【步步高】2013-2014学年高中数学 第3章 3.2.3空间的角的计算同步训练 苏教版选修2-1.doc

3.2.3空间的角的计算一、基础过关1 若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面所成的角等于_2 若两个平面，的法向量分别是n(1,0,1)，(1,1,0)则这两个平面所成的锐二面角的度数是_3 已知A，P，平面的一个法向量n，则直线PA与平面所成的角为_4 在正三棱柱ABCA1B1C1中，若ABBB1，则AB1与C1B所成角的大小为_5 如图，在正四面体ABCD中，点E为BC中点，点F为AD中点，则异面直线AE与CF所成角的余弦值为_6 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点，若B1MN90°，则PMN的大小是_二、能力提升7 二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2，则该二面角的大小为_8 设ABCD、ABEF都是边长为1的正方形，FA平面ABCD，则异面直线AC与BF所成的角为_9 正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1的中点求异面直线AE与CF所成角的余弦值10如图，已知点P在正方体ABCDABCD的对角线BD上，PDA60°.(1)求DP与CC所成角的大小；(2)求DP与平面AADD所成角的大小11如图，四棱锥FABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC2，BD.CF与平面ABCD垂直，CF2.求二面角BAFD的大小三、探究与拓展12如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EFAB，EFFB，AB2EF，BFC90°，BFFC，H为BC的中点(1)求证：FH平面EDB；(2)求证：AC平面EDB；(3)求二面角BDEC的大小答案160°260°360°490°5 690°760°860° 9解不妨设正方体棱长为2，分别取DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A(2,0,0)、C(0,2,0)、E(1,0,2)、F(1,1,2)，由(1,0,2)，(1，1,2)，得|，|.·1043.又·|·|·cos，cos，cos，异面直线AE与CF所成角的余弦值为.10解(1)如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系Dxyz.则(1,0,0)，(0,0,1)连结BD，BD.在平面BBDD中，延长DP交BD于H.设(m，m,1) (m>0)，由已知，60°，由·|cos，可得2m.解得m，所以.因为cos，所以，45°，即DP与CC所成的角为45°.(2)平面AADD的一个法向量是(0,1,0)因为cos，所以，60°.可得DP与平面AADD所成的角为30°.11解过点A作AE平面ABCD.以A为坐标原点，、方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)于是B，D，F(0,2,2)设平面ABF的法向量n1(x，y，z)，则由得令z1，得所以n1(，1,1)同理，可求得平面ADF的法向量n2(，1,1)由n1·n20知，平面ABF与平面ADF垂直，所以二面角BAFD的大小等于.12(1)证明四边形ABCD为正方形，ABBC.又EFAB，EFBC.又EFFB，EF平面BFC.EFFH，ABFH.又BFFC，H为BC的中点，FHBC.FH平面ABC.以H为坐标原点，为x轴正方向，为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系设BH1，则A(1，2,0)，B(1,0,0)，C(1,0,0)，D(1，2,0)，E(0，1,1)，F(0,0,1)设AC与BD的交点为G，连结GE，GH，则G(0，1,0)，(0,0,1)又(0,0,1)，.又GE平面EDB，HF平面EDB，FH平面EBD.(2)证明(2,2,0)，(0,0,1)，·0，ACGE.又ACBD，EGBDG，AC平面EDB.(3)解(1，1,1)，(2，2,0)设平面BDE的法向量为n1(1，y1，z1)，则·n11y1z10，·n122y10，y11，z10，即n1(1，1,0)(0，2,0)，(1，1,1)设平面CDE的法向量为n2(1，y2，z2)，则n2·0，y20，n2·0，1y2z20，z21，故n2(1,0，1)cosn1，n2，n1，n260°，即二面角BDEC的大小为60°.5