连续函数的四则运算精选文档.ppt

连续函数的四则运算本讲稿第一页，共二十四页一、连续函数的算术运算一、连续函数的算术运算定理定理1若函数若函数在点在点处连续处连续,则则在点在点处也连续处也连续.例如例如,在在内连续内连续,故故在其定义域内连续在其定义域内连续.本讲稿第二页，共二十四页二、复合函数的连续性二、复合函数的连续性定理定理2若若函数函数在点在点处处连续连续,则有则有证证在点在点处连续处连续,当当时时,恒有恒有又又对上述对上述当当时时,恒有恒有结合上述两步得结合上述两步得,当当本讲稿第三页，共二十四页时时,恒有恒有意义意义1.2.极限符号可以与连续函数符号互换极限符号可以与连续函数符号互换;的理论依据的理论依据.定理定理2给出了变量代换给出了变量代换本讲稿第四页，共二十四页定理定理3设函数设函数在点在点处连续处连续,且且而函数而函数在点在点处连续处连续,则复合函数则复合函数在点在点处也连续处也连续.注意注意定理定理4是定理是定理3的特殊情况的特殊情况.例如例如,在在内连续内连续,在在内连续内连续,在在内连续内连续.本讲稿第五页，共二十四页例例 1完完求求解解本讲稿第六页，共二十四页例例 完完求求解解本讲稿第七页，共二十四页例例 2完完求求解解因为因为所以所以本讲稿第八页，共二十四页三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数三角函数及反三角函数的的;指数函数指数函数在在内单调内单调且连续且连续;对数函数对数函数在在内单内单调且连续调且连续;在在内连续内连续.讨论讨论的不同值的不同值(均在其定义域内连续均在其定义域内连续).在它们的定义域内是连续在它们的定义域内是连续本讲稿第九页，共二十四页初等函数的连续性初等函数的连续性讨论讨论的不同值的不同值(均在其定义域内连续均在其定义域内连续).定理定理4基本初级函数基本初级函数定理定理5一切初级函数一切初级函数定义区间定义区间是指是指注意注意1.但在其但在其定义域内不一定连续定义域内不一定连续.例如例如,在这些孤立点的领域内没有定义在这些孤立点的领域内没有定义.及及在定义域内是连续的在定义域内是连续的.在其定义区间内都是连续的在其定义区间内都是连续的.包含在定义域内的区间包含在定义域内的区间.初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续,本讲稿第十页，共二十四页在这些孤立点的领域内没有定义在这些孤立点的领域内没有定义.及及在在0点的领域内没有定义点的领域内没有定义,函数在区间函数在区间上上2.定义区间定义区间).连续连续.初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法(代入法代入法)完完本讲稿第十一页，共二十四页例例 3完完求求解解因为因为是初等函数是初等函数,且且是其定义区间内的点是其定义区间内的点,所以所以在点在点处连续处连续,于是于是本讲稿第十二页，共二十四页幂指函数幂指函数因为因为故幂指函数可化为复合函数故幂指函数可化为复合函数.易见易见:若若则则即即注意公式成立的条件注意公式成立的条件例例6求求称为称为幂指函数幂指函数.解解完完形如形如的函数的函数本讲稿第十三页，共二十四页定义定义对于在区间对于在区间上有定义的函数上有定义的函数如果如果有有使得对于任一使得对于任一都有都有则称则称是函数是函数在区间在区间 上的最大上的最大(小小)值值.例如例如,在在上上,在在上上,四、闭区间上连续函数的性质四、闭区间上连续函数的性质本讲稿第十四页，共二十四页定理定理6 最大值和最小值定理最大值和最小值定理在闭区间上连续的函数在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值一定有最大值和最小值.定理定理7 有界性定理有界性定理在闭区间上连续的函数在闭区间上连续的函数证证设函数设函数在在上连续上连续,于是存在于是存在、使得使得有有取取故函数故函数在在上有界上有界.完完一定在该区间上有界一定在该区间上有界.本讲稿第十五页，共二十四页定义定义如果如果使使则则称为函数称为函数的零点的零点.定理定理8零点定理零点定理设函数设函数在闭区间在闭区间上连续上连续,且且与与异号异号(即即即至少有即至少有一点一点使使那么在开区那么在开区内至少有函数内至少有函数间间的一个零点的一个零点,即方程即方程在在内至少存在一个实根内至少存在一个实根.定理定理9介值定理介值定理设函数设函数在闭区间在闭区间上连续上连续,且且在这区间的端点取不同的函数值在这区间的端点取不同的函数值本讲稿第十六页，共二十四页推论推论1在闭区间上连续的函数在闭区间上连续的函数与最小值与最小值之间的任何值之间的任何值.必取得介于最大值必取得介于最大值本讲稿第十七页，共二十四页例例 5完完证证证明方程证明方程少有一个实根少有一个实根.令令则则在在上连续上连续.又又由零点定理由零点定理,使使即即方程方程根根在区间在区间内至内至在在内至少有一个实内至少有一个实本讲稿第十八页，共二十四页例例 6完完证证设函数设函数在区间在区间上连续上连续,且且证明证明:使得使得令令则则在在上连续上连续.而而由零点定理由零点定理,使使即即本讲稿第十九页，共二十四页1.设设试研究复合函数试研究复合函数与与的连续性的连续性.2.估计方程估计方程的根的位置的根的位置.课堂练习课堂练习本讲稿第二十页，共二十四页1.设设试研究复合函数试研究复合函数与与的连续性的连续性.解解在在上处处连续上处处连续.又又本讲稿第二十一页，共二十四页在在上处处连续，上处处连续，故故是它的可去间断点是它的可去间断点.本讲稿第二十二页，共二十四页2.估计方程估计方程的根的位置的根的位置.解解设设则则在在内连续内连续.由于由于根据介值定理的推论可知，根据介值定理的推论可知，在在和和内至少各有一个根内至少各有一个根.所以该方程在所以该方程在和和内各有一个根内各有一个根.完完又因为三次方程的根最多有三个，又因为三次方程的根最多有三个，本讲稿第二十三页，共二十四页内容小结内容小结1.连续函数的四则运算连续函数的四则运算2.反函数与复合函数的连续性反函数与复合函数的连续性3.初等函数的连续性初等函数的连续性基本初等函数在各自的定义域上都连续基本初等函数在各自的定义域上都连续.初等函数在其各自的定义域上都连续初等函数在其各自的定义域上都连续.这里定义这里定义区间指包含在其定义域内的区间区间指包含在其定义域内的区间.4.闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质本讲稿第二十四页，共二十四页