近世代数同态与不变子群精选文档.ppt
近世代数课件同态与不变子群本讲稿第一页,共十四页11.1 自然同态自然同态定理定理一个群 同它的每一个商 群同态证明证明我们规定 到 的一个法则 :这显然是 到 的一个满射并且,对于 的任意两个元 和 来说,所以它是一个同态满射证完 上述 称为自然同态.本讲稿第二页,共十四页 由群 的一个子群可以推测整个群 的性质假如我们有一个不变子群 ,就同时有两个群可以供我们利用,一个是 本身,另一个是商群 现在定理又告诉我们,与 同态,这样帮助推测 的性质 在一定意义之下,定理的逆定理也是对的本讲稿第三页,共十四页11.2 同态映射的核同态映射的核定义定义假定 是一个群 到另一个群 的一个同态满射 的单位元 在 之下的所有逆象所作成的的子集叫做同态满射的核核,记为记为 ,即:记 ,它有以下性质:(1)是不变子群(2)(3)(4)本讲稿第四页,共十四页证明:1.分两步1)是子群2),对于任意2.3.同学自行给出.4.同学自行给出.本讲稿第五页,共十四页11.3 同态基本定理同态基本定理 定理定理 假定 和 是两个群,并且 同态,那么 这里 是同态满射的核.证明证明:证明的关键点是构造一个同构映射 (启发:1.必然联想到 2.离同构有多远?3.写出 )可以证明 是一个 与 间的同构映射因为:本讲稿第六页,共十四页 1)无歧义 ,这就是说,在 之下 的一个元素只有一个唯一的象;2)是单映射.上面的过程可逆.3)是满射.给了 的一个任意元 ,在 里至少有一个元 满足条件 ,由定义,这就是说,是 到 的满射;本讲稿第七页,共十四页 4)保持运算 综上所述,证完 定理告诉我们,一个群 和它的一个商群同态,定理告诉我么,抽象地来看,只能和它的商群同态,所以我们可以说,定理正是定理的反面我们知道,当群 与群 同态的时候,的性质并不同 的完全一样但定理告诉我们,这时我们一定找得到 的一个不变子群 ,使得 的性质和商群 的完全一样从这里我们可以看出,不变子群和商群的重要意义本讲稿第八页,共十四页11.4 子群的同态像和逆子群的同态像和逆(原原)像像回忆一个子集关于映射的像与逆像 定义定义假定 是集合 到集合 的一个映射 1.是 的一个子集,称为 在 之下的象,它刚好包含所有 的元在 之下的象 2.是 的一个子集,在 之下的逆象刚好包含所有 中在 之下的像属于 的元.本讲稿第九页,共十四页 定理定理假定 和 是两个群,并且 与 同态那么在这个同态满射之下的()的一个子群 的象 是 的一个子群;()的一个不变子群 的象 是 的一个不变子群 证明证明我们用 来表示给定的同态满射()假定 ,是 的两个任意元,那么有 使得 ,那么在 之下,(?)本讲稿第十页,共十四页(由于 是子群,因此由于 是 的在 之下的象,)这样,是 的一个子群()是 的一个不变子群,由(),我们知道 是 的一个子群假定 是 的任意元,是 的任意元,而且在 之下,(?)是 的一个不变子群证完本讲稿第十一页,共十四页 定理定理假定 和 是两个群,并且 与 同态那么在这个同态满射之下的()的一个子群 的逆象 是 的一个子群;()的一个不变子群 的逆象 是 的一个不变子群 证明证明我们用 来表示给定的同态满射()假定 ,是 的两个任意元,并且在 之下,我们需要证明 .注意本讲稿第十二页,共十四页 由于 是 的逆象,因而 ,,进一步 (?),即:所以 这样,是 的一个子群()既是 的一个不变子群,由(),我们知道 是 的一个子群假定 是 的任意元,是的任意元,并且在 之下,本讲稿第十三页,共十四页 我们需要证明 ,注意所以 这样,是 的一个不变子群证完 注:同态满射的核是不变子群,这一件事实显然是定理()的一个特例作业作业:P79:2,3,4本讲稿第十四页,共十四页