【创新设计】（浙江专用）2014届高考数学总复习 第8篇 第6讲 空间向量及其运算限时训练 理.doc

第6讲空间向量及其运算分层A级基础达标演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1在下列命题中：若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c，共面；已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得pxaybzc.其中正确命题的个数是 ()A0 B1 C2 D3解析a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故不正确；根据自由向量的意义知，空间任两向量a，b都共面，故错误；三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为pxaybzc，故不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.答案A2若向量a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，满足条件(ca)·(2b)2，则x()A4 B2 C4 D2解析a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，ca(0,0,1x)，2b(2,4,2)(ca)·(2b)2(1x)2，x2.答案D3若a，b，c为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是()Aa，ab，ab Bb，ab，abCc，ab，ab Dab，ab，a2b解析若c、ab、ab共面，则c(ab)m(ab)(m)a(m)b，则a、b、c为共面向量，此与a，b，c为空间向量的一组基底矛盾，故c，ab，ab可构成空间向量的一组基底答案C4.如图所示，已知空间四边形OABC，OBOC，且AOBAOC，则cos，的值为 ()A0 B. C. D.解析设a，b，c，由已知条件a，ba，c，且|b|c|，·a·(cb)a·ca·b|a|c|a|b|0，cos，0.答案A二、填空题(每小题5分，共10分)5在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是_(填序号)2；0；0；解析0，则、为共面向量，即M、A、B、C四点共面答案6.在空间四边形ABCD中，···_.解析如图，设a，b，c，···a·(cb)b·(ac)c·(ba)0.答案0三、解答题(共25分)7(12分)已知非零向量e1，e2不共线，如果e1e2，2e18e2，3e13e2，求证：A、B、C、D共面证明令(e1e2)(2e18e2)v(3e13e2)0.则(23v)e1(83v)e20.e1，e2不共线，.易知是其中一组解，则50.A、B、C、D共面8(13分)如右图，在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，G为BC1D的重心，(1)试证：A1、G、C三点共线；(2)试证：A1C平面BC1D；(3)求点C到平面BC1D的距离(1)证明，可以证明：()，即A1、G、C三点共线(2)证明设a，b，c，则|a|b|c|a，且a·bb·cc·a0，abc，ca，·(abc)·(ca)c2a20，即CA1BC1，同理可证：CA1BD，因此A1C平面BC1D.(3)解abc，2a2b2c23a2，即|a，因此|a.即C到平面BC1D的距离为a.分层B级创新能力提升1(2013·海淀月考)以下四个命题中正确的是 ()A空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B若a，b，c为空间向量的一组基底，则ab，bc，ca构成空间向量的另一组基底CABC为直角三角形的充要条件是·0D任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底解析若ab、bc、ca为共面向量，则ab(bc)(ca)，(1)a(1)b()c，不可能同时为1，设1，则abc，则a、b、c为共面向量，此与a，b，c为空间向量基底矛盾答案B2如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是 ()Aabc B.abcCabc D.abc解析()c(ba)abc.答案A3已知在一个60°的二面角的棱上，如图有两个点A，B，AC，BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB4 cm，AC6 cm，BD8 cm，则CD的长为_解析设a，b，c，由已知条件|a|8，|b|4，|c|6，a，b90°，b，c90°，a，c60°|2|2|cba|2a2b2c22a·b2a·c2b·c68，则|2.答案2 cm4如图，空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45°，OAB60°，则OA与BC所成角的余弦值等于_解析设a，b，c.OA与BC所成的角为，·a(cb)a·ca·ba·(a)a·(a)a2a·a2a·2416.cos .答案5如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC1的长；(2)求BD1与AC夹角的余弦值解(1)记a，b，c，则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60°，a·bb·cc·a.|2(abc)2a2b2c22(a·bb·cc·a)1112×6，|，即AC1的长为.(2)bca，ab，|，|，·(bca)·(ab)b2a2a·cb·c1.cos，.AC与BD1夹角的余弦值为.6如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB、AD、CD的中点，计算：(1)·；(2)·；(3)EG的长；(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值解设a，b，c.则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60°，(1)ca，a，bc，··(a)a2a·c，(2)·(ca)·(bc) (b·ca·bc2a·c)；(3)abacb abc，|2a2b2c2a·bb·cc·a，则|.(4)bc，ba，cos，由于异面直线所成角的范围是(0°，90°，所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.7