安徽省宿州市2015届高三数学第一次教学质量检测试题 理（扫描版）.doc

安徽省宿州市2015届高三数学第一次教学质量检测试题 理（扫描版）宿州市2015届高三第一次教学质量检测数学（理科）参考答案一、选择题：每小题5分，满分50分（1）C （2）D （3）B （4）D （5）A（6）C （7）A （8）B （9）B （10）A 二、填空题：每小题5分，满分25分(11) 14 (12) 32 (13) ( 14) (15) 三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 (16)（本小题满分12分）解：（） 2分 4分可知的最小正周期为且，从而有，故 6分（）由（）知，所以因为，所以 ， 8分又，所以， 得， 10分所以，从而有， 即的值域为 12分(17)（本小题满分12分）解：（）一次摸奖从个球中任取两个，有种方法其中两个球的颜色不同的取法有种， 2分所以一次摸奖中奖的概率为 4分（）若，即 ，解得或（舍去） 由题知：记上号的红球有个可能取值为0,1,2,3,4 6分， ， ， 从而的分布列是： 12分(18)（本小题满分12分）综合法：（）证明：取的中点，连接，因为分别是、的中点，所以，又因为所以， 即四边形为平行四边形所以，不在平面内， 所以平面 4分（）解：取的中点，即为所求点，连接，因为，故，所以四点共面平面与交点即为的四等分点，又因为，所以 8分（）解：连接，易证平面底面平面与平面所成二面角即为平面与底面所成二面角因为平面，故平面，过作，垂足为，连结，则，所以为平面与平面所成二面角的平面角在直角三角形中，则，从而，所以，故 所以平面与底面所成二面角的大小为 12分向量法：如图，以为坐标原点， 、方向分别为轴、轴和轴的正方向建立空间直角坐标系则，（）证明：易知是平面的法向量，又因为，所以，又因为不在平面内，所以平面 4分（）解：由（）知平面，又在平面内，平面与平面的交线是，所以设，得，解得，所以 8分（）解：设平面的法向量由 取 10分又知平面的法向量为所以即平面与底面所成二面角的大小为 12分(19)（本小题满分13分）解：（）由，得由题意得， 解得 4分（）由，（1）当时，若，当时，所以在内单调递减 6分若，当时，；当时，所以在内单调递减，在内单调递增 8分（ 2）当时，令，得，因为，解得，（）当时，；当时，所以在内单调递减，在内单调递增综上所述：当，时，在单调递减；当，时， 在内单调递减，在内单调递增；当时，在内单调递减，在内单调递增 13分(20)（本小题满分13分） () 解：由题知：，又因为的周长为，所以，解得所以椭圆的方程为 4分（II）（1）证法一：由 消去并整理得， 又因为，即， 得，解得，因此直线与椭圆只有一个交点 8分证法二：因为点在第一象限内，由过点与椭圆相切的直线斜率 因此直线与椭圆相切，故直线与椭圆只有一个交点 8分 （2）解：令得，即 ，令得，即所以的中点为，故以为直径的圆方程为 10分又因为，上式化简得令 ，得或故为直径的圆恒过点和 13分 (21)（本小题满分13分）证明：（）因为，所以，当时，所以，对一切，都有 3分因为， 所以数列单调递减 6分（）因为，由（）中可知 8分下面用数学归纳法证明当时，显然成立假设（）时，命题成立，即成立那么当时，有所以当时，上述命题也成立综合可得对于任意，有因此， 13分10