【步步高】2013-2014学年高中数学 3.2.2平面的法向量与平面的向量表示同步训练 新人教B版选修2-1.doc

3.2.2平面的法向量与平面的向量表示一、基础过关1若平面、的法向量分别为u(2，3,5)，v(3，1，4)，则()A BC、相交但不垂直 D以上均不正确2若直线l的一个方向向量为a(2,5,7)，平面的一个法向量为u(1,1，1)，则()Al BlCl DA、C都有可能3已知平面内有一个点A(2，1,2)，的一个法向量为n(3,1,2)，则下列点P中，在平面内的是()A(1，1,1) B.C. D.4若n1，n2分别是平面，的法向量，且，n1(1,2，x)，n2(x，x1，x)，则x的值为()A1或2 B1或2C1 D25设平面的法向量为(1,2，2)，平面的法向量为(2，4，k)，若，则k等于()A2 B4 C4 D26已知A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是()A. B.C. D.7已知平面和平面的法向量分别为a(1,1,2)，b(x，2，3)，且，则x_.8下列命题中：若u，v分别是平面，的法向量，则u·v0；若u是平面的法向量且向量a与共面，则u·a0；若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直正确的命题序号是_9已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正确的是_(填序号)二、能力提升10在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，试在棱BB1上找一点M，使得D1M平面EFB1.11.如图所示，ABC是一个正三角形，EC平面ABC，BDCE，且CECA2BD，M是EA的中点求证：平面DEA平面ECA.12.如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ABC60°，PAABBC，ADAB，E是PC的中点证明：PD平面ABE.三、探究与拓展13.如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，ABCD，DAB60°，ABAD2CD，侧面PAD底面ABCD，且PAD为等腰直角三角形，APD90°，M为AP的中点求证：DM平面PCB.答案1C 2D 3B4B5C6D748910解建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为2，则E(2,1,0)，F(1,2,0)，D1(0,0,2)，B1(2,2,2)设M(2,2，m)，则(1,1,0)，(0，1，2)，(2,2，m2)D1M平面EFB1，D1MEF，D1MB1E，·0且·0，于是m1，故取B1B的中点为M就能满足D1M平面EFB1.11证明建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，不妨设CA2，则CE2，BD1，C(0,0,0)，A(，1,0)，B(0,2,0)，E(0,0,2)，D(0,2,1)所以(，1，2)，(0,0,2)，(0,2，1)分别设面CEA与面DEA的法向量是n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2)，则即解得即解得不妨取n1(1，0)，n2(，1,2)，因为n1·n20，所以两个法向量相互垂直所以平面DEA平面ECA.12证明PA底面ABCD，ABAD， AB、AD、AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设PAABBC1，则P(0,0,1)、A(0,0,0)、B(1,0,0)、D.ABC60°，ABC为正三角形C，E.(1,0,0)，设平面ABE的一个法向量为n(x，y，z)，则令y2，则z，n(0,2，)，显然n，n，平面ABE，即PD平面ABE.13证明取AD的中点G，连接PG，GB.侧面PAD底面ABCD.PGAD，PG底面ABCD，PGBG.又BGAD，直线DA、GB、GP两两互相垂直，故可以分别以直线DA，GB，GP为x轴、y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz，设PGa，C(x，y，z)，则可求得P(0,0，a)，A(a,0,0)，B(0，a,0)，D(a,0,0)，则(0,0，a)，(a，a,0)，(0，a，a)AB2DC，且ABCD，2，即(a，a,0)2(x，y，z)(a,0,0)(x，y，z)，即C.设n(x0，y0，z0)是平面PBC的法向量，则n·0且n·0，取y0，得n(1，3)点M是AP的中点，M，(a,0,0).·n·(1，3)0，n.DM平面PCB，DM平面PCB.5