan=.小题2例2(1)C(2)C解析 (1)函数y=2cos的图像向右平移个单位长度后,得到y=2cos的图像,其与函数y=2sin=2sin=2cos的图像重合,则-+=-+2k,kZ,解得=-10k,kZ.因为>0,所以当k=0时,取得最小值,此时=.故选C.(2)由题意可得A=2,函数f(x)的周期T满足T=·=-=,=2,当x=时,x+=2×+=2k+(kZ),=2k+(kZ),0<<,令k=0,可得=,则f(x)=2sin.由x1,x2,x1x2,且f(x1)=f(x2),得x1+x2=,则f(x1+x2)=f=2sin=2sin=2×=1.【自我检测】1.C解析 将函数f(x)=sin的图像向右平移a个单位长度得到函数g(x)=sin=sin=cos 2x的图像,sin=cos=cos 2x=cos(-2x),+2a=2k,kZ,a=-+k,kZ.故选C.2.B解析 函数y=sin的图像经伸长变换得y=sin的图像,再作平移变换得y=sin=sin的图像.故选B.3.D解析 函数f(x)=2sin(x+)+1>0,|,其图像与直线y=3的相邻两个交点的距离为,最小正周期T=,=2.若f(x)>2,则sin(2x+)>,+2k<2x+<+2k,kZ.又x,|,2x+,解得,的取值范围是.4.解析 由图像可得最小正周期为2×=,所以f(0)=f.因为+=×2,所以由图像可得f=-f,故f(0)=f=-f=.小题3例3(1)C(2)解析 (1)由题意可得,函数f(x)的最小正周期T=2×=3,则=,故A中说法错误;当x=时,x+=×+=k(kZ),=k-(kZ),0<<,取k=1,可得=,函数f(x)的解析式为f(x)=2sin,y=f(x-)=2sin=2sinx,此函数为奇函数,故B中说法错误;当x时,x+,故函数f(x)在上单调递增,故C中说法正确;f=2sin=2sin0,则函数f(x)的图像不关于点对称,故D中说法错误.故选C.(2)因为函数f(x)=2sin(x+)>0,|<,直线x=为y=f(x)图像的一条对称轴,f=0,所以+-=+k,kZ,所以=+k,kZ.因为f(x)的最小正周期为>2,所以0<<1,所以=.把=代入f=2sin=0,可得+=k',k'Z,因为|<,所以令k'=1,可得=.【自我检测】1.C解析 T=,=2,于是f(x)=sin.f=sin=10,A不正确,C正确;f=sin0,B不正确;f=sin±1,D不正确.故选C.2.D解析 f(x)=sin x-cos x=sin(>0),令-+2kx-2k+,kZ,得-+x+,kZ.f(x)=sin x-cos x(>0)在上单调递增,易知-且,0<.故选D.3.A解析 由题意得g(x)=f(x)+f'(x)=cos(x+)-sin(x+)=2cos,函数g(x)为偶函数,+=k,kZ.又-<<0,=-.故选A.4.C解析 由题意可得函数f(x)的最小正周期T=6,则=.结合点P的坐标可得A=2,且×+=2k-(kZ),得=2k-(kZ),f(x)=2sin=-2sinx(kZ).令x=k'(k'Z),得x=3k'(k'Z),取k'=1可得该函数图像的一个对称中心是(3,0).小题4例4(1)C(2)1-解析 (1)因为f(x)=2cos x+=sin xcos x-cos2x+=sin 2x-cos 2x=sin,所以g(x)=sin=sin.因为-x,所以02x+,则-sin1,故-g(x)1.故选C.(2)由题意得,f(x)=1-cos+sin=1+sin 2x+cos 2x=1+sin.x,2x+,-1sin-,1-1+sin0,函数f(x)在上的最小值为1-.【自我检测】1.C解析 由题意得y=cos 2x+2sin x=1-2sin2x+2sin x=-2+,所以当sin x=时,y取得最大值,最大值为.2.B解析 将函数f(x)=sin xcos x+cos2x-=sin 2x+cos 2x=sin的图像向左平移个单位长度得到函数y=g(x)=sin=sin(2x+)=-sin 2x 的图像.x,2x,-sin 2x,则g(x)在上的值域为,故选B.3.5解析 由题意得f(x)=2sin,x,x+.函数f(x)的最小值为-1,+=,=5.4.解析 由题意得函数y=cos2x+sin 2x-=sin 2x+cos 2x=sin,x,2x+,sin.备选理由 例1考查诱导公式及同角三角函数基本关系式,要善于观察已知角与所求角之间的关系,巧妙合理的使用诱导公式;例2为识图问题,根据函数的性质,由整体性质到局部性质,再结合函数图像的差异性进行分析;例3主要考查正弦函数的周期性、值域,函数的恒成立问题,属于中档题;例4为在指定区域内的值域问题,应立足正弦函数的值域进行处理.例1配例1使用 当(0,)时,若cos=-,则tan的值为()A.B.-C.D.-解析 A因为(0,),所以-(-,0),所以-.因为cos=-<0,所以-,所以sin=,所以tan=-tan=-=,故选A.例2配例2使用 函数y=sin x(1+cos 2x)在区间-,上的大致图像为()ABCD解析 A当x(0,)时,y=sin x(1+cos 2x)=2sin xcos2x>0,所以排除选项C,D;当x=时,y=0,所以排除选项B.故选A.例3配例3使用 已知函数f(x)=2sin(x+)+1,其图像与直线y=-1的相邻两个交点的距离为,若f(x)>1对任意x恒成立,则的取值范围是()A.B.C.D.解析 D函数f(x)=2sin(x+)+1>0,|的图像与直线y=-1的相邻两个交点的距离为,故函数f(x)的周期为=,所以=2,所以f(x)=2sin(2x+)+1.若f(x)>1对任意x恒成立,即当x时,sin(2x+)>0恒成立,则有2k2×+<2×+2k+,kZ,解得2k+2k+,kZ,又|,所以,故选D.例4配例4使用 已知函数y=2tan(>0)的最小正周期为,将函数y=sin的图像向右平移个单位长度,得到函数y=f(x)的图像,则函数f(x)在上的值域为 ()A.B.C.-1,1D.解析 D已知函数y=2tan(>0)的最小正周期为,则=,=2,则将函数y=sin的图像向右平移个单位长度, 得到函数y=f(x)=sin=sin的图像.x,2x-,则函数f(x)在上的值域为.故选D.23